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【例3】如图29－3，某地有座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱顶C高出水面2.4 m.现有一艘宽3 m，顶部为长方形并且高出水面2 m的货船要经过这里.此货船能顺利通过这座拱桥吗？
思路分析：货船能否通过这座拱桥，关键是看货船顶部是否被拱桥拦住，即当货船位于桥下正中间EF时，两边的高度是否小于FN（如图29－3所示）.
解：如图29－3，设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点O，作OD⊥AB，垂足为D，OD的延长线交MN于点H，交$\overset{\frown}{AB}$于点C，连接OA，ON.
由题意，得DC＝2.4 m，设OA＝r m，
则OD＝$(r-2.4)$ m，AD＝$\frac{1}{2}AB＝3.6$ m.
在$Rt△ OAD$中，根据勾股定理，得$OA^2＝AD^2＋OD^2$，
即$r^2＝3.6^2＋(r-2.4)^2$，解得$r＝3.9$.
若$EF＝3$ m，则$DF＝NH＝\frac{1}{2}×3＝1.5$(m).
在$Rt△ ONH$中，根据勾股定理，
得$OH＝\sqrt{ON^2－NH^2}＝\sqrt{3.9^2－1.5^2}＝3.6$(m).
则$FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1$(m).
∵$2＜2.1$，
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
点拨：利用垂径定理求线段的长的方法：
垂径定理是解决有关圆的计算、证明问题常用的知识.求线段长时，一般在由半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构成的直角三角形里，运用勾股定理求解，即用“垂径定理＋勾股定理”求解.
思路分析：货船能否通过这座拱桥，关键是看货船顶部是否被拱桥拦住，即当货船位于桥下正中间EF时，两边的高度是否小于FN（如图29－3所示）.
解：如图29－3，设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点O，作OD⊥AB，垂足为D，OD的延长线交MN于点H，交$\overset{\frown}{AB}$于点C，连接OA，ON.
由题意，得DC＝2.4 m，设OA＝r m，
则OD＝$(r-2.4)$ m，AD＝$\frac{1}{2}AB＝3.6$ m.
在$Rt△ OAD$中，根据勾股定理，得$OA^2＝AD^2＋OD^2$，
即$r^2＝3.6^2＋(r-2.4)^2$，解得$r＝3.9$.
若$EF＝3$ m，则$DF＝NH＝\frac{1}{2}×3＝1.5$(m).
在$Rt△ ONH$中，根据勾股定理，
得$OH＝\sqrt{ON^2－NH^2}＝\sqrt{3.9^2－1.5^2}＝3.6$(m).
则$FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1$(m).
∵$2＜2.1$，
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
点拨：利用垂径定理求线段的长的方法：
垂径定理是解决有关圆的计算、证明问题常用的知识.求线段长时，一般在由半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构成的直角三角形里，运用勾股定理求解，即用“垂径定理＋勾股定理”求解.
答案
解：设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点O，作$OD⊥ AB$，垂足为D，OD的延长线交MN于点H，交$\overset{\frown}{AB}$于点C，连接OA，ON。
由题意，得$DC=2.4\ \mathrm{m}$，设$OA=r\ \mathrm{m}$，
则$OD=(r-2.4)\ \mathrm{m}$，$AD=\frac{1}{2}AB=3.6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，根据勾股定理，得$OA^2=AD^2+OD^2$，
即$r^2=3.6^2+(r-2.4)^2$，解得$r=3.9$。
若$EF=3\ \mathrm{m}$，则$DF=NH=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ONH$中，根据勾股定理，
得$OH=\sqrt{ON^2-NH^2}=\sqrt{3.9^2-1.5^2}=3.6\ \mathrm{m}$。
则$FN=DH=OH-OD=3.6-(3.9-2.4)=2.1\ \mathrm{m}$。
$\because 2＜2.1$，
$\therefore$此货船能顺利通过这座拱桥。
由题意，得$DC=2.4\ \mathrm{m}$，设$OA=r\ \mathrm{m}$，
