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如图,在△ABC 中,∠A=90°,∠C=30°,D 为 AB 边上一点,过点 D 的直线与边 AC 交于点 E. 若△ADE 与△ABC 相似,则∠ADE 的度数为
【点睛】根据△ADE 与△ABC 相似的对应情况,分类讨论:∠ADE 与∠B 对应,或∠ADE 与∠C 对应.
30°或60°
.【点睛】根据△ADE 与△ABC 相似的对应情况,分类讨论:∠ADE 与∠B 对应,或∠ADE 与∠C 对应.
答案
30°或60°
解析
在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，则∠B=60°。△ADE与△ABC相似，且∠A为公共角，分两种情况：
1. 若∠ADE=∠B，则∠ADE=60°；
2. 若∠ADE=∠C，则∠ADE=30°。
综上，∠ADE的度数为30°或60°。
1. 若∠ADE=∠B，则∠ADE=60°；
2. 若∠ADE=∠C，则∠ADE=30°。
综上，∠ADE的度数为30°或60°。
1. (2025 黄冈)在△ABC 与△A₁B₁C₁中,∠A=50°,∠B=60°,∠A₁=50°,当∠C₁=
70°
时,△ABC∽△A₁B₁C₁.答案
$70^{\circ}$（这里按题目要求应填具体角度值，若题目是选择题且$70^{\circ}$对应选项则填对应选项字母，由于本题非选择题形式给出填空内容，按规则填$70^{\circ}$ ）
解析
在$\bigtriangleup ABC$中，已知$∠ A=50^{\circ}$，$∠ B=60^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$∠ C = 180^{\circ}-∠ A - ∠ B=180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}$。
因为$\bigtriangleup ABC∼\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$，根据相似三角形的性质，对应角相等，已知$∠ A = ∠ A_{1}=50^{\circ}$，所以$∠ C_{1}=∠ C = 70^{\circ}$。
因为$\bigtriangleup ABC∼\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$，根据相似三角形的性质，对应角相等，已知$∠ A = ∠ A_{1}=50^{\circ}$，所以$∠ C_{1}=∠ C = 70^{\circ}$。
2. 如图,点 D,E 分别在△ABC 的边 AB,AC 上,且∠AED=∠ABC,若 DE=3,BC=6,AB=8,则 AE 的长为
4
.答案
4
解析
在△AED和△ABC中，
∵ ∠AED = ∠ABC，∠A = ∠A，
∴ △AED ∼ △ABC（两角对应相等，三角形相似）。
根据相似三角形的性质，
$\frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AB}$
代入已知条件，DE = 3，BC = 6，AB = 8，
$\frac{3}{6} = \frac{AE}{8}$
解得：
$AE = 4$
∵ ∠AED = ∠ABC，∠A = ∠A，
∴ △AED ∼ △ABC（两角对应相等，三角形相似）。
根据相似三角形的性质，
$\frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AB}$
代入已知条件，DE = 3，BC = 6，AB = 8，
$\frac{3}{6} = \frac{AE}{8}$
解得：
$AE = 4$
3. (2025 宜昌)如图,F 是△ABC 的 BC 边上一点,且 AC=2CF=2,∠CAB=∠CFA,则 BF=
3
.答案
3
解析
∵AC=2CF=2，∴AC=2，CF=1。设BF=x，则BC=BF+FC=x+1。
∵∠CAB=∠CFA，∠ACB=∠FCA（公共角），∴△ABC∽△FCA（AA相似判定）。
∴BC/CA=AC/FC，即(x+1)/2=2/1，解得x+1=4，x=3。
∵∠CAB=∠CFA，∠ACB=∠FCA（公共角），∴△ABC∽△FCA（AA相似判定）。
∴BC/CA=AC/FC，即(x+1)/2=2/1，解得x+1=4，x=3。
4. (2025 河北中考)如图,在五边形 ABCDE 中,AE//BC,延长 BA,BC,分别交直线 DE 于点 M,N. 若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是(
A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
A
)A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
答案
A
解析
已知AE//BC，故∠MAE=∠B（同位角相等），∠2=∠DNC（内错角相等）。
选项B：CD//AB→∠B=∠4（同旁内角互补及邻补角性质），则∠MAE=∠4，结合∠2=∠DNC，△MAE∽△DCN（两角对应相等）。
