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1 下列变形正确的是（
A.$a - b - c = a - (b - c)$
B.$a - b - c = a + (b - c)$
C.$a - b - c = a - (b + c)$
D.$a - b - c = - (a - b + c)$
C
）A.$a - b - c = a - (b - c)$
B.$a - b - c = a + (b - c)$
C.$a - b - c = a - (b + c)$
D.$a - b - c = - (a - b + c)$
答案
C
解析
【分析】本题考查添括号法则的应用，解题思路是根据添括号的规则，对原式$a - b - c$进行变形，再逐一对比各选项，判断哪个变形正确。添括号法则为：添括号时，若括号前是“$-$”号，括到括号里的各项都要改变符号；若括号前是“$+$”号，括到括号里的各项符号不变。
【解析】对原式$a - b - c$根据添括号法则变形：将后两项$-b - c$括在括号前带“$-$”的括号中，需改变各项符号，即$a - b - c = a - (b + c)$。逐一分析选项：
选项A：$a - (b - c) = a - b + c$，与原式$a - b - c$不相等，错误；
选项B：$a + (b - c) = a + b - c$，与原式不相等，错误；
选项C：$a - (b + c) = a - b - c$，与原式相等，正确；
选项D：$-(a - b + c) = -a + b - c$，与原式不相等，错误。
【答案】C
【知识点】添括号法则、整式的加减
【点评】本题是整式运算的基础题型，核心考查添括号时的符号变化规则，需准确掌握“括号前为负号时，括号内各项变号”这一关键知识点，避免符号错误，是后续复杂整式运算的重要铺垫。
【难度系数】0.8
【解析】对原式$a - b - c$根据添括号法则变形：将后两项$-b - c$括在括号前带“$-$”的括号中，需改变各项符号，即$a - b - c = a - (b + c)$。逐一分析选项：
选项A：$a - (b - c) = a - b + c$，与原式$a - b - c$不相等，错误；
选项B：$a + (b - c) = a + b - c$，与原式不相等，错误；
选项C：$a - (b + c) = a - b - c$，与原式相等，正确；
选项D：$-(a - b + c) = -a + b - c$，与原式不相等，错误。
【答案】C
【知识点】添括号法则、整式的加减
【点评】本题是整式运算的基础题型，核心考查添括号时的符号变化规则，需准确掌握“括号前为负号时，括号内各项变号”这一关键知识点，避免符号错误，是后续复杂整式运算的重要铺垫。
【难度系数】0.8
2 运用平方差公式计算$(a-b+c)(a+b-c)$，下列结果正确的是（
A.$a^{2}-(b-c)^{2}$
B.$a^{2}-(b+c)^{2}$
C.$(a-b)^{2}-c^{2}$
D.$(a-c)^{2}-b^{2}$
A
）A.$a^{2}-(b-c)^{2}$
B.$a^{2}-(b+c)^{2}$
C.$(a-b)^{2}-c^{2}$
D.$(a-c)^{2}-b^{2}$
答案
A
解析
【分析】本题需运用平方差公式计算，平方差公式为：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。解题关键是将原式变形为符合平方差公式的结构，先找出两个因式中相同的项和互为相反数的项：观察$(a-b+c)(a+b-c)$，可整理为$[a+(c-b)][a-(c-b)]$，其中相同项是$a$，互为相反数的项是$(c-b)$和$-(c-b)$，符合平方差公式的形式。
【解析】对原式变形：
$(a-b+c)(a+b-c)=[a+(c-b)][a-(c-b)]$
根据平方差公式代入计算：
$=a^2-(c-b)^2$
由于$(c-b)^2=(b-c)^2$，因此结果为$a^2-(b-c)^2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】平方差公式的应用
【点评】本题考查平方差公式的灵活运用，核心是对原式合理分组变形，使其匹配平方差公式结构，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】对原式变形：
$(a-b+c)(a+b-c)=[a+(c-b)][a-(c-b)]$
