1.如图,已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$A(-3,2)$.
(1)求此反比例函数的表达式；
(2)当$x=-4$时,请直接写出:函数$y$的值为；
(3)当$x≤1$且$x≠0$时,求函数$y$的取值范围.

解:(1)$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$A(-3,2)$,
$\therefore k=-3×2=-6$,
$\therefore$反比例函数为$y=-\frac{6}{x}$;

(2)$\frac{3}{2}$
(3)$\because k=-6＜0$,即双曲线在二、四象限,且每个象限内
$y$ 随 $x$ 的增大而增大,把 $x=1$ 代入 $y=-\frac{6}{x}$,
解得:$y=-6$.
$\therefore y≤ -6$ 或 $y＞0$.

2.已知点$A(2,m+3)$在双曲线$y=\frac{m}{x}$上.
(1)求此双曲线的表达式与点A的坐标,并画出图象;
(2)已知点$B(a,5-a)$在此双曲线上,且图象经过A,B两点的一次函数的函数值y随x的增大而增大,求此一次函数的解析式.

解:(1)$\because$点$A(2,m+3)$在双曲线 $y=\frac{m}{x}$ 上,即$m+3=\frac{m}{2}$,
解得:$m=-6$,
$\therefore$此双曲线的表达式为 $y=-\frac{6}{x}$,
点 $A$ 的坐标为 $(2,-3)$;

(2)$\because$点$B(a,5-a)$在此双曲线
$y=-\frac{6}{x}$上,
$\therefore 5-a=-\frac{6}{a}$,解得:$a=-1$ 或
$a=6$,
设直线 $y=kx+b,k＞0$,
$\therefore a=6,\therefore B(6,-1)$,
$\therefore$直线 $AB$ 的解析式为 $y=\frac{1}{2}x-4$.

3.如图，B、C是双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上两点，过点B的直线$y=x-1$与x轴交于A点，$CD⊥ x$轴于D点，交AB于E点，$OA=AD$，$CD=3$.
(1)求k的值；
(2)求$△ BCE$的面积.

解:(1)$A(1,0),D(2,0),C(2,3),\therefore k=6$;
(2)$\begin{cases} y=\dfrac{6}{x},\\ y=x-1, \end{cases}⇒ B(3,2),E(2,1),\therefore CE=2$,
$\therefore S_{△ BCE}=1$.

4.(2025·河南)小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系$xOy$中,其中含$30°$角的三角板$OAB$的直角边$OA$落在$y$轴上,含$45°$角的三角板$OAC$的直角顶点$C$的坐标为$(2,2)$,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$C$.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)将三角板$OAB$绕点$O$顺时针旋转$90°$,$AB$边上的点$D$恰好落在反比例函数图象上,求旋转前点$D$的坐标.

解:(1)$\because$含 $45°$ 角的三角板 $OAC$ 的直角顶点 $C$ 的坐标为
$(2,2)$,反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过点 $C$,
$\therefore k=2×2=4$,
$\therefore$反比例函数的表达式为:$y=\frac{4}{x}$;

(2)$\because C(2,2),\therefore CO^2=2^2+2^2=8$,
$\because$含 $45°$ 角的三角板 $OAC$ 为等腰直角三角形,$∠ ACO=90°$,
$\therefore AC=CO,AO=\sqrt{CO^2+AC^2}=4$,
如图,$△ OAB$ 顺时针旋转 $90°$ 到 $△ OEF$,
$\therefore OE=OA=4$,
$\because D$ 的对应点 $G$ 在 $y=\frac{4}{x}$ 的图象上,
$\therefore y_G=1,\therefore EG=1$,
由旋转可得:$AD=GE=1,\therefore D(-1,4)$.