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1. 正投影是 （
A.平行光线下的投影
B.点光源线垂直于投影面的投影
C.平行光线平行于投影面的投影
D.平行光线垂直于投影面的投影
D
）A.平行光线下的投影
B.点光源线垂直于投影面的投影
C.平行光线平行于投影面的投影
D.平行光线垂直于投影面的投影
答案
1.D
解析
【分析】
拿到这道题首先要回忆投影的相关分类和定义，解题思路如下：第一步先明确投影的分类依据：按光源类型分为点光源形成的中心投影、平行光线形成的平行投影；第二步明确平行投影的细分：根据平行光线与投影面的位置关系，分为斜投影（光线倾斜于投影面）和正投影（光线垂直于投影面）；第三步结合正投影的核心特征，逐一比对选项排除错误答案即可。
【解析】
首先明确投影的相关概念：
1. 投影按光源类型分为两类：①中心投影：由点光源发出的光线形成的投影；②平行投影：由平行光线照射形成的投影。
2. 平行投影按光线和投影面的位置关系分为两类：①斜投影：平行光线倾斜于投影面时形成的投影；②正投影：平行光线垂直于投影面时形成的投影。
逐一分析选项：
A. 平行光线下的投影是平行投影，包含斜投影和正投影，不是正投影的专属定义，错误；
B. 点光源形成的投影属于中心投影，不属于正投影范畴，错误；
C. 平行光线平行于投影面不符合正投影“光线垂直于投影面”的要求，错误；
D. 完全符合正投影的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
正投影的定义；投影的分类
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对不同类型投影核心特征的区分，只要熟记相关定义就能快速选出正确答案，是投影章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先要回忆投影的相关分类和定义，解题思路如下：第一步先明确投影的分类依据：按光源类型分为点光源形成的中心投影、平行光线形成的平行投影；第二步明确平行投影的细分：根据平行光线与投影面的位置关系，分为斜投影（光线倾斜于投影面）和正投影（光线垂直于投影面）；第三步结合正投影的核心特征，逐一比对选项排除错误答案即可。
【解析】
首先明确投影的相关概念：
1. 投影按光源类型分为两类：①中心投影：由点光源发出的光线形成的投影；②平行投影：由平行光线照射形成的投影。
2. 平行投影按光线和投影面的位置关系分为两类：①斜投影：平行光线倾斜于投影面时形成的投影；②正投影：平行光线垂直于投影面时形成的投影。
逐一分析选项：
A. 平行光线下的投影是平行投影，包含斜投影和正投影，不是正投影的专属定义，错误；
B. 点光源形成的投影属于中心投影，不属于正投影范畴，错误；
C. 平行光线平行于投影面不符合正投影“光线垂直于投影面”的要求，错误；
D. 完全符合正投影的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
正投影的定义；投影的分类
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对不同类型投影核心特征的区分，只要熟记相关定义就能快速选出正确答案，是投影章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
2. [易错题]若木棒长为1.2 m，则它的正投影的长一定（
A.大于1.2 m
B.小于1.2 m
C.等于1.2 m
D.小于或等于1.2 m
D
）A.大于1.2 m
B.小于1.2 m
C.等于1.2 m
D.小于或等于1.2 m
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先要明确正投影的定义和线段正投影的长度规律，我们需要分三种情况讨论木棒与投影面的位置关系：①木棒平行于投影面；②木棒倾斜于投影面；③木棒垂直于投影面，分别对应不同的投影长度，再汇总所有情况得到最终结论。
【解析】
正投影是指投影线垂直于投影面的投影，线段的正投影长度遵循以下规律：
1. 当木棒平行于投影面时，它的正投影长度等于木棒的实际长度，即1.2m；
2. 当木棒倾斜于投影面时，它的正投影长度小于木棒的实际长度，即小于1.2m；
3. 当木棒垂直于投影面时，它的正投影为一个点，长度为0，远小于1.2m。
