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如图，点A的坐标是$(-2,3)$，则$\tan α =$
【点睛】应理解余弦，正切的定义.
3/2
，$\cos α =$2√13/13
.【点睛】应理解余弦，正切的定义.
答案
3/2；2√13/13
解析
过点A作AB⊥x轴于点B，则OB=2，AB=3。在Rt△AOB中，tanα=AB/OB=3/2，OA=√(OB²+AB²)=√13，cosα=OB/OA=2√13/13。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 4$，$AC = 1$，则$\cos A$的值为(
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{15}}{15}$
D.$\dfrac{4\sqrt{17}}{17}$
A
)A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{15}}{15}$
D.$\dfrac{4\sqrt{17}}{17}$
答案
A
解析
在直角三角形$ABC$中，由于$∠ C=90°$，根据余弦的定义可得：
$\cos A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，
已知$AC=1$，$AB=4$，代入可得：
$\cos A=\frac{1}{4}$。
$\cos A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，
已知$AC=1$，$AB=4$，代入可得：
$\cos A=\frac{1}{4}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，则下列表达式正确的是(
A.$c=\dfrac{a}{\cos A}$
B.$c=\dfrac{a}{\cos B}$
C.$c = a· \cos A$
D.$c = a· \sin A$
B
)A.$c=\dfrac{a}{\cos A}$
B.$c=\dfrac{a}{\cos B}$
C.$c = a· \cos A$
D.$c = a· \sin A$
答案
B
解析
在直角三角形中，根据余弦的定义可知$\cos A=\frac{b}{c}$，则$c = \frac{b}{\cos A}$（本题未涉及）；$\cos B=\frac{a}{c}$，移项可得$c=\frac{a}{\cos B}$。
3. 如图，点A为$∠ α$边上的任意一点，过点A作$AC⊥ BC$于点C，过点C作$CD⊥ AB$于点D.下列用线段的比表示$\cos α$的值，错误的是(
A.$\dfrac{BD}{BC}$
B.$\dfrac{BC}{AB}$
C.$\dfrac{AD}{AC}$
D.$\dfrac{CD}{AC}$
C
)A.$\dfrac{BD}{BC}$
B.$\dfrac{BC}{AB}$
C.$\dfrac{AD}{AC}$
D.$\dfrac{CD}{AC}$
答案
C
解析
在Rt△ABC中，∠B=α，∠ACB=90°，则cosα=BC/AB（B正确）；在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠B=α，则cosα=BD/BC（A正确）；在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=α（同角的余角相等），则cosα=CD/AC（D正确）；AD/AC为cos∠CAD=sinα≠cosα（C错误）。
4. 在$△ ABC$中，$AB = 10$，$AC = 6$，$BC = 8$，则$\tan A$的值为
$\frac{4}{3}$
.答案
$\frac{4}{3}$（或写成小数形式1.333...，但在此情境下，分数形式更为合适，由于题目要求填写具体数值的表达式，因此答案应为$\frac{4}{3}$）。
解析
在△ABC中，已知三边长度分别为AB=10，AC=6，BC=8，根据勾股定理的逆定理，若$AC^2 + BC^2 = AB^2$，则△ABC为直角三角形，且直角在C点（但此处我们需要求的是角A的正切，所以应关注与角A相邻的两边）。
计算得：
$AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = AB^2$。
由于上述等式成立，所以△ABC是直角三角形，并且$∠ C=90°$（这对求$\tan A$已经足够，因为$\tan$函数只与对边和邻边有关）。
在直角三角形中，$\tan A$定义为对边长度除以邻边长度，即：
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。
计算得：
$AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = AB^2$。
由于上述等式成立，所以△ABC是直角三角形，并且$∠ C=90°$（这对求$\tan A$已经足够，因为$\tan$函数只与对边和邻边有关）。
在直角三角形中，$\tan A$定义为对边长度除以邻边长度，即：
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 3BC$，则$\tan B$的值为
$2\sqrt{2}$
.答案
$2\sqrt{2}$（填具体数值，题目非选择题形式已改为直接求解，故直接给出数值答案）
解析
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 3BC$，
设$BC = x$，则$AB = 3x$。
利用勾股定理，有$AC^2 = AB^2 - BC^2 = (3x)^2 - x^2 = 8x^2$，
所以，$AC = \sqrt{8x^2} = 2\sqrt{2}x$，
根据正切函数的定义，在直角三角形中，$\tan B = \frac{对边}{邻边} = \frac{AC}{BC}$，
代入已知得，$\tan B = \frac{2\sqrt{2}x}{x} = 2\sqrt{2}$。
设$BC = x$，则$AB = 3x$。
利用勾股定理，有$AC^2 = AB^2 - BC^2 = (3x)^2 - x^2 = 8x^2$，
所以，$AC = \sqrt{8x^2} = 2\sqrt{2}x$，
根据正切函数的定义，在直角三角形中，$\tan B = \frac{对边}{邻边} = \frac{AC}{BC}$，
代入已知得，$\tan B = \frac{2\sqrt{2}x}{x} = 2\sqrt{2}$。
6. 如图，在每个小正方形的边长都为1的网格中，$△ ABC$的顶点均在格点上，则$∠ A$的正切值为
4/7
.答案
4/7
解析
过点C作CD⊥AB于点D，设网格中小正方形边长为1。通过勾股定理计算得AB=5，AC=√10，BC=√13。利用面积法：S△ABC=3×3 - 1/2×1×3 - 1/2×2×2 - 1/2×1×3=4，又S△ABC=1/2×AB×CD=4，解得CD=8/5。在Rt△ACD中，AD=√(AC² - CD²)=√[(√10)² - (8/5)²]=14/5，tan∠A=CD/AD=(8/5)/(14/5)=4/7。
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，若$\cos A=\dfrac{3}{5}$，求$\tan A$，$\tan B$的值.
答案
$\tan A = \frac{4}{3}$，$\tan B = \frac{3}{4}$
解析
在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，设 $ \cos A = \frac{3}{5} $。
根据余弦定义，有$ \cos A = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB} $。
设 $ AC = 3x $，$ AB = 5x $，则根据勾股定理，$ BC = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = \sqrt{25x^2 - 9x^2} = \sqrt{16x^2} = 4x $。
因此，$ \tan A = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{BC}{AC} = \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3} $。
同理，$ \tan B = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{AC}{BC} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4} $。
根据余弦定义，有$ \cos A = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB} $。
设 $ AC = 3x $，$ AB = 5x $，则根据勾股定理，$ BC = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = \sqrt{25x^2 - 9x^2} = \sqrt{16x^2} = 4x $。
因此，$ \tan A = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{BC}{AC} = \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3} $。
同理，$ \tan B = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{AC}{BC} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4} $。
8. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$BC = 2AC$，分别求$\sin B$，$\cos B$，$\tan B$的值.
答案
$\sin B = \frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos B = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\tan B = \frac{1}{2}$
解析
设$AC = k$，则$BC = 2k$。在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C = 90^{\circ}$，由勾股定理得$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{k^{2} + (2k)^{2}} = \sqrt{5}k$。$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{k}{\sqrt{5}k} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{2k}{\sqrt{5}k} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$。
