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在$△ ABC$与$△ DEF$中，$AB = 4$，$BC = 5$，$CA = 6$，$DE = 10$，则当$EF =$
【点睛】 解决此题的关键是弄清楚对应边，否则容易出错。
12
，$FD =$8
时，$△ FDE ∽ △ ABC$。【点睛】 解决此题的关键是弄清楚对应边，否则容易出错。
答案
12；8
解析
∵△FDE∽△ABC，∴对应边成比例，即$\frac{FD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{CA}$。
已知AB=4，BC=5，CA=6，DE=10，
则$\frac{DE}{BC}=\frac{10}{5}=2$，即相似比为2。
∴$FD=AB×2=4×2=8$，$EF=CA×2=6×2=12$。
已知AB=4，BC=5，CA=6，DE=10，
则$\frac{DE}{BC}=\frac{10}{5}=2$，即相似比为2。
∴$FD=AB×2=4×2=8$，$EF=CA×2=6×2=12$。
1. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为$5\mathrm{cm}$，$6\mathrm{cm}$和$10\mathrm{cm}$，另一个三角形的最短边长为$2.5\mathrm{cm}$，则它的最长边为(
A.$3\mathrm{cm}$
B.$4\mathrm{cm}$
C.$4.5\mathrm{cm}$
D.$5\mathrm{cm}$
D
)A.$3\mathrm{cm}$
B.$4\mathrm{cm}$
C.$4.5\mathrm{cm}$
D.$5\mathrm{cm}$
答案
D
解析
因为两个三角形形状相同，所以它们相似。已知一个三角形三边长为5cm，6cm，10cm，最短边为5cm，最长边为10cm。另一个三角形最短边为2.5cm，设其最长边为x cm。相似三角形对应边成比例，可得5/2.5 = 10/x，解得x=5。
2. 已知$△ ABC$的三边长分别为$2$，$5$，$6$。若要使$△ DEF ∽ △ ABC$，则$△ DEF$的三边长可以是(
A.$3$，$6$，$7$
B.$6$，$15$，$18$
C.$3$，$8$，$9$
D.$8$，$10$，$12$
B
)A.$3$，$6$，$7$
B.$6$，$15$，$18$
C.$3$，$8$，$9$
D.$8$，$10$，$12$
答案
B
解析
要使$△ D EF ∼ △ ABC$，必须对应边成比例。
已知$△ ABC$的三边长分别为$2, 5, 6$，设$△ D EF$的三边长分别为$x, y, z$，
则必须满足$\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6}$，
对于选项进行检验：
A. 对于边长$3, 6, 7$，不满足比例关系；
B. 对于边长$6, 15, 18$，满足$\frac{6}{2} = 3$,$\frac{15}{5} = 3$,$\frac{18}{6} = 3$，满足比例关系；
C. 对于边长$3, 8, 9$，不满足比例关系；
D. 对于边长$8, 10, 12$，不满足比例关系。
故只有B选项符合条件。
已知$△ ABC$的三边长分别为$2, 5, 6$，设$△ D EF$的三边长分别为$x, y, z$，
则必须满足$\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6}$，
对于选项进行检验：
A. 对于边长$3, 6, 7$，不满足比例关系；
B. 对于边长$6, 15, 18$，满足$\frac{6}{2} = 3$,$\frac{15}{5} = 3$,$\frac{18}{6} = 3$，满足比例关系；
C. 对于边长$3, 8, 9$，不满足比例关系；
D. 对于边长$8, 10, 12$，不满足比例关系。
故只有B选项符合条件。
3. 有甲，乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为$\sqrt{2}$，$1$，$\sqrt{5}$，乙三角形木框的三边长分别为$\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{10}$，则甲，乙两个三角形(
A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判断
A
)A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判断
答案
A
解析
对于甲三角形，三边长为$\sqrt{2}$，$1$，$\sqrt{5}$，
验证是否满足勾股关系：
$1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3 \ne 5$，但三边比值为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
对于乙三角形，三边长为$\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{10}$，比值为$ \sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1 × \sqrt{2}: \sqrt{2} × \sqrt{2}: \sqrt{5} × \sqrt{2}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
因此甲和乙的边比相同，即$\{1, \sqrt{2}, \sqrt{5}\}$，故两个三角形一定相似。
验证是否满足勾股关系：
$1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3 \ne 5$，但三边比值为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
对于乙三角形，三边长为$\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{10}$，比值为$ \sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1 × \sqrt{2}: \sqrt{2} × \sqrt{2}: \sqrt{5} × \sqrt{2}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
因此甲和乙的边比相同，即$\{1, \sqrt{2}, \sqrt{5}\}$，故两个三角形一定相似。
4. 如图，$O$是$△ ABC$内部一点，$D$，$E$，$F$分别是$OA$，$OB$，$OC$的中点。求证：$△ DEF ∽ △ ABC$。
答案
△DEF∽△ABC
解析
∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，∴DE是△OAB的中位线，DF是△OAC的中位线，EF是△OBC的中位线。∴DE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$AC，EF=$\frac{1}{2}$BC。∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{DF}{AC}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{2}$。∴△DEF∽△ABC。
5. 如图，已知$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}$。试判断$∠ BAD$和$∠ CAE$的大小关系，并说明理由。
答案
$∠ BAD=∠ CAE$。
解析
由题意，已知$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
根据相似三角形的定义，如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
因此，三角形$ABC$和三角形$ADE$相似。
由相似三角形的性质可知，对应角相等，即：
$∠ BAC=∠ DAE$，
由于$∠ BAC=∠ BAD+∠ DAC$，
$∠ DAE=∠ DAC+∠ CAE$，
所以$∠ BAD+∠ DAC=∠ DAC+∠ CAE$，
因此$∠ BAD=∠ CAE$。
根据相似三角形的定义，如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
因此，三角形$ABC$和三角形$ADE$相似。
由相似三角形的性质可知，对应角相等，即：
$∠ BAC=∠ DAE$，
由于$∠ BAC=∠ BAD+∠ DAC$，
$∠ DAE=∠ DAC+∠ CAE$，
所以$∠ BAD+∠ DAC=∠ DAC+∠ CAE$，
因此$∠ BAD=∠ CAE$。
6. （2025 莆田）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为$1$，$△ ABC$和$△ DEF$的顶点都在网格线的交点上。求证：$△ ABC ∽ △ DEF$。
答案
证明见解析
解析
由网格特点及勾股定理得，$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=2$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$DE=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$EF=4$，$DF=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$。
$\because \frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$，
$\therefore △ABC∽△DEF$。
$\because \frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$，
$\therefore △ABC∽△DEF$。
