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10. 学科特色 多解法 「2026江苏南京一模，★☆」若一组数据$x_1$，$x_2$，…，$x_8$的平均数是2，则数据$2x_1+1$，$2x_2+1$，…，$2x_8+1$的平均数是
5
。答案
10.答案 5
解析 【解法一】由题意得$\frac{1}{8}(x_1+x_2+…+x_8)=2$,
即$x_1+x_2+…+x_8=16$,
∴ 数据$2x_1+1,2x_2+1,…,2x_8+1$的平均数是$\frac{1}{8}(2x_1+1+2x_2+1+…+2x_8+1)=\frac{1}{4}×(x_1+x_2+…+x_8)+\frac{1}{8}×8=4+1=5$.
【解法二】
∵ 数据$x_1,x_2,…,x_8$的平均数是2,
∴ 数据$2x_1+1,2x_2+1,…,2x_8+1$的平均数为$2×2+1=5$.
解析 【解法一】由题意得$\frac{1}{8}(x_1+x_2+…+x_8)=2$,
即$x_1+x_2+…+x_8=16$,
∴ 数据$2x_1+1,2x_2+1,…,2x_8+1$的平均数是$\frac{1}{8}(2x_1+1+2x_2+1+…+2x_8+1)=\frac{1}{4}×(x_1+x_2+…+x_8)+\frac{1}{8}×8=4+1=5$.
【解法二】
∵ 数据$x_1,x_2,…,x_8$的平均数是2,
∴ 数据$2x_1+1,2x_2+1,…,2x_8+1$的平均数为$2×2+1=5$.
解析
【分析】
本题考查平均数的计算，有两种解题思路：思路一：从平均数的定义出发，先根据原数据的平均数求出原数据的总和，再表示出新数据的总和，除以数据个数即可得到新数据的平均数；思路二：运用平均数的性质，若原数据的平均数为$\overline{x}$，则$ax_i+b$形式的新数据的平均数为$a\overline{x}+b$，直接代入数值计算即可。其中第一种是基础方法，能巩固对平均数定义的理解，第二种更简便，可提升解题速度。
【解析】
解法一：根据平均数的定义，由题意得：
$\frac{1}{8}(x_1+x_2+\dots+x_8)=2$，
$\therefore x_1+x_2+\dots+x_8=2×8=16$。
新数据$2x_1+1,2x_2+1,\dots,2x_8+1$的平均数为：
$\frac{1}{8}[(2x_1+1)+(2x_2+1)+\dots+(2x_8+1)]$
$=\frac{1}{8}[2(x_1+x_2+\dots+x_8)+8×1]$
将$x_1+x_2+\dots+x_8=16$代入得：
$=\frac{1}{8}(2×16 +8)=\frac{40}{8}=5$。
解法二：根据平均数的性质：若一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，则数据$ax_1+b,ax_2+b,\dots,ax_n+b$的平均数为$a\overline{x}+b$。
本题中原数据平均数$\overline{x}=2$，$a=2$，$b=1$，代入得新数据的平均数为：
$2×2+1=5$。
【答案】
5
【知识点】
平均数的定义；平均数的性质
【点评】
本题是平均数的基础题型，两种解题方法分别对应基础概念理解和规律灵活运用两个层面，能很好地检验学生对平均数相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.9
本题考查平均数的计算，有两种解题思路：思路一：从平均数的定义出发，先根据原数据的平均数求出原数据的总和，再表示出新数据的总和，除以数据个数即可得到新数据的平均数；思路二：运用平均数的性质，若原数据的平均数为$\overline{x}$，则$ax_i+b$形式的新数据的平均数为$a\overline{x}+b$，直接代入数值计算即可。其中第一种是基础方法，能巩固对平均数定义的理解，第二种更简便，可提升解题速度。
【解析】
解法一：根据平均数的定义，由题意得：
$\frac{1}{8}(x_1+x_2+\dots+x_8)=2$，
$\therefore x_1+x_2+\dots+x_8=2×8=16$。
新数据$2x_1+1,2x_2+1,\dots,2x_8+1$的平均数为：
$\frac{1}{8}[(2x_1+1)+(2x_2+1)+\dots+(2x_8+1)]$
$=\frac{1}{8}[2(x_1+x_2+\dots+x_8)+8×1]$
