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10 [2026 海门段测]如图,在矩形$ABCD$中,$AB=2,BC=4$,正方形$AEFG$的边长为1,连接$CF$.在正方形$AEFG$绕点$A$旋转的过程中,线段$CF$长的最小值为
2√5−√2
.答案
10. 2√5−√2
【解析】如图,连接 AF,AC.
∵ 在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4,正方形 AEFG 的边长为 1,
∴ 易得 AC=2√5,AF=√2.
∵ AF+CF≥AC,
∴ CF≥AC−AF.
∴ 当点 A,F,C 在同一条直线上时,CF 的长最小,最小值为 2√5−√2.
解析
【分析】要解决正方形旋转时线段CF的最小值问题，需利用三角形三边关系（两点之间线段最短）。首先连接AF和AC，AF是正方形AEFG的对角线，长度固定；AC是矩形ABCD的对角线，长度也固定。根据三角形三边关系，CF≥AC - AF，当点F落在AC上时，CF取得最小值，即AC与AF的长度差。
【解析】连接AF、AC。
1. 计算AC的长度：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
2. 计算AF的长度：正方形AEFG的边长为1，根据正方形对角线公式，$AF=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$。
3. 根据三角形三边关系：对于任意点F，有$AF + CF ≥ AC$，即$CF ≥ AC - AF$。当点A、F、C三点共线，且F在A与C之间时，等号成立，此时CF取得最小值，最小值为$AC - AF=2\sqrt{5}-\sqrt{2}$。
【答案】$2\sqrt{5}-\sqrt{2}$
【知识点】矩形性质、正方形性质、勾股定理
【点评】本题结合矩形和正方形的性质，利用勾股定理计算固定线段长度，再通过三角形三边关系求线段最小值，关键是找到F在AC上时CF最小的情况，属于几何最值的典型题型，需掌握线段最值的核心思路。
【难度系数】0.5
【解析】连接AF、AC。
1. 计算AC的长度：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
2. 计算AF的长度：正方形AEFG的边长为1，根据正方形对角线公式，$AF=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$。
3. 根据三角形三边关系：对于任意点F，有$AF + CF ≥ AC$，即$CF ≥ AC - AF$。当点A、F、C三点共线，且F在A与C之间时，等号成立，此时CF取得最小值，最小值为$AC - AF=2\sqrt{5}-\sqrt{2}$。
【答案】$2\sqrt{5}-\sqrt{2}$
【知识点】矩形性质、正方形性质、勾股定理
【点评】本题结合矩形和正方形的性质，利用勾股定理计算固定线段长度，再通过三角形三边关系求线段最小值，关键是找到F在AC上时CF最小的情况，属于几何最值的典型题型，需掌握线段最值的核心思路。
【难度系数】0.5
11 [2025 海安模拟]如图,在正方形$ABCD$中,$AB=6$,点$E$在边$CD$上运动,连接$AE$,将线段$AE$绕点$E$顺时针旋转$90°$得到线段$FE$,连接$AF$,$BF$,当$BF$的长最小时,$CE$的长是
3
.答案
11. 3
【解析】如图,过点 E 作 EM⊥AB 于点 M,过点 F 作 FN⊥ME,交 ME 的延长线于点 N,延长 FN 交 BC 的延长线于点 G,则 ∠AME = ∠BME = ∠ENF = ∠ENG = 90°,
∴ ∠MAE+∠AEM=90°.
∵ 将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转 90°得到线段 FE,
∴ ∠AEF = 90°,AE = FE.
∴ ∠NEF + ∠AEM=90°.
∴ ∠MAE=∠NEF. 在△AME 和△ENF 中,
{
∠AME=∠ENF,
∠MAE=∠NEF,
AE=EF,
∴ △AME≌△ENF.
∴ AM=EN.ME=NF.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠BME = ∠MBC = ∠BCE = ∠ENG = 90°.
∴ 四边形 MBGN,MBCE 是矩形.
∴ 易得 EN=CG,MB=EC=NG. 设 EC=MB=NG=x,则 AM=EN=AB−BM=6−x,FG=FN+NG.
∵ ME=BC=AB=6,
∴ FN=ME=6.
∴ FG=6+x.
