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6. 如图是一圆锥的主视图,则此圆锥的侧面展开图的圆心角的大小是（
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$180°$
B
）A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$180°$
答案
6. B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：第一步，先明确圆锥主视图各边对应的圆锥参数：主视图是等腰三角形，腰长对应圆锥的母线长，底边长对应圆锥底面的直径；第二步，回忆圆锥侧面展开图的核心性质：侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；第三步，利用弧长公式列方程求解圆心角即可。
【解析】
解：由圆锥的主视图可得：
圆锥的母线长$ l = 12\mathrm{cm} $，底面圆的直径为$ 6\mathrm{cm} $，因此底面圆半径$ r = 6÷2 = 3\mathrm{cm} $。
设圆锥侧面展开图的圆心角为$ n° $，根据“侧面展开图扇形的弧长 = 底面圆的周长”，结合弧长公式列方程：
$\frac{nπ l}{180} = 2π r$
将$ l=12\mathrm{cm} $、$ r=3\mathrm{cm} $代入方程：
$\frac{nπ × 12}{180} = 2π × 3$
两边同时约去$ π $，化简得：
$\frac{12n}{180} = 6$
解得$ n=90 $，即圆心角为$ 90° $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥三视图、圆锥侧面展开图、弧长计算
【点评】
本题是几何基础题，解题的关键是建立圆锥的实物参数和侧面展开图扇形参数的对应关系，牢记“展开图弧长等于底面周长、扇形半径等于母线长”这两个核心对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：第一步，先明确圆锥主视图各边对应的圆锥参数：主视图是等腰三角形，腰长对应圆锥的母线长，底边长对应圆锥底面的直径；第二步，回忆圆锥侧面展开图的核心性质：侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；第三步，利用弧长公式列方程求解圆心角即可。
【解析】
解：由圆锥的主视图可得：
圆锥的母线长$ l = 12\mathrm{cm} $，底面圆的直径为$ 6\mathrm{cm} $，因此底面圆半径$ r = 6÷2 = 3\mathrm{cm} $。
设圆锥侧面展开图的圆心角为$ n° $，根据“侧面展开图扇形的弧长 = 底面圆的周长”，结合弧长公式列方程：
$\frac{nπ l}{180} = 2π r$
将$ l=12\mathrm{cm} $、$ r=3\mathrm{cm} $代入方程：
$\frac{nπ × 12}{180} = 2π × 3$
两边同时约去$ π $，化简得：
$\frac{12n}{180} = 6$
解得$ n=90 $，即圆心角为$ 90° $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥三视图、圆锥侧面展开图、弧长计算
【点评】
本题是几何基础题，解题的关键是建立圆锥的实物参数和侧面展开图扇形参数的对应关系，牢记“展开图弧长等于底面周长、扇形半径等于母线长”这两个核心对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7.右上图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，通过计算可得这个几何体的侧面积是
$65π$
。答案
7. $65π$
解析
【分析】
首先观察三视图：主视图和左视图都是全等的等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，可判断该几何体是圆锥。要计算圆锥侧面积，需回忆圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），再从三视图提取对应数据：主视图底边长对应圆锥底面直径为10，可算出底面半径$r$；主视图腰长对应圆锥母线长$l$，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：由三视图可知该几何体为圆锥，
圆锥底面直径为10，因此底面半径$r=10÷2=5$，
圆锥的母线长$l=13$，
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入数据得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×5×13=65π$
【答案】
$65π$
【知识点】
1. 三视图判断几何体 2. 圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先通过三视图确定几何体形状，再准确提取三视图中的对应数据，代入圆锥侧面积公式计算即可，对公式记忆和三视图认读能力有基础要求。
【难度系数】
0.7
首先观察三视图：主视图和左视图都是全等的等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，可判断该几何体是圆锥。要计算圆锥侧面积，需回忆圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），再从三视图提取对应数据：主视图底边长对应圆锥底面直径为10，可算出底面半径$r$；主视图腰长对应圆锥母线长$l$，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：由三视图可知该几何体为圆锥，