根据平方差公式代入计算：
$=a^2-(c-b)^2$
由于$(c-b)^2=(b-c)^2$，因此结果为$a^2-(b-c)^2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】平方差公式的应用
【点评】本题考查平方差公式的灵活运用，核心是对原式合理分组变形，使其匹配平方差公式结构，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6
3 若$|x+y-5|+(xy-6)^{2}=0$,则$x^{2}+y^{2}$的值为（
A.13
B.26
C.28
D.37
A
）A.13
B.26
C.28
D.37
答案
A
解析
【分析】本题的核心是利用绝对值和平方数的非负性，先求出$x+y$与$xy$的值，再通过完全平方公式变形计算$x^2+y^2$。首先明确：两个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0，据此列出方程求出$x+y$和$xy$，最后代入公式变形后的式子计算即可。
【解析】因为绝对值和平方数均为非负数，即$|x+y-5|≥0$，$(xy-6)^2≥0$，而它们的和为0，所以：
$|x+y-5|=0$，解得$x+y=5$；
$(xy-6)^2=0$，解得$xy=6$。
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，变形得：$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$。
将$x+y=5$，$xy=6$代入得：$x^2+y^2=5^2 - 2×6=25-12=13$。
【答案】A
【知识点】非负数的性质、完全平方公式
【点评】本题考查非负数的性质与完全平方公式的应用，属于基础题型，解题关键是利用非负数的和为0的条件求出相关代数式的值，再通过公式变形计算目标式，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】因为绝对值和平方数均为非负数，即$|x+y-5|≥0$，$(xy-6)^2≥0$，而它们的和为0，所以：
$|x+y-5|=0$，解得$x+y=5$；
$(xy-6)^2=0$，解得$xy=6$。
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，变形得：$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$。
将$x+y=5$，$xy=6$代入得：$x^2+y^2=5^2 - 2×6=25-12=13$。
【答案】A
【知识点】非负数的性质、完全平方公式
【点评】本题考查非负数的性质与完全平方公式的应用，属于基础题型，解题关键是利用非负数的和为0的条件求出相关代数式的值，再通过公式变形计算目标式，难度较低。
【难度系数】0.6
4 如图,两个正方形的边长分别为 a ,b. 如果 $a+b=10,ab=18$,那么涂色部分的面积为
23
.答案
23
解析
【分析】
要计算涂色部分的面积，需先通过观察图形，利用面积和差关系推导涂色部分面积的表达式，再结合已知条件，运用完全平方公式进行代数运算。具体思路：先分析涂色部分由哪些图形的面积组合而成，减去多余的空白部分面积，化简得到关于a、b的表达式，再利用完全平方公式求出$a^2+b^2$，最后代入计算结果。
【解析】
1. 推导涂色部分面积表达式：
观察图形可知，涂色部分面积 = 大正方形面积的一半 + 小正方形面积 - 右下角空白三角形的面积。
大正方形面积为$a^2$，其一半为$\frac{1}{2}a^2$；小正方形面积为$b^2$；右下角空白三角形的底为$a+b$，高为$b$，面积为$\frac{1}{2}b(a+b)$。
因此，涂色部分面积$S = \frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}b(a+b)$，化简得：
$S = \frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)$。
2. 代入已知条件计算：
根据完全平方公式，$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$，已知$a+b=10$，$ab=18$，则：
$a^2 + b^2 = 10^2 - 2×18 = 100 - 36 = 64$。