∴ BG=BC+CG=BC+EN=12−x. 在Rt△BFG 中,由勾股定理,得 BF²=BG²+FG²,
∴ BF=√(BG²+FG²)=√((12−x)²+(6+x)²)=√(2(x−3)²+162).
∴ 当 x=3 时,BF 的长有最小值,即当 BF 的长最小时,CE 的长是 3.
解析
【分析】要解决当BF最小时CE的长，需利用旋转的性质和正方形的特征，通过构造全等三角形确定点F的位置，再将BF的长度转化为关于CE的二次函数，利用二次函数的最值求解。具体步骤：1. 作辅助线构造直角三角形，结合旋转的90°角和AE=FE的条件，证明△AME≌△ENF；2. 设CE=x，用x表示Rt△BFG的两条直角边BG和FG；3. 根据勾股定理写出BF²的表达式，化简为二次函数形式，找到最小值对应的x值，即CE的长度。
【解析】如图，过点E作EM⊥AB于点M，过点F作FN⊥ME，交ME的延长线于点N，延长FN交BC的延长线于点G，则∠AME=∠BME=∠ENF=∠ENG=90°。
∴∠MAE+∠AEM=90°。
∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段FE，
∴∠AEF=90°，AE=FE。
∴∠NEF+∠AEM=90°，
∴∠MAE=∠NEF。
在△AME和△ENF中，
$\{\begin{array}{l}∠AME=∠ENF, \\∠MAE=∠NEF, \\AE=EF,\end{array} $
∴△AME≌△ENF（AAS），
∴AM=EN，ME=NF。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BME=∠MBC=∠BCE=90°，
∴四边形MBCE是矩形，故MB=EC，ME=BC=AB=6。
设EC=MB=x，则AM=AB - MB=6 - x，
由△AME≌△ENF得EN=AM=6 - x，NF=ME=6。
又
∵四边形MBGN是矩形，
∴BG=MN=ME + EN=6 + (6 - x)=12 - x，FG=FN + NG=NF + MB=6 + x（NG=MB=x）。
在Rt△BFG中，由勾股定理得：
$BF^2 = BG^2 + FG^2 = (12 - x)^2 + (6 + x)^2$，
展开化简：
$BF^2 = 144 - 24x + x^2 + 36 + 12x + x^2 = 2x^2 - 12x + 180 = 2(x - 3)^2 + 162$。
∵2＞0，
∴当x=3时，$BF^2$取得最小值，即BF最小，此时CE=x=3。
【答案】3
【知识点】正方形性质、旋转性质、全等三角形判定
【点评】本题是正方形与旋转结合的最值问题，核心是通过构造全等三角形转化线段关系，将几何最值转化为二次函数的最值，体现了数形结合的思想，考查了学生的辅助线构造能力和代数运算能力，属于中档题。
【难度系数】0.5
【解析】如图，过点E作EM⊥AB于点M，过点F作FN⊥ME，交ME的延长线于点N，延长FN交BC的延长线于点G，则∠AME=∠BME=∠ENF=∠ENG=90°。
∴∠MAE+∠AEM=90°。
∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段FE，
∴∠AEF=90°，AE=FE。
∴∠NEF+∠AEM=90°，
∴∠MAE=∠NEF。
在△AME和△ENF中，
$\{\begin{array}{l}∠AME=∠ENF, \\∠MAE=∠NEF, \\AE=EF,\end{array} $
∴△AME≌△ENF（AAS），
∴AM=EN，ME=NF。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BME=∠MBC=∠BCE=90°，
∴四边形MBCE是矩形，故MB=EC，ME=BC=AB=6。
设EC=MB=x，则AM=AB - MB=6 - x，
由△AME≌△ENF得EN=AM=6 - x，NF=ME=6。
又
∵四边形MBGN是矩形，
∴BG=MN=ME + EN=6 + (6 - x)=12 - x，FG=FN + NG=NF + MB=6 + x（NG=MB=x）。
在Rt△BFG中，由勾股定理得：
$BF^2 = BG^2 + FG^2 = (12 - x)^2 + (6 + x)^2$，
展开化简：