综上，木棒正投影的长一定小于或等于1.2m。
【答案】
D
【知识点】
正投影的性质
【点评】
本题属于易错题，很多同学容易忽略木棒与投影面平行的情况，误选B选项，解题时要全面考虑线段与投影面的所有位置关系，再归纳总结投影长度的取值范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确正投影的定义和线段正投影的长度规律，我们需要分三种情况讨论木棒与投影面的位置关系：①木棒平行于投影面；②木棒倾斜于投影面；③木棒垂直于投影面，分别对应不同的投影长度，再汇总所有情况得到最终结论。
【解析】
正投影是指投影线垂直于投影面的投影，线段的正投影长度遵循以下规律：
1. 当木棒平行于投影面时，它的正投影长度等于木棒的实际长度，即1.2m；
2. 当木棒倾斜于投影面时，它的正投影长度小于木棒的实际长度，即小于1.2m；
3. 当木棒垂直于投影面时，它的正投影为一个点，长度为0，远小于1.2m。
综上，木棒正投影的长一定小于或等于1.2m。
【答案】
D
【知识点】
正投影的性质
【点评】
本题属于易错题，很多同学容易忽略木棒与投影面平行的情况，误选B选项，解题时要全面考虑线段与投影面的所有位置关系，再归纳总结投影长度的取值范围。
【难度系数】
0.7
3. 当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面P的距离，其正投影的大小
不变
.(填“变大”“变小”或“不变”)答案
3.不变
解析
【分析】
解题时首先要明确正投影的定义和性质：正投影属于平行投影，且投影线与投影面垂直。我们需要区分正投影和中心投影的差异：中心投影的大小会受物体到投影面距离的影响，而正投影的大小仅由几何体本身的尺寸、几何体相对投影面的摆放位置决定。本题中已经明确几何体的摆放位置确定，因此只需判断距离变化是否会影响正投影大小即可。
【解析】
正投影是投影线垂直于投影面的平行投影，当几何体在投影面P前的摆放位置确定后，其正投影的形状、大小仅和几何体自身的形状大小、相对投影面的摆放角度有关，与几何体到投影面P的距离无关，因此改变它与投影面P的距离，正投影的大小不变。
【答案】
不变
【知识点】
正投影的性质；平行投影的特征
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握正投影的性质，注意不要将正投影和平行投影的性质与中心投影的性质混淆，避免误认为投影大小都会随物体到投影面的距离变化而改变。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确正投影的定义和性质：正投影属于平行投影，且投影线与投影面垂直。我们需要区分正投影和中心投影的差异：中心投影的大小会受物体到投影面距离的影响，而正投影的大小仅由几何体本身的尺寸、几何体相对投影面的摆放位置决定。本题中已经明确几何体的摆放位置确定，因此只需判断距离变化是否会影响正投影大小即可。
【解析】
正投影是投影线垂直于投影面的平行投影，当几何体在投影面P前的摆放位置确定后，其正投影的形状、大小仅和几何体自身的形状大小、相对投影面的摆放角度有关，与几何体到投影面P的距离无关，因此改变它与投影面P的距离，正投影的大小不变。
【答案】
不变
【知识点】
正投影的性质；平行投影的特征
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握正投影的性质，注意不要将正投影和平行投影的性质与中心投影的性质混淆，避免误认为投影大小都会随物体到投影面的距离变化而改变。
【难度系数】
0.8
4. 一个物体的正投影是圆，则这个物体不可能是
（
A.圆锥
B.正方体
C.圆柱
D.球
（
B
）A.圆锥
B.正方体
C.圆柱
D.球
答案
4.B
解析
【分析】
解题的核心是掌握正投影的定义，以及常见几何体在不同放置方式下的正投影形状。解题时我们可以逐一分析每个选项的几何体，判断其是否存在某种放置方式使得正投影为圆，无法满足的即为正确答案。
【解析】
正投影是指投影线垂直于投影面时产生的平行投影，对各选项分析如下：
A. 圆锥：当圆锥的底面平行于投影面放置时，其正投影为圆，不符合题意；
B. 正方体：正方体的所有面都是平面多边形，无论以何种角度放置，正投影只能是正方形、长方形或其他多边形，不可能出现曲线轮廓，因此正投影不可能是圆，符合题意；
C. 圆柱：当圆柱的底面平行于投影面放置时，其正投影为圆，不符合题意；