将$x_1+x_2+\dots+x_8=16$代入得：
$=\frac{1}{8}(2×16 +8)=\frac{40}{8}=5$。
解法二：根据平均数的性质：若一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，则数据$ax_1+b,ax_2+b,\dots,ax_n+b$的平均数为$a\overline{x}+b$。
本题中原数据平均数$\overline{x}=2$，$a=2$，$b=1$，代入得新数据的平均数为：
$2×2+1=5$。
【答案】
5
【知识点】
平均数的定义；平均数的性质
【点评】
本题是平均数的基础题型，两种解题方法分别对应基础概念理解和规律灵活运用两个层面，能很好地检验学生对平均数相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.9
11.「2026江苏扬州期中，★☆」小马的期末成绩单如下表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是
92
。答案
11.答案 92
解析 设语文成绩十位上的数字为$x$,数学成绩个位上的数字是$y$,
∴ $\frac{1}{4}×(10x+9+90+y+93+94)=92$,
∴ $10x+y=82$,
∵ $x,y$是非负整数,且$0＜x≤9,0≤y≤9$,
∴ $x=8,y=2$,
∴ 小马的数学成绩是92.
解析 设语文成绩十位上的数字为$x$,数学成绩个位上的数字是$y$,
∴ $\frac{1}{4}×(10x+9+90+y+93+94)=92$,
∴ $10x+y=82$,
∵ $x,y$是非负整数,且$0＜x≤9,0≤y≤9$,
∴ $x=8,y=2$,
∴ 小马的数学成绩是92.
解析
【分析】
首先根据平均分可求出四门科目的总分，用总分减去已知的体育、外语成绩就能得到语文和数学的成绩和。再用字母分别表示语文成绩的十位数字、数学成绩的个位数字，结合数位的表示方法写出两门成绩的代数式，建立等量关系，最后根据数位上的数字是0~9的整数（十位数字不为0）求解未知数，即可得到数学成绩。
【解析】
设语文成绩十位上的数字为$x$，数学成绩个位上的数字为$y$，其中$x、y$均为整数，且$1≤ x≤9$，$0≤ y≤9$。
根据总分=平均分×科目数，可得四门课总分为：$92×4=368$
据此列方程：$(10x+9)+(90+y)+93+94=368$
整理方程得：$10x+y=82$
结合$x、y$的取值范围，可推出$x=8$，$y=2$
因此数学成绩为$90+2=92$。
【答案】
92
【知识点】
平均数计算，数位的表示，不定方程整数解
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是利用平均数公式求出总分，结合数位的表示方法建立方程，再根据数字的取值范围确定未知数的结果，能很好地考察学生的逻辑分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.8
首先根据平均分可求出四门科目的总分，用总分减去已知的体育、外语成绩就能得到语文和数学的成绩和。再用字母分别表示语文成绩的十位数字、数学成绩的个位数字，结合数位的表示方法写出两门成绩的代数式，建立等量关系，最后根据数位上的数字是0~9的整数（十位数字不为0）求解未知数，即可得到数学成绩。
【解析】
设语文成绩十位上的数字为$x$，数学成绩个位上的数字为$y$，其中$x、y$均为整数，且$1≤ x≤9$，$0≤ y≤9$。
根据总分=平均分×科目数，可得四门课总分为：$92×4=368$
据此列方程：$(10x+9)+(90+y)+93+94=368$
整理方程得：$10x+y=82$
结合$x、y$的取值范围，可推出$x=8$，$y=2$
因此数学成绩为$90+2=92$。
【答案】
92
【知识点】
平均数计算，数位的表示，不定方程整数解
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是利用平均数公式求出总分，结合数位的表示方法建立方程，再根据数字的取值范围确定未知数的结果，能很好地考察学生的逻辑分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.8
12.「2026江苏苏州昆山娄江实验中学月考，★☆」已知一组数据9,x,y,8,7,11,7,6的平均数为7,其中y-x=2,求x,y的值.
