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4. 如果$A=\frac{2}{1-a^2}$,$B=\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1}$,那么代数式$A$与$B$之间的关系是(
A.$A+B=0$
B.$A=B$
C.$AB=0$
D.$A=2B$
A
)A.$A+B=0$
B.$A=B$
C.$AB=0$
D.$A=2B$
答案
A
解析
先化简B，通分可得：$B = \frac{(a + 1) - (a - 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a + 1 - a + 1}{a^2 - 1} = \frac{2}{a^2 - 1}$。而$A = \frac{2}{1 - a^2} = -\frac{2}{a^2 - 1}$，所以$A = -B$，即$A + B = 0$。
5. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是是：从电线杆$DE$上一点$A$往地面拉两条长度相等的固定绳$AB$与$AC$，当固定点$B$，$C$到杆脚$E$的距离相等，且$B$，$E$，$C$在同一直线上时，电线杆$DE$就垂直于地面$BC$。工程人员这种操作方法的依据是(
A.等边对等角
B.等腰三角形“三线合一”
C.垂线段最短
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
B
)A.等边对等角
B.等腰三角形“三线合一”
C.垂线段最短
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
答案
B
解析
在△ABC中，AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。因为B，E，C在同一直线上且BE=CE，即E为BC中点，根据等腰三角形“三线合一”，等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线互相重合，所以AE⊥BC，即电线杆DE垂直于地面BC。
6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$为$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$，$\triangle ABC$的面积是$28\ cm^2$，$AB=20\ cm$，$AC=8\ cm$，$DF$的值是(
A.$1\ cm$
B.$2\ cm$
C.$3\ cm$
D.$4\ cm$
B
)A.$1\ cm$
B.$2\ cm$
C.$3\ cm$
D.$4\ cm$
答案
B
解析
$\because AD$为$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB，$$DF\perp AC，$
$\therefore DE = DF。$
利用$\triangle ABD$和$\\triangle ADC$的面积之和等于$\triangle ABC$的面积，$\therefore \frac{1}{2} × AB × DE + \frac{1}{2} × AC × DF = 28，$且AB = 20 cm，AC = 8 cm，$\therefore \frac{1}{2} × 20 × DF + \frac{1}{2} × 8 × DF = 28，$$\therefore 10 × DF + 4 × DF = 28，$$\therefore 14DF = 28，$$\therefore DF = 2 cm。$
$\therefore DE = DF。$
利用$\triangle ABD$和$\\triangle ADC$的面积之和等于$\triangle ABC$的面积，$\therefore \frac{1}{2} × AB × DE + \frac{1}{2} × AC × DF = 28，$且AB = 20 cm，AC = 8 cm，$\therefore \frac{1}{2} × 20 × DF + \frac{1}{2} × 8 × DF = 28，$$\therefore 10 × DF + 4 × DF = 28，$$\therefore 14DF = 28，$$\therefore DF = 2 cm。$
7. 若$M=\frac{2x}{x^2-4}$,$N=\frac{x}{x-2}$,则$M÷ N$的值可能为(
A.$0$
B.$\frac{1}{2}$
C.$1$
D.$2$
D
)A.$0$
B.$\frac{1}{2}$
C.$1$
D.$2$
答案
D
解析
$\begin{aligned}M÷ N&=\frac{2x}{x^2 - 4}÷\frac{x}{x - 2}\\&=\frac{2x}{(x + 2)(x - 2)}×\frac{x - 2}{x}\\&=\frac{2}{x + 2}\end{aligned}$
要使原式有意义，需满足：$x^2 - 4\neq0$，$x - 2\neq0$，$x\neq0$，即$x\neq\pm2$且$x\neq0$。
当$\frac{2}{x + 2}=0$时，分子$2=0$不成立，A 选项不可能；
当$\frac{2}{x + 2}=\frac{1}{2}$时，$x + 2=4$，$x=2$（舍去，$x=2$使分母为 0）；
当$\frac{2}{x + 2}=1$时，$x + 2=2$，$x=0$（舍去，$x=0$使分母为 0）；
当$\frac{2}{x + 2}=2$时，$x + 2=1$，$x=-1$（$x=-1$满足条件）。
要使原式有意义，需满足：$x^2 - 4\neq0$，$x - 2\neq0$，$x\neq0$，即$x\neq\pm2$且$x\neq0$。
当$\frac{2}{x + 2}=0$时，分子$2=0$不成立，A 选项不可能；