$BF^2 = 144 - 24x + x^2 + 36 + 12x + x^2 = 2x^2 - 12x + 180 = 2(x - 3)^2 + 162$。
∵2＞0，
∴当x=3时，$BF^2$取得最小值，即BF最小，此时CE=x=3。
【答案】3
【知识点】正方形性质、旋转性质、全等三角形判定
【点评】本题是正方形与旋转结合的最值问题，核心是通过构造全等三角形转化线段关系，将几何最值转化为二次函数的最值，体现了数形结合的思想，考查了学生的辅助线构造能力和代数运算能力，属于中档题。
【难度系数】0.5
12 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=α$。
(1) 如图①，若$α = 60°$，$D$ 为边 $BC$ 上一点，连接 $AD$，将线段 $AD$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转角度$α$ 至 $AE$ 位置，连接 $DE$，$CE$。
① $△ ADE$ 的形状为
② $BD$ 与 $CE$ 的数量关系为
(2) 如图②，若$α = 90°$，$D$ 为边 $BC$ 的延长线上一点，连接 $AD$，将线段 $AD$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转角度$α$ 至 $AE$ 位置，连接 $DE$，$CE$。
① 判断 $BD$ 和 $CE$ 的数量关系，并说明理由；
② 求$∠ BCE$的度数。
(3) 若$α = 90°$，$BC=3$，将(2)中“$D$ 为边 $BC$ 的延长线上一点”改为“$D$ 为直线 $BC$ 上一点”，其余条件不变，当 $CD=1$ 时，直接写出 $DE$ 的长。
(1) 如图①，若$α = 60°$，$D$ 为边 $BC$ 上一点，连接 $AD$，将线段 $AD$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转角度$α$ 至 $AE$ 位置，连接 $DE$，$CE$。
① $△ ADE$ 的形状为
等边三角形
；② $BD$ 与 $CE$ 的数量关系为
BD=CE
，$∠ BCE=$120°
。(2) 如图②，若$α = 90°$，$D$ 为边 $BC$ 的延长线上一点，连接 $AD$，将线段 $AD$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转角度$α$ 至 $AE$ 位置，连接 $DE$，$CE$。
① 判断 $BD$ 和 $CE$ 的数量关系，并说明理由；
② 求$∠ BCE$的度数。
(3) 若$α = 90°$，$BC=3$，将(2)中“$D$ 为边 $BC$ 的延长线上一点”改为“$D$ 为直线 $BC$ 上一点”，其余条件不变，当 $CD=1$ 时，直接写出 $DE$ 的长。
答案
12. (1) ① 等边三角形 ② BD=CE 120°
(2) ① BD=CE
理由: 由题意,知 ∠BAC = α = 90° = ∠DAE,
∴ ∠BAD = ∠CAE. 由旋转的性质,知 AD=AE. 在△BAD 和△CAE 中,
{
AB=AC,
∠BAD=∠CAE,
AD=AE,
∴ △BAD ≌ △CAE.
∴ BD = CE.
②
∵ ∠BAC= 90°, AB = AC,
∴ ∠B = ∠ACB = (180°−∠BAC)/2=45°.
∵ △BAD≌△CAE,
∴ ∠ACE = ∠B =45°.
∴ ∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 90°.
∴ ∠BCE = 90°
(3) DE=√5 或 DE=√17
(2) ① BD=CE
理由: 由题意,知 ∠BAC = α = 90° = ∠DAE,
∴ ∠BAD = ∠CAE. 由旋转的性质,知 AD=AE. 在△BAD 和△CAE 中,
{
AB=AC,
∠BAD=∠CAE,
AD=AE,
∴ △BAD ≌ △CAE.
∴ BD = CE.
②
∵ ∠BAC= 90°, AB = AC,
∴ ∠B = ∠ACB = (180°−∠BAC)/2=45°.
∵ △BAD≌△CAE,
∴ ∠ACE = ∠B =45°.
∴ ∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 90°.