答案
12.解析
∵ 9,x,y,8,7,11,7,6 的平均数为 7,
∴ $\frac{9+x+y+8+7+11+7+6}{8}=7$,即 $x+y=8$,
∵ $y-x=2$,
∴ $\begin{cases}x+y=8,\\y-x=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3,\\y=5.\end{cases}$
∵ 9,x,y,8,7,11,7,6 的平均数为 7,
∴ $\frac{9+x+y+8+7+11+7+6}{8}=7$,即 $x+y=8$,
∵ $y-x=2$,
∴ $\begin{cases}x+y=8,\\y-x=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3,\\y=5.\end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先从已知的平均数条件入手，回忆平均数的计算公式：平均数等于所有数据的和除以数据的总个数，利用这个公式可以列出关于x和y的第一个等式，求出x+y的值；再结合题目给出的y-x=2，就能得到关于x、y的二元一次方程组，解这个方程组即可得到x、y的取值。
【解析】
∵ 数据9,x,y,8,7,11,7,6的平均数为7，
∴ $\frac{9+x+y+8+7+11+7+6}{8}=7$，
计算分子中的常数和可得：$9+8+7+11+7+6=48$，代入后化简得$48+x+y=56$，即 $x+y=8$，
又
∵ $y-x=2$，
∴ 联立得方程组$\begin{cases}x+y=8\\y-x=2\end{cases}$，
两式相加得$2y=10$，解得$y=5$，将$y=5$代入$y-x=2$，解得$x=3$。
【答案】
$\begin{cases}x=3\\y=5\end{cases}$
【知识点】
平均数的计算，解二元一次方程组
【点评】
本题是基础应用类题目，结合了平均数概念与二元一次方程组的求解两个考点，解题的核心是熟练掌握平均数的计算公式，从而得到x与y的数量关系，联立方程即可轻松求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先从已知的平均数条件入手，回忆平均数的计算公式：平均数等于所有数据的和除以数据的总个数，利用这个公式可以列出关于x和y的第一个等式，求出x+y的值；再结合题目给出的y-x=2，就能得到关于x、y的二元一次方程组，解这个方程组即可得到x、y的取值。
【解析】
∵ 数据9,x,y,8,7,11,7,6的平均数为7，
∴ $\frac{9+x+y+8+7+11+7+6}{8}=7$，
计算分子中的常数和可得：$9+8+7+11+7+6=48$，代入后化简得$48+x+y=56$，即 $x+y=8$，
又
∵ $y-x=2$，
∴ 联立得方程组$\begin{cases}x+y=8\\y-x=2\end{cases}$，
两式相加得$2y=10$，解得$y=5$，将$y=5$代入$y-x=2$，解得$x=3$。
【答案】
$\begin{cases}x=3\\y=5\end{cases}$
【知识点】
平均数的计算，解二元一次方程组
【点评】
本题是基础应用类题目，结合了平均数概念与二元一次方程组的求解两个考点，解题的核心是熟练掌握平均数的计算公式，从而得到x与y的数量关系，联立方程即可轻松求解。
【难度系数】
0.85
13. 情境 中华优秀传统文化「2026浙江湖州模拟，★☆」“湖笔”是中国传统文房四宝之一，某家毛笔工坊为提升品质，现引入智能系统对毛笔的质量进行评分（满分10分），得分在8分及以上的毛笔算作合格。该工坊共有四个生产车间，在每个车间随机抽取10支毛笔，统计合格毛笔的数量，结果如下：
| 车间 | ① | ② | ③ | ④ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 合格数量/支 | 8 |
10 | 9 | 9 |
(1)若车间①抽取的10支毛笔的得分(单位：分)分别为10,8,8,7,8,9,10,7,8,9，求这10支毛笔的得分的平均分。
(2)已知每个车间每天定额生产100支毛笔，根据统计数据，估计这四个车间每天生产合格毛笔的总量。
| 车间 | ① | ② | ③ | ④ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 合格数量/支 | 8 |
10 | 9 | 9 |(1)若车间①抽取的10支毛笔的得分(单位：分)分别为10,8,8,7,8,9,10,7,8,9，求这10支毛笔的得分的平均分。
(2)已知每个车间每天定额生产100支毛笔，根据统计数据，估计这四个车间每天生产合格毛笔的总量。
答案
13.解析 (1)这10支毛笔的得分的平均分为$\frac{1}{10}×(10×2+9×2+8×4+7×2)=\frac{1}{10}×84=8.4$(分).
