1. (2026 常州市期末)如图是 $y$ 关于 $x$ 的函数图象,其中点 $C$ 在 $x$ 轴上,$AB// OC$.在下列情境中,$x,y$ 的函数关系可以用该图象表示的是（）
①向一个空水槽先匀速注水,水槽装满后停止注水一段时间,再打开排水管,将水匀速排空.水槽中水的体积 $y\ \mathrm{L}$ 随时间$x\ \mathrm{min}$ 的变化而变化.
②小明从家出发骑车去学校上学,先加速骑行,再匀速骑行,最后减速骑行.小明离家的路程 $y\ \mathrm{km}$ 随时间 $x\ \mathrm{min}$ 的变化而变化.
③一列高铁从甲地到乙地,速度先匀速增加,达到某一定值后保持不变,然后再匀速减小.高铁行驶的速度 $y\ \mathrm{km/min}$ 随时间 $x\ \mathrm{min}$ 的变化而变化.


A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

1. C 提示:①向一个空水槽先匀速注水,体积随时间的增加而增加;水槽装满后停止注水一段时间,时间增加,体积不变;再打开排水管,将水匀速排空,体积随时间的增加而减小;②小明从家出发骑车去学校上学,先加速骑行,再匀速骑行,最后减速骑行,整个过程中,离家的路程一直随时间的增加而增加;③速度先匀速增加,达到某一定值后保持不变,然后再匀速减小,则速度随时间的增加而增加,继而不变,最后减小.综上,①③符合题意.

2. 函数 $y=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-1}+(x-3)^0$ 的自变量 $x$ 的取值范围是.

2. $x≥2$ 且 $x≠3$

3. 如图1,$△ ABC$和$△ A'B'C'$是两个边长不相等的等边三角形,点$B',C',B,C$都在直线$l$上.$△ ABC$固定不动,将$△ A'B'C'$在直线$l$上自左向右平移.开始时,点$C'$与点$B$重合,当点$B'$移动到与点$C$重合时停止.设$△ A'B'C'$移动的距离为$x$,两个三角形重叠部分的面积为$y$,$y$与$x$之间的函数关系如图2所示,则$△ ABC$的边长是.

3. 5 提示:由题图2可知,当 $a≤ x≤ a+3$,即$△ A'B'C'$ 在 $△ ABC$ 内部移动时, $y=\sqrt{3}$, 即$△ A'B'C'$的面积为$\sqrt{3}$.结合题图1,由运动可知,当$x=a$ 时,点 $B'$ 与点 $B$ 重合,所以 $B'C'=a$; 当 $x=a+3$ 时,点 $C'$ 与点 $C$ 重合,所以 $BC=a+3$. 过点 $A'$ 作 $A'H⊥ B'C'$ 于点 $H$. 因为$△ A'B'C'$ 为等边三角形,所以 $B'H=HC'=\dfrac{1}{2}a$, 所以 $A'H=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$.所以 $\dfrac{1}{2}a · \dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\sqrt{3}$, 解得 $a=2$(负值已舍). 所以$△ ABC$ 的边长为 $BC=a+3=5$.

4. 某水池内原有水 500 L. 若以 20 L/min 的速度注入水,则 35 min 可注满水池.
(1) 水池的容积是多少?
(2) 若每分钟注入的水量达到 Q(L),注满水池需要 t(min). 请写出 t 关于 Q 的函数表达式.
(3) 若要 14 min 注满水池,则每分钟的注水量应达到多少升?

4. 解:(1) 水池的容积为$500+20×35=1200(\mathrm{L}).$
(2) $t=\dfrac{700}{Q}.$
(3) $700÷14=50(\mathrm{L/min}).$
答:每分钟的注水量应达到 50 L.

5. (2025 盐城市大丰区三模)一列动车从甲地驶往乙地,一列快车从乙地驶往甲地,两车同时出发,行驶的时间为 $ x \ \mathrm{h} $,两车之间的距离为 $ y \ \mathrm{km} $,图中的折线表示 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系.根据图象进行以下探究:
(1) 甲、乙两地之间的距离为 km.
(2) 请解释图中点 $ B $ 的实际意义.
(3) 动车和快车都匀速行驶,求动车和快车的速度.

5. 解:(1) 600
(2) 点 B 的实际意义为:两车出发 2 h 后相遇.
(3) 根据图象可知行驶 6 h,快车到达甲地,所以快车的速度为$\dfrac{600}{6}=100(\mathrm{km/h}).$由图象可知动车行驶 3 h 到达乙地,所以动车的速度为$\dfrac{600}{3}=200(\mathrm{km/h}).$