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1.下列因式分解正确的是(
A.$a^{2}b - 2ab = a(ab - 2b)$
B.$-a^{2}b + ab^{2} = -ab(a - b)$
C.$ab - ab^{2} = ab(1 - b^{2})$
D.$-a^{2}b + 2ab = -ab(a + 2)$
B
).A.$a^{2}b - 2ab = a(ab - 2b)$
B.$-a^{2}b + ab^{2} = -ab(a - b)$
C.$ab - ab^{2} = ab(1 - b^{2})$
D.$-a^{2}b + 2ab = -ab(a + 2)$
答案
B
解析
A. $a^{2}b - 2ab = ab(a - 2)$，与选项给出的$a(ab - 2b)$不一致，故此选项错误；
B. $-a^{2}b + ab^{2} = ab(-a+b)= -ab(a - b)$，与选项给出的一致，正确；
C. $ab - ab^{2} = ab(1 - b)$，与选项给出的$ab(1 - b^{2})$不一致，故此选项错误；
D. $-a^{2}b + 2ab = -ab(a - 2)$，与选项给出的$-ab(a + 2)$不一致，故此选项错误。
B. $-a^{2}b + ab^{2} = ab(-a+b)= -ab(a - b)$，与选项给出的一致，正确；
C. $ab - ab^{2} = ab(1 - b)$，与选项给出的$ab(1 - b^{2})$不一致，故此选项错误；
D. $-a^{2}b + 2ab = -ab(a - 2)$，与选项给出的$-ab(a + 2)$不一致，故此选项错误。
2.在多项式$-12ab^{3}c - 8a^{3}b$中应提取的公因式是(
A.$4ab^{2}$
B.$-4abc$
C.$-4ab^{2}$
D.$-4ab$
D
).A.$4ab^{2}$
B.$-4abc$
C.$-4ab^{2}$
D.$-4ab$
答案
D
解析
多项式为$-12ab^{3}c - 8a^{3}b$，
首先，找出两项系数的最大公约数，即$gcd(12, 8) = 4$，
并且第二项系数为负，公因式需统一取负号，所以提取$-4$，
接着，对于字母部分，需要找出所有项中都含有的字母的最低次幂，
在两项中，$a$的最低次幂是$a^1$，$b$的最低次幂是$b^1$，而$c$只在第一项中出现，所以不应包含在公因式中，
因此，公因式是$-4ab$，
首先，找出两项系数的最大公约数，即$gcd(12, 8) = 4$，
并且第二项系数为负，公因式需统一取负号，所以提取$-4$，
接着，对于字母部分，需要找出所有项中都含有的字母的最低次幂，
在两项中，$a$的最低次幂是$a^1$，$b$的最低次幂是$b^1$，而$c$只在第一项中出现，所以不应包含在公因式中，
因此，公因式是$-4ab$，
3.已知$a + b = 4$，$ab = 2$，则$3a^{2}b + 3ab^{2}$的值为(
A.6
B.8
C.10
D.24
D
).A.6
B.8
C.10
D.24
答案
D
解析
首先，根据题目给出的条件，有$a + b = 4$和$ab = 2$，需要求$3a^{2}b + 3ab^{2}$的值。
将$3a^{2}b + 3ab^{2}$进行因式分解，得到：
$3a^{2}b + 3ab^{2} = 3ab(a + b)$
然后，将$a + b = 4$和$ab = 2$代入上式，得到：
$3ab(a + b) = 3 × 2 × 4 = 24$
将$3a^{2}b + 3ab^{2}$进行因式分解，得到：
$3a^{2}b + 3ab^{2} = 3ab(a + b)$
然后，将$a + b = 4$和$ab = 2$代入上式，得到：
$3ab(a + b) = 3 × 2 × 4 = 24$
4.已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，则代数式$a^{2} - ac - b(a - c)$的值为(
A.-30
B.30
C.-5
D.-6
C
).A.-30
B.30
C.-5
D.-6
答案
C
解析
先化简代数式：$a^2 - ac - b(a - c) = a^2 - ac - ab + bc = a(a - b) - c(a - b) = (a - b)(a - c)$。
由已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，得$a - c = (a - b) + (b - c) = 5 + (-6) = -1$。
则原式$=(a - b)(a - c) = 5×(-1) = -5$。
由已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，得$a - c = (a - b) + (b - c) = 5 + (-6) = -1$。
则原式$=(a - b)(a - c) = 5×(-1) = -5$。
5.甲、乙两位同学因式分解$-x^{2} + x$的结果如下，下列说法正确的是(
甲同学：原式$ = -x(x - 1)$；
乙同学：原式$ = x(1 - x)$。
A.甲、乙的结果都正确
B.甲、乙的结果都不正确
C.只有甲的结果正确
D.只有乙的结果正确
A
).甲同学：原式$ = -x(x - 1)$；
乙同学：原式$ = x(1 - x)$。
A.甲、乙的结果都正确
B.甲、乙的结果都不正确