圆锥底面直径为10，因此底面半径$r=10÷2=5$，
圆锥的母线长$l=13$，
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入数据得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×5×13=65π$
【答案】
$65π$
【知识点】
1. 三视图判断几何体 2. 圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先通过三视图确定几何体形状，再准确提取三视图中的对应数据，代入圆锥侧面积公式计算即可，对公式记忆和三视图认读能力有基础要求。
【难度系数】
0.7
8. 已知圆锥侧面展开图的圆心角是$216°$，该圆锥和与它等底面积等高的圆柱的侧面积之比为
$5:8$
。答案
8. $5:8$
解析
【分析】
要计算圆锥与等底等高圆柱的侧面积之比，需先明确两类几何体侧面积的计算方法，再结合已知条件推导各量的关系：①先利用圆锥侧面展开图的圆心角公式，求出圆锥母线长与底面半径的比值；②再通过勾股定理求出圆锥的高，也就是圆柱的高；③最后分别代入侧面积公式计算比值即可。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$，高为$h$。
1. 求母线长与底面半径的关系：
圆锥侧面展开图的圆心角公式为$θ=\frac{r}{l}×360°$，代入$θ=216°$得：
$216°=\frac{r}{l}×360°$，解得$\frac{r}{l}=\frac{216}{360}=\frac{3}{5}$，即$l=\frac{5}{3}r$。
2. 求圆锥的高：
由圆锥底面半径、高、母线长满足勾股定理得：
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{(\frac{5}{3}r)^2 - r^2}=\sqrt{\frac{25r^2}{9}-\frac{9r^2}{9}}=\sqrt{\frac{16r^2}{9}}=\frac{4}{3}r$。
3. 分别计算侧面积：
圆锥侧面积：$S_{\mathrm{锥侧}}=π rl=π r×\frac{5}{3}r=\frac{5}{3}π r^2$
圆柱与圆锥等底等高，因此圆柱底面半径为$r$，高为$h=\frac{4}{3}r$，圆柱侧面积：
$S_{\mathrm{柱侧}}=2π r h=2π r×\frac{4}{3}r=\frac{8}{3}π r^2$
4. 求侧面积之比：
$S_{\mathrm{锥侧}}:S_{\mathrm{柱侧}}=\frac{5}{3}π r^2:\frac{8}{3}π r^2=5:8$
【答案】
$5:8$
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 勾股定理
3. 圆柱圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是理清圆锥各参数与侧面展开图参数的对应关系，结合等底等高的条件关联圆柱的参数，计算过程中注意消去公共参数即可得到比值。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥与等底等高圆柱的侧面积之比，需先明确两类几何体侧面积的计算方法，再结合已知条件推导各量的关系：①先利用圆锥侧面展开图的圆心角公式，求出圆锥母线长与底面半径的比值；②再通过勾股定理求出圆锥的高，也就是圆柱的高；③最后分别代入侧面积公式计算比值即可。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$，高为$h$。
1. 求母线长与底面半径的关系：
圆锥侧面展开图的圆心角公式为$θ=\frac{r}{l}×360°$，代入$θ=216°$得：
$216°=\frac{r}{l}×360°$，解得$\frac{r}{l}=\frac{216}{360}=\frac{3}{5}$，即$l=\frac{5}{3}r$。
2. 求圆锥的高：
由圆锥底面半径、高、母线长满足勾股定理得：
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{(\frac{5}{3}r)^2 - r^2}=\sqrt{\frac{25r^2}{9}-\frac{9r^2}{9}}=\sqrt{\frac{16r^2}{9}}=\frac{4}{3}r$。
3. 分别计算侧面积：
圆锥侧面积：$S_{\mathrm{锥侧}}=π rl=π r×\frac{5}{3}r=\frac{5}{3}π r^2$
圆柱与圆锥等底等高，因此圆柱底面半径为$r$，高为$h=\frac{4}{3}r$，圆柱侧面积：
$S_{\mathrm{柱侧}}=2π r h=2π r×\frac{4}{3}r=\frac{8}{3}π r^2$
4. 求侧面积之比：
$S_{\mathrm{锥侧}}:S_{\mathrm{柱侧}}=\frac{5}{3}π r^2:\frac{8}{3}π r^2=5:8$
【答案】
$5:8$
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 勾股定理
3. 圆柱圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是理清圆锥各参数与侧面展开图参数的对应关系，结合等底等高的条件关联圆柱的参数，计算过程中注意消去公共参数即可得到比值。
