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三、解答题.
定向越野挑战赛
小明报名参加了定向越野挑战赛,赛事规则要求选手通过地图上的坐标点规划移动路线,组委会创新性地用“平移量”来描述每段路线的移动规则:沿东西方向(对应x轴)向东走为正、向西为负,沿南北方向(对应y轴)向北走为正、向南为负,每段路线的“平移量”记为$\{x方向移动距离,y方向移动距离\}$，“平移量”的加法遵循$\{a,b\}+\{c,d\}=\{a+c,b+d\}$的规则,用于计算多段路线的总位移.
(1)热身训练中,小明先完成一段“平移量”为$\{3,1\}$的路线(向东3 km、向北1 km),再接着走一段“平移量”为$\{1,-2\}$的路线(向东1 km、向南2 km),请问两段路线的总“平移量”是多少?
(2)如图①,正式比赛中,小明从起点(坐标原点$O$)出发,方案一是先走$\{3,1\}$到打卡点$A$,再走$\{1,2\}$到终点$B$;方案二是先走$\{1,2\}$到打卡点$C$,再走$\{3,1\}$到终点$D$.请问两种方案的终点是否重合?如果连接起点、两个打卡点和终点形成四边形$OABC$,已知$∠ OAB=α$,那么$∠ OCD$的角度是多少?
(3)最后一个赛段是湖区越野,如图②,小明从码头$O$出发,先划船到湖心岛打卡点$P(2,3)$,再前往终点码头$Q(5,5)$,最后返回起点$O$.请用“平移量”加法算式表示整个湖区赛段的移动过程,并计算出整个湖区路线围成的$△ OPQ$的面积.
定向越野挑战赛
小明报名参加了定向越野挑战赛,赛事规则要求选手通过地图上的坐标点规划移动路线,组委会创新性地用“平移量”来描述每段路线的移动规则:沿东西方向(对应x轴)向东走为正、向西为负,沿南北方向(对应y轴)向北走为正、向南为负,每段路线的“平移量”记为$\{x方向移动距离,y方向移动距离\}$，“平移量”的加法遵循$\{a,b\}+\{c,d\}=\{a+c,b+d\}$的规则,用于计算多段路线的总位移.
(1)热身训练中,小明先完成一段“平移量”为$\{3,1\}$的路线(向东3 km、向北1 km),再接着走一段“平移量”为$\{1,-2\}$的路线(向东1 km、向南2 km),请问两段路线的总“平移量”是多少?
(2)如图①,正式比赛中,小明从起点(坐标原点$O$)出发,方案一是先走$\{3,1\}$到打卡点$A$,再走$\{1,2\}$到终点$B$;方案二是先走$\{1,2\}$到打卡点$C$,再走$\{3,1\}$到终点$D$.请问两种方案的终点是否重合?如果连接起点、两个打卡点和终点形成四边形$OABC$,已知$∠ OAB=α$,那么$∠ OCD$的角度是多少?
(3)最后一个赛段是湖区越野,如图②,小明从码头$O$出发,先划船到湖心岛打卡点$P(2,3)$,再前往终点码头$Q(5,5)$,最后返回起点$O$.请用“平移量”加法算式表示整个湖区赛段的移动过程,并计算出整个湖区路线围成的$△ OPQ$的面积.
答案
(1) {3,1}+{1,-2} = {3+1,1+(-2)} = {4,-1}.
(2)小明的两种方案的总“平移量”均为 {3,1}+{1,2} = {1,2}+{3,1} = {4,3},最终坐标相同,因此两种方案的终点点B与点D重合. 四边形OABC中OA//CD,AB//OC,OABC为平行四边形,∠OCD与∠OAB为平行四边形的对角,因此∠OCD=α.
(3)从O→P“平移量”为{2,3},P→Q“平移量”为{3,2},Q→O“平移量”为{-5,-5},总过程为: {2,3}+{3,2}+{-5,-5} = {0,0},△OPQ的面积为2.5.
(2)小明的两种方案的总“平移量”均为 {3,1}+{1,2} = {1,2}+{3,1} = {4,3},最终坐标相同,因此两种方案的终点点B与点D重合. 四边形OABC中OA//CD,AB//OC,OABC为平行四边形,∠OCD与∠OAB为平行四边形的对角,因此∠OCD=α.
(3)从O→P“平移量”为{2,3},P→Q“平移量”为{3,2},Q→O“平移量”为{-5,-5},总过程为: {2,3}+{3,2}+{-5,-5} = {0,0},△OPQ的面积为2.5.