当$\frac{2}{x + 2}=\frac{1}{2}$时，$x + 2=4$，$x=2$（舍去，$x=2$使分母为 0）；
当$\frac{2}{x + 2}=1$时，$x + 2=2$，$x=0$（舍去，$x=0$使分母为 0）；
当$\frac{2}{x + 2}=2$时，$x + 2=1$，$x=-1$（$x=-1$满足条件）。
8. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$。依据尺规作图痕迹，有以下三种说法：
甲：$BD=DE$。
乙：$\angle CDE=\angle CAB$。
丙：$AB+EC=AC$。
下列判断正确的是(
A.只有甲对
B.只有乙对
C.只有丙对
D.三人说的都对
甲：$BD=DE$。
乙：$\angle CDE=\angle CAB$。
丙：$AB+EC=AC$。
下列判断正确的是(
D
)A.只有甲对
B.只有乙对
C.只有丙对
D.三人说的都对
答案
D
解析
由尺规作图痕迹可知AD平分∠BAC，DE⊥AC于E。
甲：
∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴BD=DE（角平分线性质），甲正确。
乙：在Rt△DEC中，∠CDE+∠C=90°；在Rt△ABC中，∠CAB+∠C=90°，
∴∠CDE=∠CAB（同角的余角相等），乙正确。
丙：
∵△ABD≌△AED（HL），
∴AB=AE，
∴AC=AE+EC=AB+EC，丙正确。
三人说法均正确。
甲：
∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴BD=DE（角平分线性质），甲正确。
乙：在Rt△DEC中，∠CDE+∠C=90°；在Rt△ABC中，∠CAB+∠C=90°，
∴∠CDE=∠CAB（同角的余角相等），乙正确。
丙：
∵△ABD≌△AED（HL），
∴AB=AE，
∴AC=AE+EC=AB+EC，丙正确。
三人说法均正确。
9. 某单位利用某公司研发的两个$ AI$模型$R_1$和$R_2$共同处理一批数据。已知$R_2$单独处理数据的时间比$R_1$少$2$小时，若两模型合作处理则仅需$1.5$小时即可完成。设$R_2$单独处理需要$x$小时，则下列方程正确的是(
A.$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=1.5$
B.$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=1.5$的倒数
C.$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}=1.5$
D.$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}=1.5$的倒数
B
)A.$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=1.5$
B.$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=1.5$的倒数
C.$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}=1.5$
D.$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}=1.5$的倒数
答案
B
解析
设$R_2$单独处理需要$x$小时，则$R_1$单独处理需要$x+2$小时。工作效率分别为$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{x+2}$，合作效率为$\frac{1}{1.5}$。方程为$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{1.5}$，即$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=1.5$的倒数。
10. 一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为$u$，像距为$v$，凸透镜的焦距为$f$，且满足$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$，则用$u$，$f$表示$v$的结果为(
A.$v=f-u$
B.$v=\frac{1}{f-u}$
C.$v=\frac{uf}{u-f}$
D.$v=\frac{u-f}{uf}$
C
)A.$v=f-u$
B.$v=\frac{1}{f-u}$
C.$v=\frac{uf}{u-f}$
D.$v=\frac{u-f}{uf}$
答案
C
解析
由$\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$，移项得$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$，通分$\frac{1}{v} = \frac{u - f}{uf}$，则$v = \frac{uf}{u - f}$
11. 分式$\frac{m^2-1}{m-1}$的值为零时，实数$m$的值为
-1
。答案
要使分式$\frac{m^2 - 1}{m - 1}$的值为零，需满足分子为零且分母不为零。
1. 分子为零：$m^2 - 1 = 0$，即$(m - 1)(m + 1) = 0$，解得$m = 1$或$m = -1$。
2. 分母不为零：$m - 1 \neq 0$，即$m \neq 1$。
综上，$m = -1$。
$-1$
1. 分子为零：$m^2 - 1 = 0$，即$(m - 1)(m + 1) = 0$，解得$m = 1$或$m = -1$。
2. 分母不为零：$m - 1 \neq 0$，即$m \neq 1$。
综上，$m = -1$。
$-1$
