8.在$\triangle ABC$中,$AB,AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$E,F$.若$\angle BAC=115°$,则$\angle EAF=$.

50

连接AE、AF。
∵AB的垂直平分线交BC于E，∴AE=BE，∠BAE=∠B。
∵AC的垂直平分线交BC于F，∴AF=CF，∠CAF=∠C。
在△ABC中，∠BAC=115°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=65°。
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=65°。
∵∠BAC=∠BAE+∠EAF+∠CAF，
∴∠EAF=∠BAC-(∠BAE+∠CAF)=115°-65°=50°。

9.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A=40°$,$AB$的垂直平分线$MN$交$AC$于点$D,\angle DBC=30°$.若$AB=m,BC=n$,则$\triangle DBC$的周长为.

m+n

∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∴∠ABD=∠A=40°（等腰三角形底角相等）。
∵∠DBC=30°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=40°+30°=70°。
在△ABC中，∠A=40°，∠ABC=70°，∴∠C=180°-∠A-∠ABC=70°（三角形内角和定理）。
∴∠ABC=∠C，∴AB=AC=m（等角对等边）。
△DBC的周长=DB+BC+CD=AD+CD+BC=AC+BC=m+n。

10.如图,等腰$\triangle ABC$底边$BC$的长为$4cm$,面积是$12cm^2$,腰$AB$的垂直平分线$EF$交$AC$于点$F$.若$D$为$BC$边上的中点,$M$为线段$EF$上一动点,则$\triangle BDM$的周长最短为$cm$.

8

在等腰△ABC中，D为BC中点，BC=4cm，故BD=2cm（固定值）。△BDM周长=BD+DM+BM=2+DM+BM，需使DM+BM最小。
EF为AB垂直平分线，由垂直平分线性质得MA=MB，故DM+BM=DM+MA。
△ABC面积=12cm²，BC=4cm，底边BC上的高AD=6cm（由面积公式1/2×4×AD=12解得）。
A、D为定点，M在EF上，MA+MD最小值为AD（两点之间线段最短），AD=6cm。
故△BDM周长最短=2+6=8cm。

11.(7分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$M$是$BC$的中点,$D,E$分别是$AB,AC$上的点,$BD=CE$.
求证:$MD = ME$.

证明：
因为$AB = AC$，
根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，
所以$\angle B = \angle C$。
因为$M$是$BC$的中点，
根据中点的定义，
所以$BM = CM$。
已知$BD = CE$。
在$\triangle BDM$和$\triangle CEM$中，
$\begin{cases}\angle B = \angle C \\BM = CM \\BD = CE\end{cases}$
根据全等三角形的判定定理（$SAS$），
可得$\triangle BDM\cong\triangle CEM$。
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，
所以$MD = ME$。