解析
【分析】
(1) 本题考查新定义“平移量”的加法运算，解题时直接套用题干给出的平移量加法规则$\{a,b\}+\{c,d\}=\{a+c,b+d\}$，将两段路线的平移量代入计算即可得到总平移量。
(2) 首先分别计算两种方案的总平移量，若总平移量相同则终点坐标相同，终点重合；再根据两组对边对应的平移量相同，可推出两组对边分别平行且相等，判定四边形OABC是平行四边形，再利用平行四边形对角相等的性质即可得到$∠ OCD$的度数。
(3) 先根据每段路线起点和终点的坐标差计算每一段的平移量，再按加法规则求和得到总平移量；计算$△ OPQ$的面积时，采用适合八年级的坐标割补法即可得到结果。
【解析】
(1) 根据平移量加法规则计算：
$\{3,1\}+\{1,-2\}=\{3+1,1+(-2)\}=\{4,-1\}$
(2) 计算方案一总平移量：$\{3,1\}+\{1,2\}=\{3+1,1+2\}=\{4,3\}$
计算方案二总平移量：$\{1,2\}+\{3,1\}=\{1+3,2+1\}=\{4,3\}$
两个方案总平移量相同，因此终点B和D的坐标相同，终点重合。
由平移量可知，OA对应的平移量与CD相同，故$OA// CD$且$OA=CD$；AB对应的平移量与OC相同，故$AB// OC$且$AB=OC$，因此四边形OABC是平行四边形，平行四边形对角相等，故$∠ OCD=∠ OAB=α$。
(3) 各段平移量计算：
O→P：x从0到2，y从0到3，平移量为$\{2,3\}$；
P→Q：x从2到5（增加3），y从3到5（增加2），平移量为$\{3,2\}$；
Q→O：x从5到0（减少5），y从5到0（减少5），平移量为$\{-5,-5\}$。
总过程算式：$\{2,3\}+\{3,2\}+\{-5,-5\}=\{2+3-5,3+2-5\}=\{0,0\}$。
采用坐标割补法计算$△ OPQ$面积：已知三点坐标$O(0,0)$、$P(2,3)$、$Q(5,5)$，代入坐标法三角形面积公式可得$S=\frac{1}{2}×\left|0×3+2×5+5×0-2×0-5×3-0×5\right|=\frac{1}{2}×5=2.5$。
【答案】
(1) 两段路线的总平移量是$\{4,-1\}$；
(2) 两种方案的终点重合，$∠ OCD=α$；
(3) 整个湖区赛段的移动过程为$\{2,3\}+\{3,2\}+\{-5,-5\}=\{0,0\}$，$△ OPQ$的面积为2.5。
【知识点】
1. 新定义运算
2. 平行四边形的性质
3. 坐标求图形面积
【点评】
本题以定向越野赛事为情境载体，结合新定义“平移量”，综合考查了新规则的迁移应用、平行四边形的判定与性质、坐标与图形面积计算等内容，贴近生活实际，注重对知识应用能力的考查，题型灵活。
【难度系数】
0.7
(1) 本题考查新定义“平移量”的加法运算，解题时直接套用题干给出的平移量加法规则$\{a,b\}+\{c,d\}=\{a+c,b+d\}$，将两段路线的平移量代入计算即可得到总平移量。
(2) 首先分别计算两种方案的总平移量，若总平移量相同则终点坐标相同，终点重合；再根据两组对边对应的平移量相同，可推出两组对边分别平行且相等，判定四边形OABC是平行四边形，再利用平行四边形对角相等的性质即可得到$∠ OCD$的度数。
(3) 先根据每段路线起点和终点的坐标差计算每一段的平移量，再按加法规则求和得到总平移量；计算$△ OPQ$的面积时，采用适合八年级的坐标割补法即可得到结果。
【解析】
(1) 根据平移量加法规则计算：
$\{3,1\}+\{1,-2\}=\{3+1,1+(-2)\}=\{4,-1\}$
(2) 计算方案一总平移量：$\{3,1\}+\{1,2\}=\{3+1,1+2\}=\{4,3\}$
计算方案二总平移量：$\{1,2\}+\{3,1\}=\{1+3,2+1\}=\{4,3\}$
两个方案总平移量相同，因此终点B和D的坐标相同，终点重合。
由平移量可知，OA对应的平移量与CD相同，故$OA// CD$且$OA=CD$；AB对应的平移量与OC相同，故$AB// OC$且$AB=OC$，因此四边形OABC是平行四边形，平行四边形对角相等，故$∠ OCD=∠ OAB=α$。
(3) 各段平移量计算：
O→P：x从0到2，y从0到3，平移量为$\{2,3\}$；
P→Q：x从2到5（增加3），y从3到5（增加2），平移量为$\{3,2\}$；
Q→O：x从5到0（减少5），y从5到0（减少5），平移量为$\{-5,-5\}$。
总过程算式：$\{2,3\}+\{3,2\}+\{-5,-5\}=\{2+3-5,3+2-5\}=\{0,0\}$。
采用坐标割补法计算$△ OPQ$面积：已知三点坐标$O(0,0)$、$P(2,3)$、$Q(5,5)$，代入坐标法三角形面积公式可得$S=\frac{1}{2}×\left|0×3+2×5+5×0-2×0-5×3-0×5\right|=\frac{1}{2}×5=2.5$。
【答案】
(1) 两段路线的总平移量是$\{4,-1\}$；
(2) 两种方案的终点重合，$∠ OCD=α$；
(3) 整个湖区赛段的移动过程为$\{2,3\}+\{3,2\}+\{-5,-5\}=\{0,0\}$，$△ OPQ$的面积为2.5。
【知识点】
1. 新定义运算
2. 平行四边形的性质
3. 坐标求图形面积
【点评】
本题以定向越野赛事为情境载体，结合新定义“平移量”，综合考查了新规则的迁移应用、平行四边形的判定与性质、坐标与图形面积计算等内容，贴近生活实际，注重对知识应用能力的考查，题型灵活。
【难度系数】
0.7