将$a^2 + b^2=64$，$ab=18$代入$S$的表达式：
$S = \frac{1}{2}(64 - 18) = \frac{1}{2}×46 = 23$。
【答案】
23
【知识点】
完全平方公式，正方形面积，三角形面积
【点评】
本题结合几何图形面积计算与代数公式应用，需先通过面积和差推导表达式，再利用完全平方公式简化运算，考查学生的几何直观与代数运算能力，是一道综合性中等的题目。
【难度系数】
0.6
要计算涂色部分的面积，需先通过观察图形，利用面积和差关系推导涂色部分面积的表达式，再结合已知条件，运用完全平方公式进行代数运算。具体思路：先分析涂色部分由哪些图形的面积组合而成，减去多余的空白部分面积，化简得到关于a、b的表达式，再利用完全平方公式求出$a^2+b^2$，最后代入计算结果。
【解析】
1. 推导涂色部分面积表达式：
观察图形可知，涂色部分面积 = 大正方形面积的一半 + 小正方形面积 - 右下角空白三角形的面积。
大正方形面积为$a^2$，其一半为$\frac{1}{2}a^2$；小正方形面积为$b^2$；右下角空白三角形的底为$a+b$，高为$b$，面积为$\frac{1}{2}b(a+b)$。
因此，涂色部分面积$S = \frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}b(a+b)$，化简得：
$S = \frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)$。
2. 代入已知条件计算：
根据完全平方公式，$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$，已知$a+b=10$，$ab=18$，则：
$a^2 + b^2 = 10^2 - 2×18 = 100 - 36 = 64$。
将$a^2 + b^2=64$，$ab=18$代入$S$的表达式：
$S = \frac{1}{2}(64 - 18) = \frac{1}{2}×46 = 23$。
【答案】
23
【知识点】
完全平方公式，正方形面积，三角形面积
【点评】
本题结合几何图形面积计算与代数公式应用，需先通过面积和差推导表达式，再利用完全平方公式简化运算，考查学生的几何直观与代数运算能力，是一道综合性中等的题目。
【难度系数】
0.6
5 教材 P116 例5 变式 计算：
(1) $(a-2b-c)(a+2b+c)$； (2) $(3m+n-2)^2$； (3) $(a-3b-1)^2$.
(1) $(a-2b-c)(a+2b+c)$； (2) $(3m+n-2)^2$； (3) $(a-3b-1)^2$.
答案
(1) $a^2-4b^2-4bc-c^2$
(2) $9m^2+6mn+n^2-12m-4n+4$
(3) $a^2+9b^2-6ab-2a+6b+1$
(2) $9m^2+6mn+n^2-12m-4n+4$
(3) $a^2+9b^2-6ab-2a+6b+1$
解析
【分析】
本题考查整式乘法公式的应用，需根据式子结构灵活选用公式简化计算：
(1) 观察式子，将后两项视为整体，构造平方差公式$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$，其中$x=a$，$y=2b+c$；
(2)(3) 式子为三项的完全平方，利用三项完全平方公式$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$，代入对应项计算，注意符号处理。
【解析】
(1) 原式$=[a-(2b+c)][a+(2b+c)]$
$=a^2 - (2b+c)^2$
$=a^2 - (4b^2 +4bc +c^2)$
$=a^2-4b^2-4bc-c^2$；
(2) 原式$=(3m +n -2)^2$
$=(3m)^2 +n^2 + (-2)^2 +2×3m×n +2×3m×(-2) +2×n×(-2)$
$=9m^2 +n^2 +4 +6mn -12m -4n$
$=9m^2+6mn+n^2-12m-4n+4$；
(3) 原式$=(a -3b -1)^2$
$=a^2 + (-3b)^2 + (-1)^2 +2×a×(-3b) +2×a×(-1) +2×(-3b)×(-1)$
$=a^2 +9b^2 +1 -6ab -2a +6b$
$=a^2+9b^2-6ab-2a+6b+1$；
【答案】
