20.(8分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90°$,$\angle ABC$的平分线交$AC$于点$E$,过点$E$作$BE$的垂线,交$AB$于点$F$,$\odot O$是$\triangle BEF$的外接圆.
(1)求证：$AC$是$\odot O$的切线.
(2)过点$E$作$EH\perp AB$,垂足为$H$,若$CD=1$,$EH=3$,求$BF$的长.

(1) 连接OE。
∵BE⊥EF，
∴∠BEF=90°，
∴BF是⊙O的直径，O为BF中点。
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB。
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE//BC。
∵∠C=90°，
∴BC⊥AC，
∴OE⊥AC。
∵E在AC上，OE为半径，
∴AC是⊙O的切线。
(2)
∵BE平分∠ABC，∠C=90°，EH⊥AB，
∴EC=EH=3。
由切割线定理，CE²=CD·CB，CD=1，
∴3²=1·CB，得CB=9。
∵△BCE≌△BHE，
∴BH=BC=9。设⊙O半径为r，BF=2r，OE=OB=r。
∵OE//BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴(AB - r)/AB=r/9，即AB=9r/(9 - r)。
又AB=AH + 9，且AE²=AB² - 2ABr=AH² + 9，AH=AB - 9，代入得AB(r - 9)= -45。
联立AB=9r/(9 - r)与AB=45/(9 - r)，解得r=5，
∴BF=2r=10。
答案：(1) 证明见解析；(2) 10。

(1) 连接OE。
∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是⊙O的直径，O为BF中点。
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB。
∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE//BC。
∵∠C=90°，∴BC⊥AC，∴OE⊥AC。
∵E在AC上，OE为半径，∴AC是⊙O的切线。
(2) ∵BE平分∠ABC，∠C=90°，EH⊥AB，∴EC=EH=3。
由切割线定理，CE²=CD·CB，CD=1，∴3²=1·CB，得CB=9。
∵△BCE≌△BHE，∴BH=BC=9。设⊙O半径为r，BF=2r，OE=OB=r。
∵OE//BC，∴△AOE∽△ABC，∴(AB - r)/AB=r/9，即AB=9r/(9 - r)。
又AB=AH + 9，且AE²=AB² - 2ABr=AH² + 9，AH=AB - 9，代入得AB(r - 9)= -45。
联立AB=9r/(9 - r)与AB=45/(9 - r)，解得r=5，∴BF=2r=10。