D. 球：无论从任何方向投影，球的正投影始终是圆，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正投影的定义；常见几何体的正投影
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对不同几何体正投影形状的掌握，解题时通过逐一排除法即可快速得出答案，注意分析几何体时要考虑不同的放置角度。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握正投影的定义，以及常见几何体在不同放置方式下的正投影形状。解题时我们可以逐一分析每个选项的几何体，判断其是否存在某种放置方式使得正投影为圆，无法满足的即为正确答案。
【解析】
正投影是指投影线垂直于投影面时产生的平行投影，对各选项分析如下：
A. 圆锥：当圆锥的底面平行于投影面放置时，其正投影为圆，不符合题意；
B. 正方体：正方体的所有面都是平面多边形，无论以何种角度放置，正投影只能是正方形、长方形或其他多边形，不可能出现曲线轮廓，因此正投影不可能是圆，符合题意；
C. 圆柱：当圆柱的底面平行于投影面放置时，其正投影为圆，不符合题意；
D. 球：无论从任何方向投影，球的正投影始终是圆，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正投影的定义；常见几何体的正投影
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对不同几何体正投影形状的掌握，解题时通过逐一排除法即可快速得出答案，注意分析几何体时要考虑不同的放置角度。
【难度系数】
0.8
5. 如图是用4个大小相同的小正方体拼成的几何体，它的正投影不可能是（
A
B
C D
D
）A
B
C D
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先要明确正投影的定义：投射线与投影面垂直的平行投影叫做正投影，投影面可选取不同的朝向。我们只需逐一分析每个选项对应的投影方向是否存在：先观察几何体的结构（下层3个小正方体横向排列，上层仅最左侧叠放1个小正方体），再分别判断各选项能否通过调整投影面朝向得到，排除所有可能的选项，剩下的就是不可能的。
【解析】
结合几何体结构逐一判断：
1. 若投影面朝向几何体正面，得到的正投影共3列，左列2个正方形，中间、右列各1个正方形，与选项A一致，故A不符合题意；
2. 若投影面朝向几何体左侧，得到的正投影是上下叠放的2个正方形，与选项B一致，故B不符合题意；
3. 若投影面朝向几何体上方，得到的正投影是横向排列的3个正方形，与选项C一致，故C不符合题意；
4. 该几何体上层仅最左侧有小正方体，无论调整投影面到哪个垂直朝向，都无法得到选项D中右上角存在正方形的投影，故D是不可能的正投影。
【答案】
D
【知识点】
正投影的概念；几何体正投影判断
【点评】
本题考查正投影的相关知识，解题的关键是结合几何体中小正方体的分布，从不同朝向分析可能得到的正投影，需注意避免对投影方向的遗漏。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确正投影的定义：投射线与投影面垂直的平行投影叫做正投影，投影面可选取不同的朝向。我们只需逐一分析每个选项对应的投影方向是否存在：先观察几何体的结构（下层3个小正方体横向排列，上层仅最左侧叠放1个小正方体），再分别判断各选项能否通过调整投影面朝向得到，排除所有可能的选项，剩下的就是不可能的。
【解析】
结合几何体结构逐一判断：
1. 若投影面朝向几何体正面，得到的正投影共3列，左列2个正方形，中间、右列各1个正方形，与选项A一致，故A不符合题意；
2. 若投影面朝向几何体左侧，得到的正投影是上下叠放的2个正方形，与选项B一致，故B不符合题意；
3. 若投影面朝向几何体上方，得到的正投影是横向排列的3个正方形，与选项C一致，故C不符合题意；
4. 该几何体上层仅最左侧有小正方体，无论调整投影面到哪个垂直朝向，都无法得到选项D中右上角存在正方形的投影，故D是不可能的正投影。
【答案】
D
【知识点】
正投影的概念；几何体正投影判断
【点评】
本题考查正投影的相关知识，解题的关键是结合几何体中小正方体的分布，从不同朝向分析可能得到的正投影，需注意避免对投影方向的遗漏。
【难度系数】
0.7
6. 按要求分别画出如图所示物体的正投影.
