12.(7分)已知二次函数$y = x^{2} - 4x + 3a + 2$($a$为常数).
(1)请写出该二次函数的3条性质.
(2)在同一直角坐标系中,若该二次函数的图象与一次函数$y = 2x - 1$的图象有两个交点,求$a$的取值范围.

（1）
①二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，所以该二次函数对称轴为$x = -\frac{-4}{2×1}= 2$。
②因为二次项系数$1\gt0$，所以该二次函数图象开口向上。
③该二次函数顶点的纵坐标为$\frac{4×(3a + 2)-(-4)^{2}}{4×1}=3a + 2 - 4=3a - 2$，所以顶点坐标为$(2,3a - 2)$。
（2）
由$\begin{cases}y = x^{2}-4x + 3a + 2,\\y = 2x - 1.\end{cases}$
消去$y$得$x^{2}-4x + 3a + 2 = 2x - 1$，
整理得$x^{2}-6x + 3a + 3 = 0$。
因为两函数图象有两个交点，所以$\Delta=(-6)^{2}-4×(3a + 3)\gt0$，
$36-12a - 12\gt0$，
$-12a\gt - 24$，
$a\lt2$。
综上，（1）答案不唯一，如①对称轴为$x = 2$；②图象开口向上；③顶点坐标为$(2,3a - 2)$；（2）$a$的取值范围是$a\lt2$。

13.(8分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = x^{2} - 2x - 3$与$x$轴相交于点$A$,$B$(点$A$在点$B$的左侧),与$y$轴相交于点$C$,连接$AC$,$BC$.
(1)求线段$AC$的长.
(2)若点$P$为该抛物线对称轴上的一个动点,当$PA = PC$时,求点$P$的坐标.

(1)
令 $y = 0$，得 $x^{2}-2x - 3=0$，
因式分解得$(x - 3)(x+1)=0$，
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。
因为点$A$在点$B$的左侧，
所以$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
令 $x = 0$，得 $y=-3$，所以 $C(0,-3)$。
在 $Rt\triangle AOC$ 中，$OA = 1$，$OC = 3$，
根据勾股定理 $AC=\sqrt{OA^{2}+OC^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$。
(2)
抛物线 $y=x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$，
其对称轴为直线 $x = 1$。
设 $P(1,m)$。
已知 $A(-1,0)$，$C(0,-3)$，
根据两点间距离公式 $d=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$，
则 $PA=\sqrt{(1 + 1)^{2}+m^{2}}=\sqrt{4 + m^{2}}$，
$PC=\sqrt{(1-0)^{2}+(m + 3)^{2}}=\sqrt{1+(m + 3)^{2}}$。
因为 $PA = PC$，
所以 $\sqrt{4 + m^{2}}=\sqrt{1+(m + 3)^{2}}$。
两边平方得 $4+m^{2}=1+(m + 3)^{2}$，
展开得 $4+m^{2}=1+m^{2}+6m + 9$，
移项化简得 $6m=-6$，
解得 $m=-1$。
所以点 $P$ 的坐标为 $(1,-1)$（此时考虑$PA=PC$，关于对称轴上下对称情况，经计算只有这一种情况满足，若用几何方法，过$AC$中点作对称轴垂线，结合等腰三角形三线合一也可求解）
$(1,-1)$。