(2)$100×4×\frac{8+10+9+9}{40}=360$(支).
答:估计这四个车间每天生产合格毛笔的总量为360支.
(2)$100×4×\frac{8+10+9+9}{40}=360$(支).
答:估计这四个车间每天生产合格毛笔的总量为360支.
解析
【分析】
(1)求10支毛笔得分的平均分，核心运用平均数计算公式：平均数=所有数据的总和÷数据总个数。解题时先统计各分值对应的数量，再计算得分总和，最后除以总数量10即可得到平均分。
(2)估计四个车间每天合格毛笔总量，采用用样本估计总体的思路：先计算抽取的40支毛笔的合格率，再用四个车间每日总生产量乘以该合格率，即可得到估计的合格总量。
【解析】
(1) 先统计各得分的数量：10分有2支，9分有2支，8分有4支，7分有2支。
这10支毛笔的得分总和为：$10×2 + 9×2 + 8×4 + 7×2 = 84$（分）
平均分为：$\frac{1}{10}×84 = 8.4$（分）
(2) 抽取的4个车间共$10×4=40$支毛笔，其中合格的数量为$8+10+9+9=36$支，
四个车间每天总生产量为$100×4=400$支，
估计每天合格毛笔总量为：$400×\frac{36}{40}=360$（支）
【答案】
(1) 8.4分；(2) 360支
【知识点】
平均数的计算；用样本估计总体
【点评】
本题结合传统工艺湖笔的质量检测情境，考查基础统计知识的应用，解题关键是熟练掌握平均数计算公式，理解样本估计总体的统计思想，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
(1)求10支毛笔得分的平均分，核心运用平均数计算公式：平均数=所有数据的总和÷数据总个数。解题时先统计各分值对应的数量，再计算得分总和，最后除以总数量10即可得到平均分。
(2)估计四个车间每天合格毛笔总量，采用用样本估计总体的思路：先计算抽取的40支毛笔的合格率，再用四个车间每日总生产量乘以该合格率，即可得到估计的合格总量。
【解析】
(1) 先统计各得分的数量：10分有2支，9分有2支，8分有4支，7分有2支。
这10支毛笔的得分总和为：$10×2 + 9×2 + 8×4 + 7×2 = 84$（分）
平均分为：$\frac{1}{10}×84 = 8.4$（分）
(2) 抽取的4个车间共$10×4=40$支毛笔，其中合格的数量为$8+10+9+9=36$支，
四个车间每天总生产量为$100×4=400$支，
估计每天合格毛笔总量为：$400×\frac{36}{40}=360$（支）
【答案】
(1) 8.4分；(2) 360支
【知识点】
平均数的计算；用样本估计总体
【点评】
本题结合传统工艺湖笔的质量检测情境，考查基础统计知识的应用，解题关键是熟练掌握平均数计算公式，理解样本估计总体的统计思想，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
14. 核心素养「2026江苏南通期末」对于三个数$a,b,c$，用$M\{a,b,c\}$表示这三个数的平均数，用$\min\{a,b,c\}$表示这三个数中最小的数.例如，$M\{-1,2,3\}=\frac{-1+2+3}{3}=\frac{4}{3}$，$\min\{-1,2,3\}=-1$，如果$M\{3,2x+1,x-1\}=\min\{3,-x+7,2x+5\}$，那么$x=$
2或-4
.答案
14.答案 2 或-4
解析 $M\{3,2x+1,x-1\}=\min\{3,-x+7,2x+5\}$,①若$\frac{1}{3}(3+2x+1+x-1)=3$,则 $x=2$(符合题意);②若$\frac{1}{3}(3+2x+1+x-1)=-x+7$,则 $x=3$,此时$-x+7$不是三个数中最小的数,不符合题意;③若$\frac{1}{3}(3+2x+1+x-1)=2x+5$,则 $x=-4$(符合题意).综上,$x$的值为2或-4.