(1)投影线由物体前方射到后方；
(2)投影线由物体上方射到下方.
(1)投影线由物体前方射到后方；
(2)投影线由物体上方射到下方.
答案
解：
(1) 当投影线由物体前方射到后方时，作出物体所有顶点在后方投影面上的正投影，依次连接各投影点，得到的正投影为矩形：该矩形的竖直边长等于正三棱柱的侧棱长，水平边长等于正三棱柱底面正三角形的边长，矩形内部有一条竖直实线，对应三棱柱朝向正前方的侧棱的投影。
(2) 当投影线由物体上方射到下方时，作出物体所有顶点在下方投影面上的正投影，依次连接各投影点，得到的正投影为与正三棱柱底面全等的正三角形，三条边均为实线。
(1) 当投影线由物体前方射到后方时，作出物体所有顶点在后方投影面上的正投影，依次连接各投影点，得到的正投影为矩形：该矩形的竖直边长等于正三棱柱的侧棱长，水平边长等于正三棱柱底面正三角形的边长，矩形内部有一条竖直实线，对应三棱柱朝向正前方的侧棱的投影。
(2) 当投影线由物体上方射到下方时，作出物体所有顶点在下方投影面上的正投影，依次连接各投影点，得到的正投影为与正三棱柱底面全等的正三角形，三条边均为实线。
解析
【分析】
首先识别该几何体为正三棱柱，解题需结合正投影的核心规则思考：第一步确定对应投影方向的投影面；第二步分析几何体的面、棱与投影面的位置关系：平行于投影面的面投影为全等形，垂直于投影面的面投影为线段；第三步绘制投影时，可见的棱画实线，不可见的棱画虚线。第一问投影线从前往后投射，投影面为后方竖直面，棱柱侧面平行于投影面，外轮廓为矩形，中间朝向正前方的侧棱可见，投影为矩形中间的竖直实线；第二问投影线从上往下投射，投影面为水平面，棱柱底面平行于投影面，投影为与底面全等的正三角形。
【解析】
(1) 投影线由物体前方射到后方时，投影面为后方竖直平面：
① 正三棱柱的上下底面均垂直于该投影面，投影为两条等长的水平线段，长度等于底面正三角形的边长；
② 棱柱左右侧棱的投影为矩形的两条竖直边，长度等于棱柱的侧棱长，因此投影外轮廓为矩形；
③ 朝向正前方的中间侧棱在该投影方向上可见，其投影为矩形内部的竖直实线，依次连接各投影点即得该方向正投影。
(2) 投影线由物体上方射到下方时，投影面为下方水平面：
① 正三棱柱的上下底面平行于该投影面，正投影与底面全等；
② 棱柱的侧棱均垂直于该投影面，投影对应正三角形的三个顶点；
③ 所有棱在该投影方向均可见，连接各投影点得到三边均为实线的正三角形，即该方向正投影。
【答案】
(1) 正投影为矩形，矩形竖直边长等于正三棱柱的侧棱长，水平边长等于正三棱柱底面正三角形的边长，矩形内部有一条竖直实线（对应朝向正前方的侧棱的投影）。
(2) 正投影为与正三棱柱底面全等的正三角形，三条边均为实线。
【知识点】
正投影的性质，棱柱投影作图
【点评】
本题是正投影的基础应用题，需要学生结合几何体结构和投影方向判断各部分的投影形态，掌握可见棱的线型要求，能有效巩固正投影的核心规则。
【难度系数】
0.7
首先识别该几何体为正三棱柱，解题需结合正投影的核心规则思考：第一步确定对应投影方向的投影面；第二步分析几何体的面、棱与投影面的位置关系：平行于投影面的面投影为全等形，垂直于投影面的面投影为线段；第三步绘制投影时，可见的棱画实线，不可见的棱画虚线。第一问投影线从前往后投射，投影面为后方竖直面，棱柱侧面平行于投影面，外轮廓为矩形，中间朝向正前方的侧棱可见，投影为矩形中间的竖直实线；第二问投影线从上往下投射，投影面为水平面，棱柱底面平行于投影面，投影为与底面全等的正三角形。
【解析】
(1) 投影线由物体前方射到后方时，投影面为后方竖直平面：
① 正三棱柱的上下底面均垂直于该投影面，投影为两条等长的水平线段，长度等于底面正三角形的边长；
② 棱柱左右侧棱的投影为矩形的两条竖直边，长度等于棱柱的侧棱长，因此投影外轮廓为矩形；
③ 朝向正前方的中间侧棱在该投影方向上可见，其投影为矩形内部的竖直实线，依次连接各投影点即得该方向正投影。
(2) 投影线由物体上方射到下方时，投影面为下方水平面：
① 正三棱柱的上下底面平行于该投影面，正投影与底面全等；
② 棱柱的侧棱均垂直于该投影面，投影对应正三角形的三个顶点；
