7. (2024·苏州中考)如图,矩形ABCD中,$AB=\sqrt{3}$,$BC=1$,动点E,F分别从点A,C同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动,过点E,F作直线$l$,过点A作直线$l$的垂线,垂足为G,则AG的最大值为 ()

A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.2
D.1

7. D 解析:连接 AC,BD 交于点 O,取 OA 中点 H,连接 GH,如图.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠ABC=90°,OA=OC,AB//CD,
∴ 在 Rt△ABC 中,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$,
∴ $OA=OC=\frac{1}{2}AC=1$.
∵ AB//CD,
∴ ∠EAO = ∠FCO,在△AOE 与 △COF 中,$\begin{cases}AE=CF,\\∠EAO=∠FCO,\\OA=OC,\end{cases}$
∴ △AOE ≌ △COF(SAS),
∴ ∠AOE=∠COF,
∴ 点 E,O,F 共线.
∵ AG ⊥ EF,H 是 OA 中点,
∴ 在 Rt△AGO 中,$GH=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}$,
∴ G 的轨迹为以 H 为圆心,$\frac{1}{2}$为半径,即 AO 为直径的圆弧.
∴ AG 的最大值为 AO 的长,即 $AG_{max}=AO=1$.故选 D.

8. (2024·烟台中考)如图,在$□ ABCD$中,$∠ C=120°$,$AB=8$,$BC=10$.$E$为边$CD$的中点,$F$为边$AD$上的一动点,将$△ DEF$沿$EF$翻折得$△ D'EF$,连接$AD'$,$BD'$,则$△ ABD'$面积的最小值为.

8. $20\sqrt{3}-16$ 解析:
∵ 在 ABCD 中,∠BCD = 120°,AB = 8,
∴ CD=AB=8,AB//CD,则 ∠ABC = 180° - ∠BCD = 60°.
∵ E 为边 CD 的中点,
∴ $DE=CE=\frac{1}{2}CD=4$.
∵ △DEF 沿 EF 翻折得 △D'EF,
∴ ED'=DE=4,
∴ 点 D'在以 E 为圆心,4 为半径的圆上运动,如图,过点 E 作 EM⊥AB 交 BA 延长线于点 M,交圆 E 于点 G,当点 D'运动到点 G 时到边 AB 的距离最短,最小值为 GM 的长,即此时 △ABD' 的面积最小,过点 C 作 CN⊥AB 于点 N.
∵ AB//CD,
∴ EM=CN.在 Rt△BCN 中,BC=10,∠CBN=60°,
∴ $CN=BC·\sin60°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$,
∴ GM=ME-EG=$5\sqrt{3}-4$,
∴ △ABD' 面积的最小值为 $\frac{1}{2}×8×(5\sqrt{3}-4)=20\sqrt{3}-16$.

9. (2026·连云港中考)如图,在菱形ABCD中,∠BCD=60°,CD=6,点P在边CD上,且PC=2,Q为边BC上的动点,点C关于PQ的对称点为C'.若△C'AD,△C'BD的面积分别记为$S_{△ C'AD}$, $S_{△ C'BD}$,则$S_{△ C'AD}-S_{△ C'BD}$的最大值为.

9. 6 解析:如图,过点 D 作 DF⊥AB,垂足为 F,过点 P 作 PH⊥AB,交 AB 的延长线于点 H,过点 C'作 C'G⊥AB,垂足为 G,
∵ $S_{△C'AD}+S_{△C'AB}-S_{△ABD}=S_{△C'DB}$,
∴ $S_{△C'AD}-S_{△C'BD}=S_{△ABD}-S_{△C'BA}$.
∵ 在菱形 ABCD 中,∠BCD = 60°,CD = 6,
∴ AB = AD = CD = 6,∠DAB = ∠BCD = 60°,
∴ DF = $AD\sin∠DAB=6×\sin60°=3\sqrt{3}$,
∴ $S_{△ABD}=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.
∴ $S_{△C'AD}-S_{△C'BD}=9\sqrt{3}-S_{△C'BA}$.又
∵ $S_{△C'BA}=\frac{1}{2}AB·C'G=\frac{1}{2}×6C'G=3C'G$,
∴ 当 $S_{△C'BA}$ 最小时,即 C'G 最小时,$S_{△C'AD}-S_{△C'BD}$最大.由对称可知:PC'=PC=2,
∴ C'在以 P 为圆心,2 为半径的圆弧上运动.
∵ PH⊥AB,
∴ PC'+C'G≥PH,
∴ 当 C'在线段 PH 上时,C'G 取最小值.又
∵ AB//CD,
∴ PH=DF=$3\sqrt{3}$,
∴ $C'G_{最小}=PH-PC'=3\sqrt{3}-2$,
∴ $S_{△C'BA}$ 的最小值为 $3C'G=3×(3\sqrt{3}-2)=9\sqrt{3}-6$,
∴ $S_{△C'AD}-S_{△C'BD}$ 的最大值为 $9\sqrt{3}-(9\sqrt{3}-6)=6$.

