【典例2】(1)已知 $f(x)=\sin(\frac{π}{3}-2x)$，求$f(x)$的单调区间；
(2)已知函数 $f(x)=\cos(3x-\frac{π}{4})$，求$f(x)$的单调递减区间.
解题指导 (1)首先利用诱导公式将函数变形为 $f(x)=-\sin(2x-\frac{π}{3})$，再根据正弦函数的性质求单调区间.
(2)利用整体代换法求单调递减区间即可.
答案 解:(1)$f(x)=\sin(\frac{π}{3}-2x)=-\sin(2x-\frac{π}{3})$.
令 $-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ,k\in\mathbb{Z}$，
解得 $-\frac{π}{12}+kπ≤ x≤\frac{5π}{12}+kπ,k\in\mathbb{Z}$，
所以 $f(x)$ 的单调递减区间为 $[-\frac{π}{12}+kπ,\frac{5π}{12}+kπ],k\in\mathbb{Z}$.
令 $\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ,k\in\mathbb{Z}$，
解得 $\frac{5π}{12}+kπ≤ x≤\frac{11π}{12}+kπ,k\in\mathbb{Z}$，
所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $[\frac{5π}{12}+kπ,\frac{11π}{12}+kπ],k\in\mathbb{Z}$.(容易忽略 $ω＜0$，求错单调区间)
(2)因为函数 $y=\cos x$ 的单调递减区间为 $[2kπ,2kπ+π],k\in\mathbb{Z}$.
令 $2kπ≤3x-\frac{π}{4}≤2kπ+π,k\in\mathbb{Z}$，
解得 $\frac{2}{3}kπ+\frac{π}{12}≤ x≤\frac{2}{3}kπ+\frac{5π}{12},k\in\mathbb{Z}$，
所以函数 $f(x)$ 的单调递减区间为 $[\frac{2}{3}kπ+\frac{π}{12},\frac{2}{3}kπ+\frac{5π}{12}],k\in\mathbb{Z}$.

解：
(1) 先对函数变形：
$f(x)=\sin(\frac{π}{3}-2x)=-\sin(2x-\frac{π}{3})$。
令$-\frac{π}{2}+2kπ ≤ 2x-\frac{π}{3} ≤ \frac{π}{2}+2kπ,\ k\in\mathbb{Z}$，
解得$-\frac{π}{12}+kπ ≤ x ≤ \frac{5π}{12}+kπ,\ k\in\mathbb{Z}$，
因此$f(x)$的单调递减区间为$[-\frac{π}{12}+kπ,\frac{5π}{12}+kπ],\ k\in\mathbb{Z}$。
令$\frac{π}{2}+2kπ ≤ 2x-\frac{π}{3} ≤ \frac{3π}{2}+2kπ,\ k\in\mathbb{Z}$，
解得$\frac{5π}{12}+kπ ≤ x ≤ \frac{11π}{12}+kπ,\ k\in\mathbb{Z}$，
因此$f(x)$的单调递增区间为$[\frac{5π}{12}+kπ,\frac{11π}{12}+kπ],\ k\in\mathbb{Z}$。
(2) 已知$y=\cos x$的单调递减区间为$[2kπ,2kπ+π],\ k\in\mathbb{Z}$，
令$2kπ ≤ 3x-\frac{π}{4} ≤ 2kπ+π,\ k\in\mathbb{Z}$，
解得$\frac{2}{3}kπ+\frac{π}{12} ≤ x ≤ \frac{2}{3}kπ+\frac{5π}{12},\ k\in\mathbb{Z}$，
因此$f(x)$的单调递减区间为$[\frac{2}{3}kπ+\frac{π}{12},\frac{2}{3}kπ+\frac{5π}{12}],\ k\in\mathbb{Z}$。

【变式2】(1)求函数$y=\cos(x-\dfrac{π}{12})$的单调递增区间；
(2)求函数$y=2\sin(2x+\dfrac{π}{6}),x\in(-π,0]$的单调递减区间。

解:(1)由$-π+2kπ≤ x-\frac{π}{12}≤2kπ,k\in\mathbf{Z}$,
得$-\frac{11π}{12}+2kπ≤ x≤2kπ+\frac{π}{12},k\in\mathbf{Z}$,
所以函数$y=\cos(x-\frac{π}{12})$的单调递增区间为$[2kπ-\frac{11π}{12},2kπ+\frac{π}{12}],k\in\mathbf{Z}$.
(2)令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ,k\in\mathbf{Z}$,
所以$\frac{π}{6}+kπ≤ x≤\frac{2π}{3}+kπ,k\in\mathbf{Z}$.
当$k=-1$时,$-\frac{5π}{6}≤ x≤-\frac{π}{3}$,
所以函数$y=2\sin(2x+\frac{π}{6}),x\in(-π,0]$的单调递减区间为$[-\frac{5π}{6},-\frac{π}{3}]$.

