1. 在平面直角坐标系中，函数 $ y = \dfrac{\sqrt{2}}{x}(x ＜ 0) $ 与 $ y = x + 1 $ 的图象交于点 $ P(a,b) $，则代数式 $ \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} $ 的值是()
A.$ -\dfrac{\sqrt{2}}{2} $
B.$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ \sqrt{2} $
D.$ -\sqrt{2} $

B

因为点$P(a,b)$是函数$y = \dfrac{\sqrt{2}}{x}(x ＜ 0)$与$y = x + 1$的交点，所以$b=\dfrac{\sqrt{2}}{a}$且$b = a + 1$。由$b=\dfrac{\sqrt{2}}{a}$得$ab=\sqrt{2}$；由$b = a + 1$得$b - a=1$。则$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b - a}{ab}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

2. (2025 襄阳)若反比例函数 $ y = \dfrac{1}{x} $ 的图象与一次函数 $ y = x + 2 $ 的图象交于点 $ A(a,b) $，则代数式 $ a - ab - \dfrac{1}{a} $ 的值是。

-3

因为点$A(a,b)$是反比例函数$y = \frac{1}{x}$与一次函数$y = x + 2$的交点，所以$b=\frac{1}{a}$且$b = a + 2$。由$b=\frac{1}{a}$得$ab = 1$，$\frac{1}{a}=b$。代数式$a - ab - \frac{1}{a}=a - 1 - b$，又因为$b = a + 2$，所以$a - b=-2$，则$a - 1 - b=(a - b)-1=-2 - 1=-3$。

3. 若正比例函数 $ y = kx $ 的图象经过 $ A(a,3) $，$ B(4,b) $ 两点，反比例函数 $ y = \dfrac{m^{2} + m}{2x} $ 的图象经过点 $ P(a,b) $，则代数式 $ m^{2} + m $ 的值为。

24

因为正比例函数$y = kx$的图象经过点$A(a,3)$，$B(4,b)$，
所以可得：$3 = ka$，$b = 4k$，
从$3 = ka$可得$k=\frac{3}{a}$，
将$k=\frac{3}{a}$代入$b = 4k$中，可得$b = 4×\frac{3}{a}=\frac{12}{a}$，即$ab = 12$。
因为反比例函数$y = \frac{m^{2} + m}{2x}$的图象经过点$P(a,b)$，
将$P(a,b)$代入$y = \frac{m^{2} + m}{2x}$中，可得$b=\frac{m^{2} + m}{2a}$，
等式两边同时乘以$2a$，得到$2ab = m^{2} + m$。
把$ab = 12$代入$2ab = m^{2} + m$，可得$m^{2} + m = 2×12 = 24$。

4. (2025 大连)在平面直角坐标系中，函数 $ y = x - 6 $ 与 $ y = -\dfrac{1}{x} $ 的图象交于点 $ (m,n) $，则代数式 $ m^{2} - 4m - \dfrac{12mn}{m^{2} + 1} $ 的值为。

11

因为点$(m,n)$是$y=x-6$与$y=-\dfrac{1}{x}$的交点，所以$n=m-6$且$n=-\dfrac{1}{m}$。联立得$m-6=-\dfrac{1}{m}$，两边乘$m$得$m^2 - 6m + 1 = 0$，即$m^2=6m - 1$。
由$n=-\dfrac{1}{m}$得$mn=-1$。又$m^2 + 1=6m$，代入代数式：
$\begin{aligned}&m^2 - 4m - \dfrac{12mn}{m^2 + 1}\\=&(6m - 1) - 4m - \dfrac{12×(-1)}{6m}\\=&2m - 1 + \dfrac{2}{m}\\=&2(m + \dfrac{1}{m})-1\end{aligned}$
由$m^2 - 6m + 1 = 0$两边除以$m$得$m + \dfrac{1}{m}=6$，则原式$=2×6 - 1=11$。