8. 如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，交点分别为点 O，P，OM 平分∠EOB，PN 平分∠OPD，如果∠1 = ∠2。

(1) 请说明 OM//PN；
(2) 请说明 AB//CD。
解：(1) 因为∠1 = ∠2(已知)，
所以 OM//PN()。
(2) 因为 OM 平分∠EOB，PN 平分∠OPD(已知)，
所以∠EOB = 2∠1，∠OPD = ()。
又因为∠1 = ∠2(已知)，
所以∠ = ∠ ()。
所以 AB//CD()。

8. （1）同位角相等，两直线平行
（2）2∠2 角平分线的定义
EOB OPD 等量代换
同位角相等，两直线平行

【分析】
这是一道平行线判定的基础证明填空题，我们可以分两小问梳理思路：第一问先观察∠1和∠2的位置，二者是直线OM、PN被直线EF所截形成的同位角，已知两角相等，直接对应平行线判定定理即可推出OM//PN。第二问先回忆角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个相等的小角，因此被平分的大角是分出的小角的2倍，由此得到∠OPD=2∠2；再结合已知∠1=∠2，通过等量代换就能得到∠EOB和∠OPD相等，这两个角是直线AB、CD被EF所截的同位角，相等即可推出AB//CD，顺着逻辑依次补全空缺内容即可。
【解析】
(1) 已知∠1=∠2，∠1和∠2是直线OM、PN被EF截得的同位角，依据平行线判定规则，同位角相等即可判定两直线平行，因此此处填对应判定定理。
(2) 根据角平分线的定义，PN平分∠OPD，说明∠OPD被拆分为两个相等的角，其中一个就是∠2，因此∠OPD=2∠2，依据是角平分线的定义；
结合已知∠1=∠2，可得2∠1=2∠2，也就是∠EOB=∠OPD，该推导过程为等量代换；
∠EOB和∠OPD是直线AB、CD被EF截得的同位角，依据同位角相等，两直线平行，即可判定AB//CD。
【答案】
(1) 同位角相等，两直线平行
(2) 2∠2；角平分线的定义；EOB；OPD；等量代换；同位角相等，两直线平行
【知识点】
平行线判定，角平分线定义
【点评】
本题是几何证明入门的典型步骤填空题，重点考察平行线的同位角判定规则和角平分线的基础定义，帮助学生熟悉几何证明的严谨逻辑书写规范，夯实平行线相关的基础推导逻辑。
【难度系数】
0.9

9. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于点 D，E，F 分别为 AB，AC 上的点，且∠AFE = ∠B。试说明 EF//CD。(请注明理由)(提示：三角形的内角和等于 180°)

9. 解：因为∠ACB=90°（已知），
所以∠ACD+∠BCD=90°。
因为CD⊥AB（已知），
所以∠CDB=90°（垂直的定义）。
所以∠B+∠BCD=180°-90°=90°（三角形的内角和等于180°）。
所以∠B=∠ACD（同角的余角相等）。
因为∠AFE=∠B（已知），
所以∠AFE=∠ACD（等量代换）。
所以EF//CD（同位角相等，两直线平行）。

【分析】
要证明EF//CD，我们可以借助平行线的判定定理，通过证明一组同位角相等来推导平行。观察图形可知，EF和CD被直线AC所截，∠AFE和∠ACD是同位角，因此只需证明∠AFE=∠ACD即可。首先结合已知的∠ACB=90°、CD⊥AB的条件，利用三角形内角和为180°，可推导出∠B和∠ACD都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等得到∠B=∠ACD，再结合已知条件∠AFE=∠B，通过等量代换就能得到∠AFE=∠ACD，最终完成平行的证明。
【解析】
按照几何证明的规范逻辑逐步推导：
1. 由已知∠ACB=90°，直接拆分直角可得∠ACD+∠BCD=90°；
2. 由已知CD⊥AB，根据垂直的定义得到∠CDB=90°；
3. 在△BCD中，结合提示的三角形内角和等于180°，计算得∠B+∠BCD=180°-90°=90°；
4. 此时∠B和∠ACD都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等，推出∠B=∠ACD；
5. 结合已知∠AFE=∠B，通过等量代换得到同位角∠AFE=∠ACD；
6. 最后根据同位角相等，两直线平行，即可证得EF//CD。
【答案】
解：因为∠ACB=90°（已知），
所以∠ACD+∠BCD=90°。
因为CD⊥AB（已知），
所以∠CDB=90°（垂直的定义）。
所以∠B+∠BCD=180°-90°=90°（三角形的内角和等于180°）。
所以∠B=∠ACD（同角的余角相等）。
因为∠AFE=∠B（已知），
所以∠AFE=∠ACD（等量代换）。
所以EF//CD（同位角相等，两直线平行）。
【知识点】
同角的余角相等；平行线判定；三角形内角和
【点评】
本题是平行线证明的经典基础题，核心是通过角的等量代换搭建条件，引导初学者熟悉几何证明的严谨逻辑，养成每一步标注对应依据的答题习惯，同时巩固直角三角形的角的关系、平行线判定的核心知识点。
【难度系数】
0.8

10. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠D = 90°，AE，CF 分别平分∠BAD 和∠BCD。(提示：四边形的内角和等于 360°)

(1) 若∠EAB = 32°，求∠FCE 的度数；
(2) 请说明 AE//CF。

10. 解：（1）因为AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，∠EAB=32°，
所以∠DAB=2∠EAB=64°，∠FCE= $\frac{1}{2}$∠DCB。
因为∠B=∠D=90°，
所以∠DAB+∠DCB=180°。
所以∠DCB=180°-∠DAB=116°。
所以∠FCE= $\frac{1}{2}$×116°=58°。
（2）因为∠B=∠D=90°，
所以∠DAB+∠DCB=180°，∠CFB+∠FCB=90°。
因为AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，
所以∠EAB= $\frac{1}{2}$∠DAB，∠FCB= $\frac{1}{2}$∠DCB。
所以∠EAB+∠FCB= $\frac{1}{2}$∠DAB+ $\frac{1}{2}$∠DCB=90°。
所以∠CFB=∠EAB。
所以AE//CF。

【分析】
先梳理清晰解题思路：对于第(1)问，首先根据角平分线的定义，由已知的∠EAB的度数先求出∠BAD的总度数，再结合提示的四边形内角和为360°，已知∠B和∠D都是90°，可算出∠BAD与∠BCD的和为180°，进而求出∠BCD的度数，最后再利用CF平分∠BCD，就能算出∠FCE的度数。对于第(2)问要证明AE平行于CF，我们可以通过证明同位角相等来推导：先结合直角三角形两锐角互余，以及角平分线的性质，推导得到∠EAB和∠CFB相等，同位角相等即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 因为AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，∠EAB=32°，
所以∠DAB=2∠EAB=64°，∠FCE= $\frac{1}{2}$∠DCB。
因为∠B=∠D=90°，四边形内角和为360°，
所以∠DAB+∠DCB=360°-90°-90°=180°。
所以∠DCB=180°-∠DAB=116°。
所以∠FCE= $\frac{1}{2}$×116°=58°。
(2) 证明AE//CF：
因为∠B=∠D=90°，
所以∠DAB+∠DCB=180°，在Rt△CFB中∠CFB+∠FCB=90°。
因为AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，
所以∠EAB= $\frac{1}{2}$∠DAB，∠FCB= $\frac{1}{2}$∠DCB。
所以∠EAB+∠FCB= $\frac{1}{2}$∠DAB+ $\frac{1}{2}$∠DCB=90°。
结合∠CFB+∠FCB=90°，可得∠CFB=∠EAB，二者是同位角，因此AE//CF。
【答案】
(1) ∠FCE的度数为58°；(2) 由上述推导可得AE//CF。
【知识点】
四边形内角和，角平分线定义，平行线判定
【点评】
本题属于四边形与平行线结合的基础题型，核心突破口是利用两个直角的条件，结合四边形内角和得到∠BAD与∠BCD的和为180°，再通过角平分线的性质完成角的等量代换，最终利用同位角相等证明两直线平行，能够帮助学生巩固角平分线、平行线判定的相关基础知识点。
【难度系数】
0.7