解析 $M\{3,2x+1,x-1\}=\min\{3,-x+7,2x+5\}$,①若$\frac{1}{3}(3+2x+1+x-1)=3$,则 $x=2$(符合题意);②若$\frac{1}{3}(3+2x+1+x-1)=-x+7$,则 $x=3$,此时$-x+7$不是三个数中最小的数,不符合题意;③若$\frac{1}{3}(3+2x+1+x-1)=2x+5$,则 $x=-4$(符合题意).综上,$x$的值为2或-4.
解析
【分析】
首先明确题中两个新定义的含义，先计算出三个数的平均数$M\{3,2x+1,x-1\}$的化简结果。由于平均数等于三个数的最小值，说明平均数是$\{3,-x+7,2x+5\}$中最小的数，因此需要分三种情况讨论：分别令平均数等于这三个数，解出x的值后再验证对应的数是否确实是三个数中的最小值，不符合的要舍去，最终得到符合条件的x值。
【解析】
首先计算平均数：
$M\{3,2x+1,x-1\}=\frac{3+(2x+1)+(x-1)}{3}=\frac{3x+3}{3}=x+1$
已知$M\{3,2x+1,x-1\}=\min\{3,-x+7,2x+5\}$，分三种情况讨论：
① 若$x+1=3$，解得$x=2$。
此时$\min\{3,-x+7,2x+5\}=\min\{3,5,9\}=3$，符合题意，故$x=2$有效；
② 若$x+1=-x+7$，解得$x=3$。
此时$\min\{3,-x+7,2x+5\}=\min\{3,4,11\}=3≠4$，即$-x+7$不是三个数中的最小值，不符合题意，舍去；
③ 若$x+1=2x+5$，解得$x=-4$。
此时$\min\{3,-x+7,2x+5\}=\min\{3,11,-3\}=-3$，符合题意，故$x=-4$有效。
综上，x的值为2或-4。
【答案】
2或-4
【知识点】
新定义运算，平均数计算，解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查分类讨论思想的应用，解题时需注意在求出x的解后，要验证是否满足“该数是三个数中的最小值”的要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
首先明确题中两个新定义的含义，先计算出三个数的平均数$M\{3,2x+1,x-1\}$的化简结果。由于平均数等于三个数的最小值，说明平均数是$\{3,-x+7,2x+5\}$中最小的数，因此需要分三种情况讨论：分别令平均数等于这三个数，解出x的值后再验证对应的数是否确实是三个数中的最小值，不符合的要舍去，最终得到符合条件的x值。
【解析】
首先计算平均数：
$M\{3,2x+1,x-1\}=\frac{3+(2x+1)+(x-1)}{3}=\frac{3x+3}{3}=x+1$
已知$M\{3,2x+1,x-1\}=\min\{3,-x+7,2x+5\}$，分三种情况讨论：
① 若$x+1=3$，解得$x=2$。
此时$\min\{3,-x+7,2x+5\}=\min\{3,5,9\}=3$，符合题意，故$x=2$有效；
② 若$x+1=-x+7$，解得$x=3$。
此时$\min\{3,-x+7,2x+5\}=\min\{3,4,11\}=3≠4$，即$-x+7$不是三个数中的最小值，不符合题意，舍去；
③ 若$x+1=2x+5$，解得$x=-4$。
此时$\min\{3,-x+7,2x+5\}=\min\{3,11,-3\}=-3$，符合题意，故$x=-4$有效。
综上，x的值为2或-4。
【答案】
2或-4
【知识点】
新定义运算，平均数计算，解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查分类讨论思想的应用，解题时需注意在求出x的解后，要验证是否满足“该数是三个数中的最小值”的要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
15. 核心素养 推理能力 6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人，然后每个人把左、右相邻两个人告诉自己的数的平均数亮出来，如图所示，问：亮出数11的人原来心中想的数是多少？
答案
15.解析 设亮出数 11 的人心里想的数是 $x$,则亮出数9的人心里想的数是$7×2-x=14-x$,亮出数8的人心里想的数是$10×2-x=20-x$,
∵ 亮出数4的人坐在亮出数9和数8的两人的中间,
∴ $14-x+20-x=4×2$,解得$x=13$.答:亮出数 11 的人原来心中想的数是 13.
