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9.(2025·泸州)某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率;
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率;
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
答案
9.解:(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为 x.
根据题意,得$125(1-x)^2=80$,解得 $x_1=0.2=20\%,x_2=1.8$(不符合题意,舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为 20%.
(2)设购进 y 件甲种商品,则购进$(100-y)$件乙种商品.
根据题意,得$(125-25×2)y+80(100-y)≤7800$,解得$y≥40$,
∴y 的最小值为 40.
答:最少购进 40 件甲种商品.
根据题意,得$125(1-x)^2=80$,解得 $x_1=0.2=20\%,x_2=1.8$(不符合题意,舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为 20%.
(2)设购进 y 件甲种商品,则购进$(100-y)$件乙种商品.
根据题意,得$(125-25×2)y+80(100-y)≤7800$,解得$y≥40$,
∴y 的最小值为 40.
答:最少购进 40 件甲种商品.
10. (2025·东台开学)如图①,张爷爷用 30 m 长的隔离网在一段 15 m 长的院墙边围成矩形养殖园. 已知矩形的边 $CD$ 靠院墙, $AD$ 和 $BC$ 与院墙垂直.
(1)当围成的矩形养殖园面积为 $108\ \mathrm{m^2}$ 时,求 $AB$ 的长.
(2)如图②,张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽,需要在中间多加上两道隔离网. 已知两道隔离网与院墙垂直. 请问此时养殖园的面积能否达到 $100\ \mathrm{m^2}$? 若能,求出 $AB$ 的长;若不能. 请说明理由.
(1)当围成的矩形养殖园面积为 $108\ \mathrm{m^2}$ 时,求 $AB$ 的长.
(2)如图②,张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽,需要在中间多加上两道隔离网. 已知两道隔离网与院墙垂直. 请问此时养殖园的面积能否达到 $100\ \mathrm{m^2}$? 若能,求出 $AB$ 的长;若不能. 请说明理由.
答案
10.解:(1)设 $AB=x$ m,则 $AD=BC=(\frac{30-x}{2})$ m,
根据题意,得 $x· \frac{30-x}{2}=108$,
整理,得 $x^2-30x+216=0$,解得 $x_1=12,x_2=18$.
又
∵院墙长 15 m,
∴$x=12$.
答:$AB$ 的长为 12 m.
(2)养殖园的面积不能达到 $100\ \mathrm{m}^2$,理由如下：
假设养殖园的面积能达到 $100\ \mathrm{m}^2$,设 $AB=y$ m,
则 $AD=BC=\frac{30-y}{4}$ m,
根据题意,得 $y· \frac{30-y}{4}=100$,
整理,得 $y^2-30y+400=0$,
∵$(-30)^2-4×1×400=-700＜0$,
∴该方程无实数根,
∴假设不成立，
即养殖园的面积不能达到 $100\ \mathrm{m}^2$.
根据题意,得 $x· \frac{30-x}{2}=108$,
整理,得 $x^2-30x+216=0$,解得 $x_1=12,x_2=18$.
又
∵院墙长 15 m,
∴$x=12$.
答:$AB$ 的长为 12 m.
(2)养殖园的面积不能达到 $100\ \mathrm{m}^2$,理由如下：
假设养殖园的面积能达到 $100\ \mathrm{m}^2$,设 $AB=y$ m,
则 $AD=BC=\frac{30-y}{4}$ m,
根据题意,得 $y· \frac{30-y}{4}=100$,
整理,得 $y^2-30y+400=0$,
∵$(-30)^2-4×1×400=-700＜0$,
∴该方程无实数根,
∴假设不成立，
即养殖园的面积不能达到 $100\ \mathrm{m}^2$.
11. 某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.
(1)求A社区居民人口至少有多少万人；
(2)街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为$m\%$，B社区的知晓人数第一个月增长了$m\%$，第二个月增长了$2m\%$. 两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求$m$的值.
(1)求A社区居民人口至少有多少万人；
(2)街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为$m\%$，B社区的知晓人数第一个月增长了$m\%$，第二个月增长了$2m\%$. 两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求$m$的值.
答案
11.解:(1)设 A 社区居民人口有 x 万人,则 B 社区有$(7.5-x)$万人,根据题意,得$7.5-x≤2x$,解得$x≥2.5$.
答:A社区居民人口至少有 2.5 万人.
(2)根据题意,得$1.2(1+m\%)^2+1×(1+m\%)×(1+2m\%)=7.5×76\%$.
设$m\%=a$,方程可化为
$1.2(1+a)^2+(1+a)(1+2a)=5.7$,
化简,得$32a^2+54a-35=0$,
解得$a=0.5$或$a=-\frac{35}{16}$(不合题意,舍去),
∴$m=50$.
答:$m$ 的值为 50.
答:A社区居民人口至少有 2.5 万人.
(2)根据题意,得$1.2(1+m\%)^2+1×(1+m\%)×(1+2m\%)=7.5×76\%$.
设$m\%=a$,方程可化为
$1.2(1+a)^2+(1+a)(1+2a)=5.7$,
化简,得$32a^2+54a-35=0$,
解得$a=0.5$或$a=-\frac{35}{16}$(不合题意,舍去),
∴$m=50$.
答:$m$ 的值为 50.