(1) $a^2-4b^2-4bc-c^2$；(2) $9m^2+6mn+n^2-12m-4n+4$；(3) $a^2+9b^2-6ab-2a+6b+1$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是整式乘法公式的典型变式题，重点考查平方差公式和完全平方公式的灵活运用，需注意公式中符号的处理，避免展开时出错，属于基础运算题。
【难度系数】
0.6
本题考查整式乘法公式的应用，需根据式子结构灵活选用公式简化计算：
(1) 观察式子，将后两项视为整体，构造平方差公式$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$，其中$x=a$，$y=2b+c$；
(2)(3) 式子为三项的完全平方，利用三项完全平方公式$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$，代入对应项计算，注意符号处理。
【解析】
(1) 原式$=[a-(2b+c)][a+(2b+c)]$
$=a^2 - (2b+c)^2$
$=a^2 - (4b^2 +4bc +c^2)$
$=a^2-4b^2-4bc-c^2$；
(2) 原式$=(3m +n -2)^2$
$=(3m)^2 +n^2 + (-2)^2 +2×3m×n +2×3m×(-2) +2×n×(-2)$
$=9m^2 +n^2 +4 +6mn -12m -4n$
$=9m^2+6mn+n^2-12m-4n+4$；
(3) 原式$=(a -3b -1)^2$
$=a^2 + (-3b)^2 + (-1)^2 +2×a×(-3b) +2×a×(-1) +2×(-3b)×(-1)$
$=a^2 +9b^2 +1 -6ab -2a +6b$
$=a^2+9b^2-6ab-2a+6b+1$；
【答案】
(1) $a^2-4b^2-4bc-c^2$；(2) $9m^2+6mn+n^2-12m-4n+4$；(3) $a^2+9b^2-6ab-2a+6b+1$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是整式乘法公式的典型变式题，重点考查平方差公式和完全平方公式的灵活运用，需注意公式中符号的处理，避免展开时出错，属于基础运算题。
【难度系数】
0.6
6 数形结合思想 如图所示为用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的大正方形,大正方形的面积为49,小正方形的面积为4.若用$x,y(x＜y)$表示小长方形的两条邻边的长,则下列关系式中,不正确的是（
A.$x+y=7$
B.$y-x=2$
C.$4xy+4=49$
D.$x^2+y^2=25$
D
）A.$x+y=7$
B.$y-x=2$
C.$4xy+4=49$
D.$x^2+y^2=25$
答案
D
解析
【分析】
首先根据大、小正方形的面积求出它们的边长，再结合图形明确边长与小长方形长、宽的关系，逐一推导各选项的关系式进行判断：大正方形边长等于小长方形长与宽之和，小正方形边长等于小长方形长与宽之差；同时利用“大正方形面积=4个小长方形面积+小正方形面积”验证选项，最后通过完全平方公式推导x²+y²的值判断选项D。
【解析】
解：已知大正方形面积为49，则大正方形边长为$\sqrt{49}=7$，由图形可知大正方形边长等于小长方形的长与宽之和，因此$x+y=7$，故选项A正确；
小正方形面积为4，则小正方形边长为$\sqrt{4}=2$，由图形可知小正方形边长等于小长方形的长与宽之差，因此$y-x=2$，故选项B正确；
大正方形面积等于4个小长方形的面积加上小正方形的面积，小长方形面积为$xy$，因此$4xy + 4 = 49$，故选项C正确；
由$x+y=7$，$y-x=2$，可得：
$(x+y)^2=7^2=49$，展开得$x^2+2xy+y^2=49$；
$(y-x)^2=2^2=4$，展开得$y^2-2xy+x^2=4$；
将两式相加得$2(x^2+y^2)=53$，即$x^2+y^2=26.5≠25$，故选项D错误。
【答案】
D
【知识点】
数形结合、完全平方公式、正方形面积
【点评】
本题通过数形结合思想，将几何图形的边长、面积关系转化为代数关系式，结合完全平方公式推导计算，关键是找准图形中各边长的对应关系，属于代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.5
