1. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $BC$ 的中点,且 $∠ AED=∠ B=∠ C$. 求证:$AB· DE=BE· AE$.

AB·DE=BE·AE

∵E是BC中点，∴BE=EC。
∵∠AED=∠C，∠AEB+∠AED+∠DEC=180°，∠C+∠DEC+∠EDC=180°，∴∠AEB=∠EDC。
在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠AEB=∠EDC，∴△ABE∽△ECD。
∴AB/EC=AE/ED。
∵EC=BE，∴AB/BE=AE/ED，即AB·DE=BE·AE。

2. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$∠ ABC=60^{\circ}$,$E$ 是射线 $CB$ 上一点,$F$ 是边 $CD$ 上一点,且 $∠ EAF=120^{\circ}$. 求证:$\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{CF}$.

AE/AF=AB/CF

连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=120°，△ABC和△ACD均为等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠ACD=60°，∠BAC=∠CAD=60°。∵∠EAF=180°-∠ABC=120°，∠BAD=120°，∴∠EAB=∠FAD（等式性质）。设∠EAB=∠FAD=α，则∠CAF=∠CAD - ∠FAD=60° - α。在△AEC中，∠EAC=∠BAC + ∠EAB=60° + α，∠ACE=60°，∴∠AEC=180° - ∠ACE - ∠EAC=60° - α，故∠AEC=∠CAF。在△AEC和△FAC中，∠AEC=∠CAF，∠ACE=∠FCA=60°，∴△AEC∽△FAC，∴AE/FA=AC/FC。∵AC=AB，∴AE/AF=AB/CF。

3. 如图,在 $△ ABC$ 中,点 $D$,$E$ 在 $BC$ 上,且 $△ ADE$ 是等边三角形,$∠ BAC=120^{\circ}$. 求证:$DE^{2}=BD· CE$.

DE²=BD·CE

∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE=AE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，∴∠ADB=180°-∠ADE=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°。∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠CAE=60°。在△ABD中，∠B+∠BAD=180°-∠ADB=60°，∴∠B=∠CAE。同理，∠C=∠BAD。∴△ABD∽△CAE。∴BD/AE=AD/CE。∵AD=AE=DE，∴BD/DE=DE/CE，∴DE²=BD·CE。