【典例3】不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
(1)$\sin(-\dfrac{π}{8})$与$\sin(-\dfrac{15π}{8})$；
(2)$\cos(-\dfrac{π}{8})$与$\cos\dfrac{13π}{7}$；
(3)$\sin(-\dfrac{31π}{7})$与$\cos\dfrac{37π}{14}$。
解题指导 (1)利用诱导公式将角转化到同一单调区间上，然后利用正弦函数的单调性比较大小；
(2)利用诱导公式将角转化到同一单调区间上，然后利用余弦函数的单调性比较大小；
(3)利用诱导公式将三角函数化为同名三角函数，再将角转化到同一单调区间上，最后利用正弦函数的单调性比较大小。
答案 解：(1)$\sin(-\dfrac{15π}{8})=\sin(-2π+\dfrac{π}{8})=\sin\dfrac{π}{8}$。
因为$y=\sin x$在$[-\dfrac{π}{2},\dfrac{π}{2}]$上单调递增，且$-\dfrac{π}{2}＜-\dfrac{π}{8}＜\dfrac{π}{8}＜\dfrac{π}{2}$，
所以$\sin(-\dfrac{π}{8})＜\sin\dfrac{π}{8}$，
即$\sin(-\dfrac{π}{8})＜\sin(-\dfrac{15π}{8})$。
(2)$\cos(-\dfrac{π}{8})=\cos\dfrac{π}{8}$，$\cos\dfrac{13π}{7}=\cos(2π-\dfrac{π}{7})=\cos\dfrac{π}{7}$。
因为$y=\cos x$在$[0,π]$上单调递减，且$\dfrac{π}{8}＜\dfrac{π}{7}$，
所以$\cos\dfrac{π}{8}＞\cos\dfrac{π}{7}$，即$\cos(-\dfrac{π}{8})＞\cos\dfrac{13π}{7}$。
(3)$\sin(-\dfrac{31π}{7})=\sin(-6π+\dfrac{11π}{7})=\sin\dfrac{11π}{7}=\sin(π+\dfrac{4π}{7})=-\sin\dfrac{4π}{7}$，
$\cos\dfrac{37π}{14}=\cos(2π+\dfrac{9π}{14})=\cos\dfrac{9π}{14}=\cos(\dfrac{3π}{2}-\dfrac{6π}{7})=-\sin\dfrac{6π}{7}$。
因为$y=\sin x$在$[\dfrac{π}{2},\dfrac{3π}{2}]$上单调递减，且$\dfrac{π}{2}＜\dfrac{4π}{7}＜\dfrac{6π}{7}＜\dfrac{3π}{2}$，
所以$\sin\dfrac{4π}{7}＞\sin\dfrac{6π}{7}$，所以$-\sin\dfrac{4π}{7}＜-\sin\dfrac{6π}{7}$，
即$\sin(-\dfrac{31π}{7})＜\cos\dfrac{37π}{14}$。

解：(1)
$\sin(-\dfrac{15π}{8})=\sin(-2π+\dfrac{π}{8})=\sin\dfrac{π}{8}$。
因为$y=\sin x$在$[-\dfrac{π}{2},\dfrac{π}{2}]$上单调递增，且$-\dfrac{π}{2}＜-\dfrac{π}{8}＜\dfrac{π}{8}＜\dfrac{π}{2}$，
所以$\sin(-\dfrac{π}{8})＜\sin\dfrac{π}{8}$，
即$\sin(-\dfrac{π}{8})＜\sin(-\dfrac{15π}{8})$。
(2)
$\cos(-\dfrac{π}{8})=\cos\dfrac{π}{8}$，
$\cos\dfrac{13π}{7}=\cos(2π-\dfrac{π}{7})=\cos\dfrac{π}{7}$。
因为$y=\cos x$在$[0,π]$上单调递减，且$\dfrac{π}{8}＜\dfrac{π}{7}$，
所以$\cos\dfrac{π}{8}＞\cos\dfrac{π}{7}$，
即$\cos(-\dfrac{π}{8})＞\cos\dfrac{13π}{7}$。
(3)
$\sin(-\dfrac{31π}{7})=\sin(-6π+\dfrac{11π}{7})=\sin\dfrac{11π}{7}=\sin(π+\dfrac{4π}{7})=-\sin\dfrac{4π}{7}$，
$\cos\dfrac{37π}{14}=\cos(2π+\dfrac{9π}{14})=\cos\dfrac{9π}{14}=\cos(\dfrac{3π}{2}-\dfrac{6π}{7})=-\sin\dfrac{6π}{7}$。
因为$y=\sin x$在$[\dfrac{π}{2},\dfrac{3π}{2}]$上单调递减，且$\dfrac{π}{2}＜\dfrac{4π}{7}＜\dfrac{6π}{7}＜\dfrac{3π}{2}$，
所以$\sin\dfrac{4π}{7}＞\sin\dfrac{6π}{7}$，因此$-\sin\dfrac{4π}{7}＜-\sin\dfrac{6π}{7}$，
即$\sin(-\dfrac{31π}{7})＜\cos\dfrac{37π}{14}$。