C.只有甲的结果正确
D.只有乙的结果正确
答案
A
解析
将原式提取负号可得$-x^{2}+x=-(x^{2}-x)$，再对括号内的式子提取公因式$x$可得$-(x^{2}-x)=-x(x - 1)$，即甲同学的结果正确；对原式直接提取公因式$x$可得$-x^{2}+x=x(1 - x)$，即乙同学的结果也正确。
6.因式分解：$2m(a - b) - 3n(a - b) =$
(a - b)(2m - 3n)
答案
$(a - b)(2m - 3n)$。
解析
先观察表达式，发现两项中都含有公因式$(a - b)$，将公因式提取后，再将剩余部分组合起来，即：
$2m(a - b) - 3n(a - b) = (a - b)(2m - 3n)$。
$2m(a - b) - 3n(a - b) = (a - b)(2m - 3n)$。
7.若实数$a$，$b$满足$a + b = 5$，$a^{2}b + ab^{2} = -15$，则$ab$的值是
-3
答案
-3
解析
因为$a + b = 5$，$a^{2}b + ab^{2} = -15$，而$a^{2}b + ab^{2}=ab(a + b)$，所以$ab(a + b)=-15$。将$a + b = 5$代入，得$5ab=-15$，解得$ab=-3$。
8.一个长、宽分别为$m$，$n$的长方形的周长为16，面积为8，则$m^{2}n + mn^{2}$的值为
64
答案
64
解析
因为长方形周长为16，所以$2(m + n)=16$，即$m + n=8$；面积为8，所以$mn=8$。$m^{2}n + mn^{2}=mn(m + n)=8×8=64$。
9.因式分解：$x^{2} - 2x + (x - 2) =$
$(x - 2)(x + 1)$
答案
$(x - 2)(x + 1)$
解析
原式 $x^{2} - 2x + (x - 2)$
首先，对原式进行整理，合并同类项：
$x^{2} - 2x + x - 2 = x^{2} - x - 2$
接着，采用十字相乘法对整理后的式子进行因式分解，寻找两个数，它们的乘积为 $-2$，且它们的和为 $-1$，这两个数分别为 $-2$ 和 $1$，
因此，可以将 $x^{2} - x - 2$ 分解为：
$(x - 2)(x + 1)$
首先，对原式进行整理，合并同类项：
$x^{2} - 2x + x - 2 = x^{2} - x - 2$
接着，采用十字相乘法对整理后的式子进行因式分解，寻找两个数，它们的乘积为 $-2$，且它们的和为 $-1$，这两个数分别为 $-2$ 和 $1$，
因此，可以将 $x^{2} - x - 2$ 分解为：
$(x - 2)(x + 1)$
10.已知$(2x - 21)(3x - 7) - (3x - 7)(x - 13)$可因式分解为$(3x + a)(x + b)$，其中$a$，$b$均为整数，则$a + 3b =$
-31
答案
-31
解析
$\begin{aligned}&(2x - 21)(3x - 7) - (3x - 7)(x - 13)\\=&(3x - 7)[(2x - 21) - (x - 13)]\\=&(3x - 7)(2x - 21 - x + 13)\\=&(3x - 7)(x - 8)\end{aligned}$
对比$(3x + a)(x + b)$，得$a=-7$，$b=-8$，则$a + 3b=-7 + 3×(-8)=-31$
对比$(3x + a)(x + b)$，得$a=-7$，$b=-8$，则$a + 3b=-7 + 3×(-8)=-31$
11.(8分)分解因式.
(1)$(x + y)^{2}(x - y) + (x + y)(x - y)$
(2)$12(x - y)^{3} + 15x(y - x)^{2}$
(1)$(x + y)^{2}(x - y) + (x + y)(x - y)$
(2)$12(x - y)^{3} + 15x(y - x)^{2}$
答案
(1)
$\begin{aligned}&(x + y)^{2}(x - y) + (x + y)(x - y)\\=&(x + y)(x - y)[(x + y) + 1]\\=&(x + y)(x - y)(x + y + 1)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&12(x - y)^{3} + 15x(y - x)^{2}\\=&12(x - y)^{3} + 15x(x - y)^{2}\\=&3(x - y)^{2}[4(x - y)+5x]\\=&3(x - y)^{2}(4x - 4y + 5x)\\=&3(x - y)^{2}(9x - 4y)\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(x + y)^{2}(x - y) + (x + y)(x - y)\\=&(x + y)(x - y)[(x + y) + 1]\\=&(x + y)(x - y)(x + y + 1)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&12(x - y)^{3} + 15x(y - x)^{2}\\=&12(x - y)^{3} + 15x(x - y)^{2}\\=&3(x - y)^{2}[4(x - y)+5x]\\=&3(x - y)^{2}(4x - 4y + 5x)\\=&3(x - y)^{2}(9x - 4y)\end{aligned}$