∴ ∠BCE = 90°
(3) DE=√5 或 DE=√17
解析
【分析】
本题以等腰三角形的旋转为背景，核心是利用旋转的性质得到边、角的等量关系，通过全等三角形推导线段和角的关系；第(3)问需结合分类思想，分D在直线BC上的不同位置计算DE长度，关键是掌握全等三角形的判定及等腰直角三角形的性质。
【解析】
(1) ① 由旋转性质得：$AD=AE$，旋转角$α=60°$，故$∠ DAE=60°$，结合$AD=AE$，可得$△ ADE$为等边三角形；
② 因为$∠ BAC=α=60°$，$AB=AC$，所以$△ ABC$为等边三角形，$∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=60°-∠ DAC$，$∠ CAE=∠ DAE-∠ DAC=60°-∠ DAC$，因此$∠ BAD=∠ CAE$。在$△ BAD$和$△ CAE$中，$\begin{cases}AB=AC\\∠ BAD=∠ CAE\\AD=AE\end{cases}$，故$△ BAD≌△ CAE$（SAS），得$BD=CE$；又$∠ ACE=∠ B=60°$，$∠ ACB=60°$，所以$∠ BCE=∠ ACB+∠ ACE=120°$。
(2) ① $BD=CE$，理由：由题意$∠ BAC=α=90°=∠ DAE$，故$∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$。结合旋转得$AD=AE$，且$AB=AC$，所以$△ BAD≌△ CAE$（SAS），因此$BD=CE$；
② 因为$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，所以$∠ B=∠ ACB=45°$，由$△ BAD≌△ CAE$得$∠ ACE=∠ B=45°$，故$∠ BCE=∠ ACB+∠ ACE=45°+45°=90°$。
(3) 分两种情况：
情况1：D在BC的延长线上，此时$BD=BC+CD=4$，由$△ BAD≌△ CAE$得$AD=AE$，$∠ DAE=90°$，计算得$DE=\sqrt{17}$；
情况2：D在CB的延长线上，此时$BD=BC-CD=2$，计算得$DE=\sqrt{5}$；
故$DE=\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$。
【答案】
(1) ① 等边三角形；② $BD=CE$，$120°$；(2) ① $BD=CE$；② $90°$；(3) $\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查几何变换中的旋转、全等三角形及等腰三角形的性质，需掌握全等证明的基本方法，第(3)问的分类讨论是易错点，体现了几何题中分类思想的应用。
【难度系数】
0.4
本题以等腰三角形的旋转为背景，核心是利用旋转的性质得到边、角的等量关系，通过全等三角形推导线段和角的关系；第(3)问需结合分类思想，分D在直线BC上的不同位置计算DE长度，关键是掌握全等三角形的判定及等腰直角三角形的性质。
【解析】
(1) ① 由旋转性质得：$AD=AE$，旋转角$α=60°$，故$∠ DAE=60°$，结合$AD=AE$，可得$△ ADE$为等边三角形；
② 因为$∠ BAC=α=60°$，$AB=AC$，所以$△ ABC$为等边三角形，$∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=60°-∠ DAC$，$∠ CAE=∠ DAE-∠ DAC=60°-∠ DAC$，因此$∠ BAD=∠ CAE$。在$△ BAD$和$△ CAE$中，$\begin{cases}AB=AC\\∠ BAD=∠ CAE\\AD=AE\end{cases}$，故$△ BAD≌△ CAE$（SAS），得$BD=CE$；又$∠ ACE=∠ B=60°$，$∠ ACB=60°$，所以$∠ BCE=∠ ACB+∠ ACE=120°$。
(2) ① $BD=CE$，理由：由题意$∠ BAC=α=90°=∠ DAE$，故$∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$。结合旋转得$AD=AE$，且$AB=AC$，所以$△ BAD≌△ CAE$（SAS），因此$BD=CE$；
② 因为$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，所以$∠ B=∠ ACB=45°$，由$△ BAD≌△ CAE$得$∠ ACE=∠ B=45°$，故$∠ BCE=∠ ACB+∠ ACE=45°+45°=90°$。
(3) 分两种情况：
情况1：D在BC的延长线上，此时$BD=BC+CD=4$，由$△ BAD≌△ CAE$得$AD=AE$，$∠ DAE=90°$，计算得$DE=\sqrt{17}$；
情况2：D在CB的延长线上，此时$BD=BC-CD=2$，计算得$DE=\sqrt{5}$；
故$DE=\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$。
【答案】
(1) ① 等边三角形；② $BD=CE$，$120°$；(2) ① $BD=CE$；② $90°$；(3) $\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查几何变换中的旋转、全等三角形及等腰三角形的性质，需掌握全等证明的基本方法，第(3)问的分类讨论是易错点，体现了几何题中分类思想的应用。
【难度系数】
0.4