∵ 亮出数4的人坐在亮出数9和数8的两人的中间,
∴ $14-x+20-x=4×2$,解得$x=13$.答:亮出数 11 的人原来心中想的数是 13.
解析
【分析】
解题时首先要明确核心等量关系：每个人亮出的数是其左右相邻两人心里所想数的平均数，即相邻两人心里所想数的和等于中间这个人亮出数的2倍。我们可以先设亮出数11的人原来心中想的数为x，再根据他相邻的两个亮出数7和10，分别表示出亮出数9、亮出数8的人心中想的数，最后根据亮出数4的人对应的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设亮出数11的人原来心中想的数是$ x $。
根据平均数的性质，亮出7的人对应的是左右相邻的亮9、亮11的人心里数的平均，因此亮出数9的人心里想的数为：$ 7×2 - x = 14 - x $；
同理，亮出10的人对应的是左右相邻的亮11、亮8的人心里数的平均，因此亮出数8的人心里想的数为：$ 10×2 - x = 20 - x $；
又因为亮出4的人在亮9和亮8的两人中间，他亮出的数是这两人心里数的平均，因此列方程：
$ (14 - x) + (20 - x) = 4×2 $
整理得$ 34 - 2x = 8 $，解得$ x=13 $。
答：亮出数11的人原来心中想的数是13。
【答案】
13
【知识点】
平均数的计算；一元一次方程的应用；逻辑推理
【点评】
本题以环形数字游戏为载体，既考查了对平均数概念的理解，又需要结合位置关系梳理等量关系，利用方程思想求解，能够很好地锻炼逻辑推理能力和数学应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确核心等量关系：每个人亮出的数是其左右相邻两人心里所想数的平均数，即相邻两人心里所想数的和等于中间这个人亮出数的2倍。我们可以先设亮出数11的人原来心中想的数为x，再根据他相邻的两个亮出数7和10，分别表示出亮出数9、亮出数8的人心中想的数，最后根据亮出数4的人对应的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设亮出数11的人原来心中想的数是$ x $。
根据平均数的性质，亮出7的人对应的是左右相邻的亮9、亮11的人心里数的平均，因此亮出数9的人心里想的数为：$ 7×2 - x = 14 - x $；
同理，亮出10的人对应的是左右相邻的亮11、亮8的人心里数的平均，因此亮出数8的人心里想的数为：$ 10×2 - x = 20 - x $；
又因为亮出4的人在亮9和亮8的两人中间，他亮出的数是这两人心里数的平均，因此列方程：
$ (14 - x) + (20 - x) = 4×2 $
整理得$ 34 - 2x = 8 $，解得$ x=13 $。
答：亮出数11的人原来心中想的数是13。
【答案】
13
【知识点】
平均数的计算；一元一次方程的应用；逻辑推理
【点评】
本题以环形数字游戏为载体，既考查了对平均数概念的理解，又需要结合位置关系梳理等量关系，利用方程思想求解，能够很好地锻炼逻辑推理能力和数学应用能力。
【难度系数】
0.6