③ 所有棱在该投影方向均可见，连接各投影点得到三边均为实线的正三角形，即该方向正投影。
【答案】
(1) 正投影为矩形，矩形竖直边长等于正三棱柱的侧棱长，水平边长等于正三棱柱底面正三角形的边长，矩形内部有一条竖直实线（对应朝向正前方的侧棱的投影）。
(2) 正投影为与正三棱柱底面全等的正三角形，三条边均为实线。
【知识点】
正投影的性质，棱柱投影作图
【点评】
本题是正投影的基础应用题，需要学生结合几何体结构和投影方向判断各部分的投影形态，掌握可见棱的线型要求，能有效巩固正投影的核心规则。
【难度系数】
0.7
7.如图是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是
$\frac{15}{4}π$
. 答案
7.$\frac{15}{4}π$
解析
【分析】
首先明确圆锥的正投影为等腰三角形，结合图形可知：等腰三角形的底边长等于圆锥的底面直径，等腰三角形的高等于圆锥的高。要求圆锥侧面积，需先得到圆锥底面半径和母线长：第一步由底边长度算出底面半径，第二步结合圆锥的高，用勾股定理算出母线长，最后代入圆锥侧面积公式计算即可。
【解析】
解：由正投影的性质可得：
圆锥底面直径为$ BC=3 $，因此底面半径$ r=\frac{3}{2} $，
圆锥的高$ h=2 $，
根据勾股定理，圆锥的母线长$ l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2} $，
将$ r=\frac{3}{2} $、$ l=\frac{5}{2} $代入圆锥侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}}=π rl $得：
$ S_{\mathrm{侧}}=π × \frac{3}{2} × \frac{5}{2}=\frac{15}{4}π $。
【答案】
$\frac{15}{4}π$
【知识点】
正投影的特征；圆锥侧面积计算；勾股定理
【点评】
本题将正投影知识与圆锥侧面积计算结合考查，解题核心是从正投影图形中正确提取圆锥的底面直径和高的数值，再结合勾股定理求出母线长后代入公式求解，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
首先明确圆锥的正投影为等腰三角形，结合图形可知：等腰三角形的底边长等于圆锥的底面直径，等腰三角形的高等于圆锥的高。要求圆锥侧面积，需先得到圆锥底面半径和母线长：第一步由底边长度算出底面半径，第二步结合圆锥的高，用勾股定理算出母线长，最后代入圆锥侧面积公式计算即可。
【解析】
解：由正投影的性质可得：
圆锥底面直径为$ BC=3 $，因此底面半径$ r=\frac{3}{2} $，
圆锥的高$ h=2 $，
根据勾股定理，圆锥的母线长$ l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2} $，
将$ r=\frac{3}{2} $、$ l=\frac{5}{2} $代入圆锥侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}}=π rl $得：
$ S_{\mathrm{侧}}=π × \frac{3}{2} × \frac{5}{2}=\frac{15}{4}π $。
【答案】
$\frac{15}{4}π$
【知识点】
正投影的特征；圆锥侧面积计算；勾股定理
【点评】
本题将正投影知识与圆锥侧面积计算结合考查，解题核心是从正投影图形中正确提取圆锥的底面直径和高的数值，再结合勾股定理求出母线长后代入公式求解，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
8. 如图,正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为四边形$A_1B_1C_1D_1$,其中边AB,CD与投影面平行,AD,BC与投影面不平行.若正方形纸板ABCD的边长为5 cm,$∠ BCC_1=45°$,求其投影四边形$A_1B_1C_1D_1$的面积.