【难度系数】
0.7
9. 如图，已知圆锥的母线长为4，底面圆半径为1。若一小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，求小虫爬行的最短距离。
(第9题)
(第9题)答案
9. $2\sqrt{5}$
解析
【分析】
要求圆锥表面爬行的最短距离，需将立体问题转化为平面问题求解：①首先将圆锥侧面沿母线SA剪开，展开为扇形，根据“两点之间线段最短”，小虫爬行的最短路径就是展开后点A到点C的线段长度；②先利用“圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长”计算扇形的圆心角，确定展开图中各点的位置关系；③最后结合勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
解：设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算底面圆周长：底面圆半径$r=1$，则底面周长$C=2π r=2π×1=2π$。
2. 计算展开扇形的圆心角：圆锥母线长$l=4$，即扇形半径为4，由扇形弧长等于底面周长可得：
$\frac{nπ l}{180}=2π$，代入$l=4$得：
$\frac{4nπ}{180}=2π$，约去$π$后解得$n=90$，即展开扇形的圆心角为$90°$。
3. 确定展开图中点的位置：将圆锥侧面沿SA剪开后，扇形的两条半径为SA和SA'，$∠ ASA'=90°$。点C是SA的中点，故$SC=\frac{1}{2}SA=\frac{1}{2}×4=2$，点A与A'是原圆锥上的同一点，爬行一圈的起点对应展开图中的A'点。
4. 用勾股定理计算最短距离：在$Rt△ A'SC$中，$SA'=4$，$SC=2$，则
$A'C=\sqrt{SA'^2 + SC^2}=\sqrt{4^2 + 2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
即小虫爬行的最短距离为$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
圆锥侧面展开图；弧长计算；勾股定理
【点评】
解决立体图形表面最短路径问题的核心是将立体展开为平面，利用两点之间线段最短把路径转化为可计算的线段长度，解题时要准确计算展开图的圆心角，找准对应点的位置，避免因点的位置判断错误导致计算失误。
【难度系数】
0.6
要求圆锥表面爬行的最短距离，需将立体问题转化为平面问题求解：①首先将圆锥侧面沿母线SA剪开，展开为扇形，根据“两点之间线段最短”，小虫爬行的最短路径就是展开后点A到点C的线段长度；②先利用“圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长”计算扇形的圆心角，确定展开图中各点的位置关系；③最后结合勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
解：设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算底面圆周长：底面圆半径$r=1$，则底面周长$C=2π r=2π×1=2π$。
2. 计算展开扇形的圆心角：圆锥母线长$l=4$，即扇形半径为4，由扇形弧长等于底面周长可得：
$\frac{nπ l}{180}=2π$，代入$l=4$得：
$\frac{4nπ}{180}=2π$，约去$π$后解得$n=90$，即展开扇形的圆心角为$90°$。
3. 确定展开图中点的位置：将圆锥侧面沿SA剪开后，扇形的两条半径为SA和SA'，$∠ ASA'=90°$。点C是SA的中点，故$SC=\frac{1}{2}SA=\frac{1}{2}×4=2$，点A与A'是原圆锥上的同一点，爬行一圈的起点对应展开图中的A'点。
4. 用勾股定理计算最短距离：在$Rt△ A'SC$中，$SA'=4$，$SC=2$，则
$A'C=\sqrt{SA'^2 + SC^2}=\sqrt{4^2 + 2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
即小虫爬行的最短距离为$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
圆锥侧面展开图；弧长计算；勾股定理
【点评】
解决立体图形表面最短路径问题的核心是将立体展开为平面，利用两点之间线段最短把路径转化为可计算的线段长度，解题时要准确计算展开图的圆心角，找准对应点的位置，避免因点的位置判断错误导致计算失误。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在正方形网格中建立平面直角坐标系,一条以C为圆心的圆弧经过网格点$A(0,4),B(-6,2)$,圆心C的坐标为$(-2,0)$,连结AC,BC,请解决以下问题:
(1)求$\odot C$的半径以及$∠ ACB$的度数。
(2)若扇形ACB是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥的底面圆的半径。(结果保留根号)
(1)求$\odot C$的半径以及$∠ ACB$的度数。
(2)若扇形ACB是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥的底面圆的半径。(结果保留根号)
答案
10. (1)$\odot C$的半径为$2\sqrt{5}$，$∠ ACB=90°$ (2)圆锥的底面圆的半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
