1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{\circ}$,$CD ⊥ AB$于点$D$,$E$,$F$分别为$AC$,$BC$上的一点,且$DE ⊥$$DF$,$\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{1}{4}$.

(1)求$\dfrac{BC}{AC}$的值;
(2)求$\dfrac{DF}{DE}$的值.

(1)1/2；(2)1/2

(1)∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴AD/CD=CD/BD=AC/BC。设BD=x，则AD=4x，由AD·BD=CD²得CD=2x，∴AC/BC=AD/CD=4x/2x=2，故BC/AC=1/2。
(2)∵DE⊥DF，CD⊥AB，∴∠EDC=∠FDB，又∠ECD=∠B，∴△CDE∽△BDF，∴DF/DE=BD/CD= x/2x=1/2。

2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,$E$为$BC$边上一点,$CF ⊥ AE$于点$F$,连接$BF$,若$∠ BFE=45^{\circ}$.求证:$E$为$BC$的中点.

E为BC的中点。

过点B作BG⊥AE交AE延长线于G，∵CF⊥AE，∴CF//BG，△CFE∽△BGE，设CE/BE=CF/BG=EF/EG=k，令CE=kx，BE=x，则BC=CE+BE=k x+x=x(k+1)，∵AC=BC，∴AC=x(k+1)。
∵∠BFE=45°，∠BGF=90°，∴△BGF为等腰直角三角形，∴BG=FG。
∵FG=FE+EG=EF+EF/k=EF(k+1)/k，BG=CF/k，∴CF/k=EF(k+1)/k，即CF=EF(k+1)。
在Rt△ACE中，CF⊥AE，由射影定理得CF²=AF·EF，∴AF=CF²/EF=EF(k+1)²。
AE=AF+EF=EF[(k+1)²+1]=EF(k²+2k+2)，又AE=√(AC²+CE²)=√[x²(k+1)²+(k x)²]=x√(2k²+2k+1)。
由射影定理CE²=EF·AE，得EF=CE²/AE=k²x²/AE，代入AE=EF(k²+2k+2)得AE=k²x²(k²+2k+2)/AE，即AE²=k²x²(k²+2k+2)。
又AE²=x²(2k²+2k+1)，∴2k²+2k+1=k²(k²+2k+2)，化简得(k²-1)(k²+2k+1)=0，∵k＞0，∴k=1，即CE=BE，故E为BC中点。

3. (武汉中考改编)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90^{\circ}$,$AD ⊥ BC$于点$D$,$O$是$AC$边上一点,连接$BO$交$AD$于点$F$,$OE ⊥ OB$交$BC$于点$E$.

(1)求证:$∠ AFO=∠ DEO$;
(2)若$OA=OC=AB$,求$\dfrac{OF}{OE}$的值.

(1)见解析；(2)2

(1)∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠BAD=∠C，∠ADC=90°.∵OE⊥OB，∴∠BOE=90°，又∠AOB+∠COE=90°，∠ABO+∠AOB=90°，∴∠ABO=∠COE.∴△ABF∽△COE(AA)，∴∠AFB=∠CEO.∵∠AFB=∠OFD(对顶角)，∠OFD+∠AFO=180°，∠CEO+∠DEO=180°，∴∠AFO=∠DEO.
(2)设OA=OC=AB=a，则AC=2a，O为AC中点，坐标法设A(0,0)，B(0,a)，C(2a,0)，O(a,0).BC方程：y=-1/2x+a，AD方程：y=2x(∵AD⊥BC，斜率为2).BO方程：y=-x+a，联立AD与BO得F(a/3,2a/3).OE⊥OB，斜率为1，方程：y=x-a，联立BC与OE得E(4a/3,a/3).OF=√[(a-a/3)²+(0-2a/3)²]=2√2a/3，OE=√[(4a/3-a)²+(a/3-0)²]=√2a/3，∴OF/OE=2.