首先根据大、小正方形的面积求出它们的边长，再结合图形明确边长与小长方形长、宽的关系，逐一推导各选项的关系式进行判断：大正方形边长等于小长方形长与宽之和，小正方形边长等于小长方形长与宽之差；同时利用“大正方形面积=4个小长方形面积+小正方形面积”验证选项，最后通过完全平方公式推导x²+y²的值判断选项D。
【解析】
解：已知大正方形面积为49，则大正方形边长为$\sqrt{49}=7$，由图形可知大正方形边长等于小长方形的长与宽之和，因此$x+y=7$，故选项A正确；
小正方形面积为4，则小正方形边长为$\sqrt{4}=2$，由图形可知小正方形边长等于小长方形的长与宽之差，因此$y-x=2$，故选项B正确；
大正方形面积等于4个小长方形的面积加上小正方形的面积，小长方形面积为$xy$，因此$4xy + 4 = 49$，故选项C正确；
由$x+y=7$，$y-x=2$，可得：
$(x+y)^2=7^2=49$，展开得$x^2+2xy+y^2=49$；
$(y-x)^2=2^2=4$，展开得$y^2-2xy+x^2=4$；
将两式相加得$2(x^2+y^2)=53$，即$x^2+y^2=26.5≠25$，故选项D错误。
【答案】
D
【知识点】
数形结合、完全平方公式、正方形面积
【点评】
本题通过数形结合思想，将几何图形的边长、面积关系转化为代数关系式，结合完全平方公式推导计算，关键是找准图形中各边长的对应关系，属于代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.5
7 已知$(x-2024)^{2}+(x-2026)^{2}=38$,则$(x-2025)^{2}$的值是
（
A.4
B.18
C.12
D.16
（
B
）A.4
B.18
C.12
D.16
答案
B 【解析】设$x-2025=a. \because (x-2024)^2+(x-2026)^2=38,\therefore [(x-2025)+1]^2+[(x-2025)-1]^2=38$,即$(a+1)^2+(a-1)^2=38. \therefore a^2+2a+1+a^2-2a+1=38$,即$2a^2+2=38. \therefore a^2=18$,即$(x-2025)^2=18.$
解析
【分析】本题要求$(x - 2025)^2$的值，观察已知式中$(x - 2024)$、$(x - 2026)$与$(x - 2025)$的关系，发现它们分别比$(x - 2025)$大1和小1，因此采用换元法，设$a = x - 2025$，将已知式转化为关于$a$的方程，再利用完全平方公式展开化简，即可快速求出$a^2$，也就是目标式的值，这种方法能避免直接展开高次项的繁琐计算。
【解析】设$x - 2025 = a$，则$x - 2024 = a + 1$，$x - 2026 = a - 1$。
已知$(x - 2024)^2 + (x - 2026)^2 = 38$，代入得：
$(a + 1)^2 + (a - 1)^2 = 38$
根据完全平方公式$(m±n)^2 = m^2±2mn + n^2$展开：
$a^2 + 2a + 1 + a^2 - 2a + 1 = 38$
合并同类项：
$2a^2 + 2 = 38$
移项并化简：
$2a^2 = 36$，即$a^2 = 18$
因此$(x - 2025)^2 = a^2 = 18$
【答案】B
【知识点】换元法、完全平方公式、代数式求值
【点评】本题运用换元法简化了复杂的代数表达式，通过完全平方公式展开后消去一次项，快速求解目标值，体现了代数运算中的转化思想，是代数化简求值的典型题型，掌握换元技巧可大幅降低计算难度。
【难度系数】0.6
【解析】设$x - 2025 = a$，则$x - 2024 = a + 1$，$x - 2026 = a - 1$。
已知$(x - 2024)^2 + (x - 2026)^2 = 38$，代入得：
$(a + 1)^2 + (a - 1)^2 = 38$
根据完全平方公式$(m±n)^2 = m^2±2mn + n^2$展开：
$a^2 + 2a + 1 + a^2 - 2a + 1 = 38$
合并同类项：
$2a^2 + 2 = 38$
移项并化简：
$2a^2 = 36$，即$a^2 = 18$
因此$(x - 2025)^2 = a^2 = 18$
【答案】B
【知识点】换元法、完全平方公式、代数式求值
【点评】本题运用换元法简化了复杂的代数表达式，通过完全平方公式展开后消去一次项，快速求解目标值，体现了代数运算中的转化思想，是代数化简求值的典型题型，掌握换元技巧可大幅降低计算难度。
【难度系数】0.6