第(1)问：求⊙C的半径可利用勾股定理计算圆心C到圆上点A（或B）的距离；求∠ACB的度数，可先计算AC、BC、AB的长度，再用勾股定理逆定理判断△ACB的形状即可得到角度。第(2)问：圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，先根据扇形的圆心角和半径算出弧长，再结合圆的周长公式列方程求解底面半径即可。
【解析】
(1) 计算⊙C的半径：
已知$C(-2,0)$，$A(0,4)$，两点的水平距离为$|0-(-2)|=2$，竖直距离为$|4-0|=4$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，即⊙C的半径为$2\sqrt{5}$。
同理计算$BC$的长度：$B(-6,2)$，与C的水平距离为$|-6-(-2)|=4$，竖直距离为$|2-0|=2$，
$BC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$，故$AC=BC$。
计算$AB$的长度：$A(0,4)$，$B(-6,2)$，水平距离为$|0-(-6)|=6$，竖直距离为$|4-2|=2$，
$AB=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$。
因为$AC^2+BC^2=(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=20+20=40=AB^2$，由勾股定理逆定理可得$∠ ACB=90°$。
(2) 设圆锥底面圆的半径为$r$，
先求扇形$ACB$的弧长：扇形圆心角为$90°$，半径$R=2\sqrt{5}$，根据弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×2\sqrt{5}}{180}=\sqrt{5}π$。
因为圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，即$2π r=l_{\overset{\frown}{AB}}$，
代入得$2π r=\sqrt{5}π$，解得$r=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1)$\odot C$的半径为$2\sqrt{5}$，$∠ ACB=90°$；(2)圆锥的底面圆的半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
勾股定理及逆定理，扇形弧长计算，圆锥展开图性质
【点评】
本题属于基础综合题，将平面直角坐标系、圆的性质与圆锥展开图的知识点结合考查，解题的核心是抓住扇形弧长和圆锥底面周长的等量关系，掌握勾股定理逆定理判断直角的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
第(1)问：求⊙C的半径可利用勾股定理计算圆心C到圆上点A（或B）的距离；求∠ACB的度数，可先计算AC、BC、AB的长度，再用勾股定理逆定理判断△ACB的形状即可得到角度。第(2)问：圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，先根据扇形的圆心角和半径算出弧长，再结合圆的周长公式列方程求解底面半径即可。
【解析】
(1) 计算⊙C的半径：
已知$C(-2,0)$，$A(0,4)$，两点的水平距离为$|0-(-2)|=2$，竖直距离为$|4-0|=4$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，即⊙C的半径为$2\sqrt{5}$。
同理计算$BC$的长度：$B(-6,2)$，与C的水平距离为$|-6-(-2)|=4$，竖直距离为$|2-0|=2$，
$BC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$，故$AC=BC$。
计算$AB$的长度：$A(0,4)$，$B(-6,2)$，水平距离为$|0-(-6)|=6$，竖直距离为$|4-2|=2$，
$AB=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$。
因为$AC^2+BC^2=(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=20+20=40=AB^2$，由勾股定理逆定理可得$∠ ACB=90°$。
(2) 设圆锥底面圆的半径为$r$，
先求扇形$ACB$的弧长：扇形圆心角为$90°$，半径$R=2\sqrt{5}$，根据弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×2\sqrt{5}}{180}=\sqrt{5}π$。
因为圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，即$2π r=l_{\overset{\frown}{AB}}$，
代入得$2π r=\sqrt{5}π$，解得$r=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1)$\odot C$的半径为$2\sqrt{5}$，$∠ ACB=90°$；(2)圆锥的底面圆的半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
勾股定理及逆定理，扇形弧长计算，圆锥展开图性质
【点评】
本题属于基础综合题，将平面直角坐标系、圆的性质与圆锥展开图的知识点结合考查，解题的核心是抓住扇形弧长和圆锥底面周长的等量关系，掌握勾股定理逆定理判断直角的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
