8. 如果一点在由两条有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，那么这点叫作这条折线的“折中点”. 已知点 D 是折线 A - C - B 的“折中点”，请解答以下问题：
(1) 若 $ AC=m $，$ BC=n $.
当 $ m＞n $ 时，点 D 在线段 上；
当 $ m=n $ 时，点 D 与 重合；
当 $ m＜n $ 时，点 D 在线段 上；
(2) 若点 E 为线段 AC 的中点，$ EC=4 $，$ CD=3 $，求 BC 的长度.

8. (1) AC 点C BC (2) 2或14

【分析】
首先明确“折中点”的核心定义：将折线A-C-B分成长度相等的两部分，折线总长度为AC+BC，每部分长度为总长度的一半。(1)问通过比较半长和AC的长度大小判断D的位置：若半长小于AC，D在AC上；半长等于AC，D与C重合；半长大于AC，D在BC上。(2)问先由线段中点性质求出AC的长度，再分D在AC上、D在BC上两种情况，根据折中点定义列等式计算BC的长度，注意不要漏解。
【解析】
(1) 折线A-C-B的总长度为$AC+BC=m+n$，折中点D分折线所得每段长度为$\frac{m+n}{2}$。
①当$m＞n$时，$\frac{m+n}{2}＜\frac{m+m}{2}=m$，即半长小于AC的长度，从A出发走半长还未到达点C，故点D在线段AC上；
②当$m=n$时，$\frac{m+n}{2}=m$，即半长等于AC的长度，从A出发走半长刚好到达点C，故点D与点C重合；
③当$m＜n$时，$\frac{m+n}{2}＞\frac{m+m}{2}=m$，即半长大于AC的长度，从A出发走完AC还需走一段BC才到半长，故点D在线段BC上。
(2)
∵E为线段AC的中点，$EC=4$，
∴$AC=2EC=2×4=8$。
分两种情况讨论：
情况1：点D在线段AC上，
此时折线A-D的长度为$AD=AC-CD=8-3=5$，
根据折中点定义，$AD=\frac{AC+BC}{2}$，
代入得$5=\frac{8+BC}{2}$，解得$BC=2$；
情况2：点D在线段BC上，
此时折线A-D的长度为$AC+CD=8+3=11$，
根据折中点定义，$AC+CD=\frac{AC+BC}{2}$，
代入得$11=\frac{8+BC}{2}$，解得$BC=14$。
综上，BC的长度为2或14。
【答案】
(1) AC；点C；BC (2) 2或14
【知识点】
新定义理解；线段中点性质；分类讨论
【点评】
本题解题关键是准确理解“折中点”的定义，判断折中点位置时要结合线段长度的大小关系分析，第二问需考虑折中点的两种可能位置，避免漏解，重点考察线段和差的计算能力。
【难度系数】
0.6

9. 已知线段$AB=6\ \mathrm{cm}$，线段$BC$在直线$AB$上，且$BC=4\ \mathrm{cm}$，$M$，$N$分别是$AB$，$BC$的中点.
（1）求$M$，$N$之间的距离；
（2）若$AB=a\ \mathrm{cm}$，$BC=b\ \mathrm{cm}(a ＞ b)$，其他条件不变，此时$M$，$N$之间的距离是多少？

(1) 5 cm或1 cm (2) $\frac{a+b}{2}$ cm或$\frac{a-b}{2}$ cm

【分析】
本题中BC在直线AB上，说明点C的位置有两种情况：①点C在线段AB的延长线上；②点C在线段AB上，解题时需分情况讨论。首先根据线段中点的定义，分别求出两个中点到点B的距离，再结合两种位置关系，通过线段的和差计算MN的长度，第二问将具体数值替换为字母，沿用相同的思路推导即可。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
情况1：当点C在线段AB的延长线上时，
∵M是AB的中点，AB=6cm，
∴$MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$，
∵N是BC的中点，BC=4cm，
∴$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$，
∴$MN=MB+BN=3+2=5\ \mathrm{cm}$；
情况2：当点C在线段AB上时，
同理可得$MB=3\ \mathrm{cm}$，$BN=2\ \mathrm{cm}$，
∴$MN=MB-BN=3-2=1\ \mathrm{cm}$。
综上，M、N之间的距离为5cm或1cm。
（2）同样分两种情况讨论：
∵M是AB的中点，$AB=a\ \mathrm{cm}$，
∴$MB=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\ \mathrm{cm}$，
∵N是BC的中点，$BC=b\ \mathrm{cm}$，
∴$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}$，
当点C在线段AB的延长线上时，$MN=MB+BN=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=\frac{a+b}{2}\ \mathrm{cm}$；
当点C在线段AB上时，$MN=MB-BN=\frac{a}{2}-\frac{b}{2}=\frac{a-b}{2}\ \mathrm{cm}$。
综上，M、N之间的距离为$\frac{a+b}{2}\ \mathrm{cm}$或$\frac{a-b}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 5 cm或1 cm；(2) $\frac{a+b}{2}$ cm或$\frac{a-b}{2}$ cm
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略“BC在直线AB上”包含两种位置情况，导致漏解。解题时要注意区分“直线上”和“线段上”的不同表述，遇到位置不确定的几何问题时，要全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6