选项C：∠1=∠4，∠1=∠MAE，故∠MAE=∠4，结合∠2=∠DNC，△MAE∽△DCN（两角对应相等）。
选项D：∠2=∠3，∠2=∠DNC→∠3=∠DNC，即∠CDN=∠DNC，△DCN中∠DCN=180°-2∠DNC；△MAE中∠AME=180°-∠MAE-∠2=180°-∠B-∠DNC，若∠2=∠3，则∠AME=∠DCN，△MAE∽△DCN（两角对应相等）。
选项A：∠B+∠4=180°→∠MAE+∠DCN=180°，仅能说明两角互补，无法推出相等，不能判定相似。
选项B：CD//AB→∠B=∠4（同旁内角互补及邻补角性质），则∠MAE=∠4，结合∠2=∠DNC，△MAE∽△DCN（两角对应相等）。
选项C：∠1=∠4，∠1=∠MAE，故∠MAE=∠4，结合∠2=∠DNC，△MAE∽△DCN（两角对应相等）。
选项D：∠2=∠3，∠2=∠DNC→∠3=∠DNC，即∠CDN=∠DNC，△DCN中∠DCN=180°-2∠DNC；△MAE中∠AME=180°-∠MAE-∠2=180°-∠B-∠DNC，若∠2=∠3，则∠AME=∠DCN，△MAE∽△DCN（两角对应相等）。
选项A：∠B+∠4=180°→∠MAE+∠DCN=180°，仅能说明两角互补，无法推出相等，不能判定相似。
5. (2025 盐城)如图,在△PAB 中,点 C,D 在 AB 上,PC=PD,∠A=∠BPD. 求证:△APC∽△PBD.
答案
△APC∽△PBD
解析
∵PC=PD，∴∠PCD=∠PDC（等边对等角）。
∵∠PCD是△APC的外角，∴∠PCD=∠A+∠APC（三角形外角性质）。
∵∠PDC是△PBD的外角，∴∠PDC=∠B+∠BPD（三角形外角性质）。
∴∠A+∠APC=∠B+∠BPD（等量代换）。
∵∠A=∠BPD（已知），∴∠APC=∠B（等式性质）。
在△APC和△PBD中，∠A=∠BPD，∠APC=∠B，∴△APC∽△PBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵∠PCD是△APC的外角，∴∠PCD=∠A+∠APC（三角形外角性质）。
∵∠PDC是△PBD的外角，∴∠PDC=∠B+∠BPD（三角形外角性质）。
∴∠A+∠APC=∠B+∠BPD（等量代换）。
∵∠A=∠BPD（已知），∴∠APC=∠B（等式性质）。
在△APC和△PBD中，∠A=∠BPD，∠APC=∠B，∴△APC∽△PBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
6. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边 BC 上的高.
(1)求证:△ABD∽△CBA；
(2)若 AB=6,BC=10,求 BD 的长.
(1)求证:△ABD∽△CBA；
(2)若 AB=6,BC=10,求 BD 的长.
答案
【解析】：(1)
∵AD是斜边BC上的高，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠BAC，又
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA；
(2)由(1)知△ABD∽△CBA，
∴AB/BC=BD/AB，
∵AB=6，BC=10，
∴6/10=BD/6，解得BD=3.6。
【答案】：(1)证明见解析；(2)3.6
∵AD是斜边BC上的高，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠BAC，又
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA；
(2)由(1)知△ABD∽△CBA，
∴AB/BC=BD/AB，
∵AB=6，BC=10，
∴6/10=BD/6，解得BD=3.6。
【答案】：(1)证明见解析；(2)3.6
解析
(1) 证明：由于 $AD$ 是斜边 $BC$ 上的高，
$\therefore ∠ ADB = ∠ BAC = 90°$，
$\because ∠ B = ∠ B$，
根据相似三角形判定定理（AA），
$\therefore △ ABD ∼ △ CBA$。
(2) 由（1）知$△ ABD ∼ △ CBA$，
$\therefore \fracAB {BC} =\frac {BD} {AB}$，
$\because AB = 6, BC = 10$，
$\therefore \frac {6}{10} =\frac {BD}{6}$，
$\therefore BD = 3.6 × (或\frac{18}{5})$。
$\therefore ∠ ADB = ∠ BAC = 90°$，
$\because ∠ B = ∠ B$，
根据相似三角形判定定理（AA），
$\therefore △ ABD ∼ △ CBA$。
(2) 由（1）知$△ ABD ∼ △ CBA$，
$\therefore \fracAB {BC} =\frac {BD} {AB}$，
$\because AB = 6, BC = 10$，
$\therefore \frac {6}{10} =\frac {BD}{6}$，
$\therefore BD = 3.6 × (或\frac{18}{5})$。