答案
8.$\frac{25\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时首先回忆正投影的相关性质：平行于投影面的线段的正投影长度与原线段相等，倾斜于投影面的线段的正投影长度为原线段长度乘以线段与投影面夹角的余弦值。首先确定投影四边形的形状：原正方形中AB⊥BC，AB平行于投影面，故投影后A₁B₁仍与B₁C₁垂直，投影为矩形。接下来分别求出矩形两条邻边的长度，最后用矩形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边AB、CD与投影面α平行，根据正投影的性质，平行于投影面的线段正投影与原线段等长，
∴$A_1B_1 = AB = 5\ \mathrm{cm}$。
∵$∠BCC_1=45°$，BC边长为$5\ \mathrm{cm}$，BC在投影面α上的正投影为$B_1C_1$，
∴$B_1C_1 = BC · \cos45° = 5 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$。
又
∵原正方形中AB⊥BC，AB平行于投影面，故投影后$A_1B_1 ⊥ B_1C_1$，即四边形$A_1B_1C_1D_1$为矩形，
∴四边形$A_1B_1C_1D_1$的面积$S = A_1B_1 · B_1C_1 = 5 × \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{25\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{25\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正投影的性质；矩形面积计算；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是正投影的实际应用类题目，解题核心是准确把握不同位置线段的正投影与原线段的长度关系，判断投影图形的形状后结合对应面积公式求解，注重对基础性质的理解和应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正投影的相关性质：平行于投影面的线段的正投影长度与原线段相等，倾斜于投影面的线段的正投影长度为原线段长度乘以线段与投影面夹角的余弦值。首先确定投影四边形的形状：原正方形中AB⊥BC，AB平行于投影面，故投影后A₁B₁仍与B₁C₁垂直，投影为矩形。接下来分别求出矩形两条邻边的长度，最后用矩形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边AB、CD与投影面α平行，根据正投影的性质，平行于投影面的线段正投影与原线段等长，
∴$A_1B_1 = AB = 5\ \mathrm{cm}$。
∵$∠BCC_1=45°$，BC边长为$5\ \mathrm{cm}$，BC在投影面α上的正投影为$B_1C_1$，
∴$B_1C_1 = BC · \cos45° = 5 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$。
又
∵原正方形中AB⊥BC，AB平行于投影面，故投影后$A_1B_1 ⊥ B_1C_1$，即四边形$A_1B_1C_1D_1$为矩形，
∴四边形$A_1B_1C_1D_1$的面积$S = A_1B_1 · B_1C_1 = 5 × \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{25\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{25\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正投影的性质；矩形面积计算；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是正投影的实际应用类题目，解题核心是准确把握不同位置线段的正投影与原线段的长度关系，判断投影图形的形状后结合对应面积公式求解，注重对基础性质的理解和应用。
【难度系数】
0.7
9. [新课标—探究题] 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, 在阳光的垂直照射下, 点 C 的投影为斜边 AB 上的点 D.