则$OD=(r-2.4)\ \mathrm{m}$，$AD=\frac{1}{2}AB=3.6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，根据勾股定理，得$OA^2=AD^2+OD^2$，
即$r^2=3.6^2+(r-2.4)^2$，解得$r=3.9$。
若$EF=3\ \mathrm{m}$，则$DF=NH=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ONH$中，根据勾股定理，
得$OH=\sqrt{ON^2-NH^2}=\sqrt{3.9^2-1.5^2}=3.6\ \mathrm{m}$。
则$FN=DH=OH-OD=3.6-(3.9-2.4)=2.1\ \mathrm{m}$。
$\because 2＜2.1$，
$\therefore$此货船能顺利通过这座拱桥。
解析
【分析】
要判断货船能否顺利通过拱桥，核心是比较货船顶部高出水面的高度与拱桥在货船宽度对应位置处的净高大小。解题思路如下：首先构造圆弧所在圆的几何模型，作垂直于水面的辅助线，连接半径得到直角三角形；再利用垂径定理得到半弦长，结合勾股定理列方程求解圆的半径；最后计算货船宽度对应位置的拱桥净高，与货船高出水面的高度比较，即可得出结论。
【解析】
设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点O，作$OD⊥ AB$，垂足为D，OD的延长线交MN于点H，交$\overset{\frown}{AB}$于点C，连接OA，ON。
由题意，得$DC=2.4\ \mathrm{m}$，设$OA=r\ \mathrm{m}$，
则$OD=(r-2.4)\ \mathrm{m}$，$AD=\frac{1}{2}AB=3.6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，根据勾股定理，得$OA^2=AD^2+OD^2$，
即$r^2=3.6^2+(r-2.4)^2$，解得$r=3.9$。
若$EF=3\ \mathrm{m}$，则$DF=NH=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ONH$中，根据勾股定理，
得$OH=\sqrt{ON^2-NH^2}=\sqrt{3.9^2-1.5^2}=3.6\ \mathrm{m}$。
则$FN=DH=OH-OD=3.6-(3.9-2.4)=2.1\ \mathrm{m}$。
$\because 2＜2.1$，
$\therefore$此货船能顺利通过这座拱桥。
【答案】
此货船能顺利通过这座拱桥
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的实际应用
【点评】
本题是圆在实际生活中应用的典型题型，解题关键是将拱桥通行问题转化为圆的相关几何计算问题，通过构造“半径、弦心距、半弦长”组成的直角三角形，结合勾股定理求解未知量，可锻炼学生将实际问题抽象为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65
要判断货船能否顺利通过拱桥，核心是比较货船顶部高出水面的高度与拱桥在货船宽度对应位置处的净高大小。解题思路如下：首先构造圆弧所在圆的几何模型，作垂直于水面的辅助线，连接半径得到直角三角形；再利用垂径定理得到半弦长，结合勾股定理列方程求解圆的半径；最后计算货船宽度对应位置的拱桥净高，与货船高出水面的高度比较，即可得出结论。
【解析】
设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点O，作$OD⊥ AB$，垂足为D，OD的延长线交MN于点H，交$\overset{\frown}{AB}$于点C，连接OA，ON。
由题意，得$DC=2.4\ \mathrm{m}$，设$OA=r\ \mathrm{m}$，
则$OD=(r-2.4)\ \mathrm{m}$，$AD=\frac{1}{2}AB=3.6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，根据勾股定理，得$OA^2=AD^2+OD^2$，
即$r^2=3.6^2+(r-2.4)^2$，解得$r=3.9$。
若$EF=3\ \mathrm{m}$，则$DF=NH=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ONH$中，根据勾股定理，
得$OH=\sqrt{ON^2-NH^2}=\sqrt{3.9^2-1.5^2}=3.6\ \mathrm{m}$。
则$FN=DH=OH-OD=3.6-(3.9-2.4)=2.1\ \mathrm{m}$。
$\because 2＜2.1$，
$\therefore$此货船能顺利通过这座拱桥。
【答案】
此货船能顺利通过这座拱桥
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的实际应用
【点评】
本题是圆在实际生活中应用的典型题型，解题关键是将拱桥通行问题转化为圆的相关几何计算问题，通过构造“半径、弦心距、半弦长”组成的直角三角形，结合勾股定理求解未知量，可锻炼学生将实际问题抽象为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65
