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1.如图，要使一块直角梯形的模板$BC // AD$，$∠ A = 90°$，$AB = 8\mathrm{cm}$，$BC = 4\mathrm{cm}$，以A为圆心，AB为半径，$\odot A$正好与CD相切交AD于点E，求AD的长.
答案
解:设$\odot A$与CD相切于点N,连接AN,作$CM⊥ AD$于M点，
$△ CDM≌△ ADN⇒ CD=AD$，
设$AD=x$，
$x^2=8^2+(x-4)^2$，
$x=10$.
2.如图，$\odot O$为直角梯形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，M，N，AB＝4，CD＝6，AB//CD，∠A＝90°，求$\odot O$的半径长.
答案
解:连接OM,OE,OF，
则四边形DEOF，四边形OFAM为正方形，
$\therefore M,O,E$三点共线.
$BN=BM=4-R$，
$CN=CE=6-R$，
$\therefore BC=10-2R$，
过B作$BH⊥ CD$于H点，
$(2R)^2+2^2=(10-2R)^2$，
$\therefore R=2.4$.
3.如图，BC为$\odot O$切线，切点为点E，CF切$\odot O$于点F，B，C，E，F均为格点.
(1)利用无刻度直尺过点B作$\odot O$的另一条切线BM，并延长交CF于点A，切点为点M；
(2)求AB的长(每个小正方形的边长为1).
(1)利用无刻度直尺过点B作$\odot O$的另一条切线BM，并延长交CF于点A，切点为点M；
(2)求AB的长(每个小正方形的边长为1).
答案
解:(1)如图所示,连接BO,过点E作OB的垂线交$\odot O$于点M,连接BM；
(2)设$AF=x$,$\therefore AF=AM$，
$\therefore AB=4+x$,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$(4+x)^2=6^2+(2+x)^2$，
$\therefore x=6$,$\therefore AB=10$.
4.(教材 P160T4 变式)如图,在 $Rt△ ACB$ 中,$∠ C=90°$,$\odot O$ 为内切圆,$D,E,F$ 为切点,连接$AD$,交$\odot O$于点$M$,若$FM// BC$.
(1)求证:$∠ BOD=∠ ADC$;
(2)若$CD=2$,求$BD$的长.
(1)求证:$∠ BOD=∠ ADC$;
(2)若$CD=2$,求$BD$的长.
答案
(1)证明:连接OF，
$∠ FMD=∠ BOD=∠ ADC$；
(2)解:易证$△ OBD≌△ DAC$，
设$BD=x$,则$AC=x$，
$BC=x+2$,$AB=2x-2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$(2x-2)^2=x^2+(x+2)^2$，
解得$x=6$，
$\therefore BD=6$.
