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43. 化简求值.
(1)已知 $x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$,求 $x^2 -xy +y^2$ 的值；
(2)当 $a=4+\sqrt{15},b=4-\sqrt{15}$ 时,求 $a^2 +5ab +b^2 -3a -3b$ 的值.
(1)已知 $x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$,求 $x^2 -xy +y^2$ 的值；
(2)当 $a=4+\sqrt{15},b=4-\sqrt{15}$ 时,求 $a^2 +5ab +b^2 -3a -3b$ 的值.
答案
解：
(1) 先计算$x+y$与$xy$的值：
$\because x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$
$\therefore x+y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\sqrt{7}$
$xy=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})·\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\frac{1}{4}×[(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2]=\frac{1}{4}×(7-5)=\frac{1}{2}$
$\therefore x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=(\sqrt{7})^2 - 3×\frac{1}{2}=7-\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$
(2) 先计算$a+b$与$ab$的值：
$\because a=4+\sqrt{15},b=4-\sqrt{15}$
$\therefore a+b=(4+\sqrt{15})+(4-\sqrt{15})=8$
$ab=(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})=4^2-(\sqrt{15})^2=16-15=1$
$\therefore a^2+5ab+b^2-3a-3b$
$=(a+b)^2 + 3ab - 3(a+b)$
$=8^2 + 3×1 - 3×8$
$=64+3-24$
$=43$
(1) 先计算$x+y$与$xy$的值：
$\because x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$
$\therefore x+y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\sqrt{7}$
$xy=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})·\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\frac{1}{4}×[(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2]=\frac{1}{4}×(7-5)=\frac{1}{2}$
$\therefore x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=(\sqrt{7})^2 - 3×\frac{1}{2}=7-\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$
(2) 先计算$a+b$与$ab$的值：
$\because a=4+\sqrt{15},b=4-\sqrt{15}$
$\therefore a+b=(4+\sqrt{15})+(4-\sqrt{15})=8$
$ab=(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})=4^2-(\sqrt{15})^2=16-15=1$
$\therefore a^2+5ab+b^2-3a-3b$
$=(a+b)^2 + 3ab - 3(a+b)$
$=8^2 + 3×1 - 3×8$
$=64+3-24$
$=43$
44. 计算: $(2\sqrt{5} + 1)(\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + $
$ + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}})$
$ + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}})$答案
解：
先对和式中的每一项进行分母有理化：
对任意正整数$n$，有
$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
因此计算括号内的和：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\\=&(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})\\=&\sqrt{100}-1\\=&10-1\\=&9\end{aligned}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(2\sqrt{5}+1)×9\\&=18\sqrt{5}+9\end{aligned}$
最终结果：$\boldsymbol{18\sqrt{5}+9}$
先对和式中的每一项进行分母有理化：
对任意正整数$n$，有
$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
因此计算括号内的和：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\\=&(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})\\=&\sqrt{100}-1\\=&10-1\\=&9\end{aligned}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(2\sqrt{5}+1)×9\\&=18\sqrt{5}+9\end{aligned}$
最终结果：$\boldsymbol{18\sqrt{5}+9}$
45. 已知$4x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10 = 0$，求$\frac{2}{3}x\sqrt{9x} - 5x\sqrt{\frac{y}{x}}$的值。
答案
解：
对已知等式配方变形：
$\begin{aligned}4x^2 + y^2 -4x -6y +10 &= 0\\(4x^2 -4x +1) + (y^2 -6y +9) &= 0\\(2x-1)^2 + (y-3)^2 &= 0\end{aligned}$
由平方数的非负性可知：$(2x-1)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$，
因此$2x-1=0$，$y-3=0$，
解得$x=\frac{1}{2}$，$y=3$。
化简所求代数式：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}x\sqrt{9x} -5x\sqrt{\frac{y}{x}}&=\frac{2}{3}x· 3\sqrt{x} -5x· \frac{\sqrt{xy}}{x}\\&=2x\sqrt{x} -5\sqrt{xy}\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{2}$，$y=3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{1}{2}} -5\sqrt{\frac{1}{2}×3}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{5\sqrt{6}}{2}\\&=\frac{\sqrt{2}-5\sqrt{6}}{2}\end{aligned}$
对已知等式配方变形：
$\begin{aligned}4x^2 + y^2 -4x -6y +10 &= 0\\(4x^2 -4x +1) + (y^2 -6y +9) &= 0\\(2x-1)^2 + (y-3)^2 &= 0\end{aligned}$
由平方数的非负性可知：$(2x-1)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$，
因此$2x-1=0$，$y-3=0$，
解得$x=\frac{1}{2}$，$y=3$。
化简所求代数式：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}x\sqrt{9x} -5x\sqrt{\frac{y}{x}}&=\frac{2}{3}x· 3\sqrt{x} -5x· \frac{\sqrt{xy}}{x}\\&=2x\sqrt{x} -5\sqrt{xy}\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{2}$，$y=3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{1}{2}} -5\sqrt{\frac{1}{2}×3}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{5\sqrt{6}}{2}\\&=\frac{\sqrt{2}-5\sqrt{6}}{2}\end{aligned}$