10. (2026·内江中考)在边长为6的正方形ABCD中,点P,Q分别为对角线AC,边CD上的动点,且$DQ = \sqrt{2} AP$,则PQ的最小值为.

10. $3\sqrt{2}$ 解析:如图,过点 P 作 EF⊥AB 于点 E,交 CD 于点 F,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,边长为 6,
∴ ∠BAD = ∠ADC=90°,∠EAP=45°,AD=CD=6.
∵ EF⊥AB,
∴ △EAP 是等腰直角三角形,四边形 AEFD 是矩形,
∴ EF=AD=6,AE=EP=DF,EF⊥CD.设 AP = x,则 $DQ=\sqrt{2}x$,
∵ $DQ=\sqrt{2}x≤6$,
∴ $0≤x≤3\sqrt{2}$.
∵ $AE^2+EP^2=AP^2=2AE^2=2EP^2$,
∴ $AE=PE=\frac{\sqrt{2}}{2}x$,
∴ $PF=EF-PE=6-\frac{\sqrt{2}}{2}x$,$QF=DQ-DF=\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}x=\frac{\sqrt{2}}{2}x$.在 Rt△PQF 中,由勾股定理得 $PQ^2=FQ^2+PF^2=(\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2+(6-\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2=\frac{x^2}{2}+36-6\sqrt{2}x+\frac{x^2}{2}=x^2-6\sqrt{2}x+36=(x-3\sqrt{2})^2+18$,
∵ $(x-3\sqrt{2})^2≥0,0≤x≤3\sqrt{2}$,
∴ 当 $x=3\sqrt{2}$ 时,$PQ^2$ 有最小值 18,
∴ PQ 的最小值为 $3\sqrt{2}$.

11. (2026·徐州模拟)如图,抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交于$A(1,0),B(-3,0)$两点.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得$△ QAC$的周长最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P,使$△ PBC$的面积最大?若存在,求出点P的坐标及$△ PBC$的面积最大值;若不存在,请说明理由.

11. (1) 将 $A(1,0),B(-3,0)$ 代入 $y=-x^2+bx+c$ 中,得 $\begin{cases}-1+b+c=0,\\-9-3b+c=0,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}b=-2,\\c=3,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为 $y=-x^2-2x+3$.
(2) 存在.
∵ 抛物线表达式为 $y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=-1.如图①,连接 BQ.由对称性可知 BQ=AQ,
∴ △AQC 的周长 = CA+QC+AQ = AC+CQ+BQ.
∵ A,C 为定点,
∴ AC 为定值,
∴ 当 CQ+BQ 最小时,△AQC 的周长最小.当 B,C,Q 三点共线时,CQ+BQ 最小,即△AQC 的周长最小.在 $y=-x^2-2x+3$ 中,当 x=0 时,y=$-x^2-2x+3=3$,
∴ 点 C 的坐标为(0,3).设直线 BC 的表达式为 y=kx+b',
∴ $\begin{cases}-3k+b'=0,\\b'=3,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}k=1,\\b'=3,\end{cases}$
∴ 直线 BC 的表达式为 y=x+3. 在 x=-1 时,y=-1+3=2,
∴ Q(-1,2),
∴ 存在 Q(-1,2)使得△QAC 的周长最小.
(3) 存在.设 $P(m,-m^2-2m+3)(-3＜m＜0)$,如图②,过点 P 作 PE⊥x 轴于 E,
∵ $S_{△BPC}=S_{四边形BPCO}-S_{△BOC}=S_{四边形BPCO}-\frac{9}{2}$,
∴ 当 $S_{四边形BPCO}$ 有最大值时,$S_{△BPC}$ 有最大值.$S_{四边形BPCO}=S_{△BPE}+S_{直角梯形PEOC}=\frac{1}{2}BE·PE+\frac{1}{2}OE(PE+OC)=\frac{1}{2}(m+3)(-m^2-2m+3)+\frac{1}{2}(-m)(-m^2-2m+3+3)=-\frac{3}{2}(m+\frac{3}{2})^2+\frac{63}{8}$.
∵ $-\frac{3}{2}＜0$,
∴ 当 $m=-\frac{3}{2}$ 时,$S_{四边形BPCO}$ 有最大值,最大值为 $\frac{63}{8}$,
∴ $S_{△BPC}=\frac{63}{8}-\frac{9}{2}=\frac{27}{8}$.当 $m=-\frac{3}{2}$ 时,$-m^2-2m+3=\frac{15}{4}$,
∴ 点 P 的坐标为 $(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$,
∴ 存在 $P(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$,使得△PBC 的面积最大,△PBC 面积的最大值为 $\frac{27}{8}$.