(1)试探究线段 AC, AB 和 AD 之间的数量关系,并说明理由;
(2)线段 BC, AB 和 BD 之间也有类似(1)中的关系吗?请直接写出结论.
(1)试探究线段 AC, AB 和 AD 之间的数量关系,并说明理由;
(2)线段 BC, AB 和 BD 之间也有类似(1)中的关系吗?请直接写出结论.
答案
9. (1)$AC^2=AD· AB$.
理由:$\because CD⊥ AB,\therefore ∠ ADC=∠ ACB=90°$,且$∠ A=∠ A$,
$\therefore △ ADC∽ △ ACB,\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$,即$AC^2=AD· AB$.
(2)有,$BC^2=AB· BD$.
理由:$\because CD⊥ AB,\therefore ∠ ADC=∠ ACB=90°$,且$∠ A=∠ A$,
$\therefore △ ADC∽ △ ACB,\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$,即$AC^2=AD· AB$.
(2)有,$BC^2=AB· BD$.
解析
【分析】
解答本题首先利用正投影的性质得到垂直关系，再通过相似三角形推导线段关系：
(1) 要找AC、AB、AD的数量关系，先根据正投影特征得$CD⊥AB$，此时观察到$△ ADC$和$△ ACB$有公共角$∠A$，且都有直角，满足相似三角形的判定条件，证明相似后将对应边成比例的式子变形，即可得到三条线段的数量关系。
(2) 类比第(1)问的思路，证明$△ BCD$与$△ BAC$相似，即可得到BC、AB、BD的对应数量关系。
【解析】
(1) 线段关系为$\boldsymbol{AC^2=AD· AB}$，理由：
∵ 阳光垂直照射，点C在AB上的投影为D，
∴ $CD⊥AB$，即$∠ADC=90°$，
∴ $∠ADC=∠ACB=90°$，
又
∵ $∠A=∠A$，
∴ $△ ADC ∽ △ ACB$，
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=AD· AB$。
(2) 有类似的关系，结论为：$\boldsymbol{BC^2=AB· BD}$。
【答案】
(1)$AC^2=AD· AB$，理由见解析；(2)$BC^2=AB· BD$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正投影的性质
【点评】
本题将投影知识和相似三角形结合考查，难度不大，解题核心是通过正投影得到垂直关系，进而证明三角形相似，推导得到的结论在直角三角形的线段求值问题中可直接使用，能简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解答本题首先利用正投影的性质得到垂直关系，再通过相似三角形推导线段关系：
(1) 要找AC、AB、AD的数量关系，先根据正投影特征得$CD⊥AB$，此时观察到$△ ADC$和$△ ACB$有公共角$∠A$，且都有直角，满足相似三角形的判定条件，证明相似后将对应边成比例的式子变形，即可得到三条线段的数量关系。
(2) 类比第(1)问的思路，证明$△ BCD$与$△ BAC$相似，即可得到BC、AB、BD的对应数量关系。
【解析】
(1) 线段关系为$\boldsymbol{AC^2=AD· AB}$，理由：
∵ 阳光垂直照射，点C在AB上的投影为D，
∴ $CD⊥AB$，即$∠ADC=90°$，
∴ $∠ADC=∠ACB=90°$，
又
∵ $∠A=∠A$，
∴ $△ ADC ∽ △ ACB$，
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=AD· AB$。
(2) 有类似的关系，结论为：$\boldsymbol{BC^2=AB· BD}$。
【答案】
(1)$AC^2=AD· AB$，理由见解析；(2)$BC^2=AB· BD$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正投影的性质
【点评】
本题将投影知识和相似三角形结合考查，难度不大，解题核心是通过正投影得到垂直关系，进而证明三角形相似，推导得到的结论在直角三角形的线段求值问题中可直接使用，能简化计算过程。
【难度系数】
0.7
