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1. 能力训练点·探究建模 （1）如图①，AC，BD相交于点O，我们把这个图形称为“8字型”。
【模型获得】
（1）求证：$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$；
【模型应用】
（2）如图②，若$∠ A = 30°$，$∠ C = 42°$，$∠ D = 24°$，则$∠ BEF =$
（3）如图③，$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E =$
【模型迁移】
（4）如图④，AC，BD相交于点O，$∠ BAC$，$∠ BDC$的平分线交于点P，$∠ B = α$，$∠ C = β$，求$∠ P$的度数（用含$α$，$β$的式子表示）。
【模型获得】
（1）求证：$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$；
【模型应用】
（2）如图②，若$∠ A = 30°$，$∠ C = 42°$，$∠ D = 24°$，则$∠ BEF =$
48
$°$；若$∠ D = 28°$，则$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ F =$ 208
$°$。（3）如图③，$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E =$
180
$°$。【模型迁移】
（4）如图④，AC，BD相交于点O，$∠ BAC$，$∠ BDC$的平分线交于点P，$∠ B = α$，$∠ C = β$，求$∠ P$的度数（用含$α$，$β$的式子表示）。
答案
1.(1)证明：略. (2)48;208 (3)180 (4)解：$∠ P$的度数为$\frac{α+β}{2}$.
解析
【分析】
（1）要证明∠A+∠B=∠C+∠D，可分别在△AOB和△COD中利用三角形内角和定理表示两组角的和，再结合对顶角相等的性质即可推导得出“8字型”的角的关系结论；
（2）第一空直接运用“8字型”结论，结合已知角的度数，再利用三角形内角或外角性质计算即可；第二空通过两次使用“8字型”结论，将四个角的和转化为与已知∠D相关的定值求解；
（3）求五个角的和时，利用“8字型”模型将分散的∠D、∠E转化到同一个三角形的内角中，最终五个角的和恰好等于三角形内角和；
（4）设角平分线分得的两组等角分别为x、y，两次运用“8字型”结论得到两个含∠P、α、β、x、y的等式，两式相加消去x、y即可推导得到∠P的表达式。
【解析】
（1）证明：在△AOB中，由三角形内角和为180°得：
∠A + ∠B + ∠AOB = 180°，即∠A + ∠B = 180° - ∠AOB，
在△COD中，同理可得：∠C + ∠D + ∠COD = 180°，即∠C + ∠D = 180° - ∠COD，
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB = ∠COD，
∴∠A + ∠B = ∠C + ∠D。
（2）①根据“8字型”角的关系，结合已知角的度数计算可得∠BEF=48°；
②两次运用“8字型”结论进行角的转化，代入∠D=28°，可得∠A+∠B+∠C+∠F=208°。
（3）利用“8字型”模型将∠D、∠E转化到下方三角形的内角中，五个角的和等于三角形内角和，即180°。
（4）解：设∠BAP=∠CAP=x（AP平分∠BAC），∠BDP=∠CDP=y（DP平分∠BDC），
根据“8字型”结论可得：
在含∠B和∠P的8字型中：$α + x = ∠P + y$ ①，
在含∠C和∠P的8字型中：$β + y = ∠P + x$ ②，
将①+②得：$α + x + β + y = 2∠P + x + y$，
化简消去x、y得：$α + β = 2∠P$，
∴$∠P = \frac{α + β}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 48；208；(3) 180；(4) $∠P=\frac{α+β}{2}$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题以“8字型”角的关系为核心模型，考查了模型的推导、基础应用和拓展迁移，解题的关键是熟练掌握三角形角的相关性质，灵活运用转化思想将分散的角进行整合计算，能有效提升几何模型的应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证明∠A+∠B=∠C+∠D，可分别在△AOB和△COD中利用三角形内角和定理表示两组角的和，再结合对顶角相等的性质即可推导得出“8字型”的角的关系结论；
（2）第一空直接运用“8字型”结论，结合已知角的度数，再利用三角形内角或外角性质计算即可；第二空通过两次使用“8字型”结论，将四个角的和转化为与已知∠D相关的定值求解；
（3）求五个角的和时，利用“8字型”模型将分散的∠D、∠E转化到同一个三角形的内角中，最终五个角的和恰好等于三角形内角和；
（4）设角平分线分得的两组等角分别为x、y，两次运用“8字型”结论得到两个含∠P、α、β、x、y的等式，两式相加消去x、y即可推导得到∠P的表达式。
【解析】
（1）证明：在△AOB中，由三角形内角和为180°得：
∠A + ∠B + ∠AOB = 180°，即∠A + ∠B = 180° - ∠AOB，
在△COD中，同理可得：∠C + ∠D + ∠COD = 180°，即∠C + ∠D = 180° - ∠COD，
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB = ∠COD，
∴∠A + ∠B = ∠C + ∠D。
（2）①根据“8字型”角的关系，结合已知角的度数计算可得∠BEF=48°；
②两次运用“8字型”结论进行角的转化，代入∠D=28°，可得∠A+∠B+∠C+∠F=208°。
（3）利用“8字型”模型将∠D、∠E转化到下方三角形的内角中，五个角的和等于三角形内角和，即180°。
（4）解：设∠BAP=∠CAP=x（AP平分∠BAC），∠BDP=∠CDP=y（DP平分∠BDC），
根据“8字型”结论可得：
在含∠B和∠P的8字型中：$α + x = ∠P + y$ ①，
在含∠C和∠P的8字型中：$β + y = ∠P + x$ ②，
将①+②得：$α + x + β + y = 2∠P + x + y$，
化简消去x、y得：$α + β = 2∠P$，
∴$∠P = \frac{α + β}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 48；208；(3) 180；(4) $∠P=\frac{α+β}{2}$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题以“8字型”角的关系为核心模型，考查了模型的推导、基础应用和拓展迁移，解题的关键是熟练掌握三角形角的相关性质，灵活运用转化思想将分散的角进行整合计算，能有效提升几何模型的应用能力。
【难度系数】
0.6
2.如图，点O是$△ ABC$内一点，$∠ A＝80°$，$∠ 1＝15°$，$∠ 2＝40°$，则$∠ BOC$等于 （
A.$95°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$135°$
（第2题）
D
）A.$95°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$135°$
（第2题）答案
2.D
解析
【分析】
解题时可利用三角形内角和定理分步推导：首先在△ABC中，结合已知的∠A的度数，先求出∠ABC与∠ACB的度数和；再减去已知的∠1和∠2，得到△OBC中∠OBC与∠OCB的度数和；最后在△OBC中再次运用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 80° = 100°$
已知$∠ 1=15°$，$∠ 2=40°$，因此：
$∠ OBC + ∠ OCB = (∠ ABC + ∠ ACB) - ∠1 - ∠2 = 100° - 15° - 40° = 45°$
在△OBC中，再次运用三角形内角和定理：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 45° = 135°$
【答案】
D
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.角度和差计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础常考题，解题时不需要单独求出每个未知角的度数，通过整体计算两个角的和可以简化运算，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时可利用三角形内角和定理分步推导：首先在△ABC中，结合已知的∠A的度数，先求出∠ABC与∠ACB的度数和；再减去已知的∠1和∠2，得到△OBC中∠OBC与∠OCB的度数和；最后在△OBC中再次运用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 80° = 100°$
已知$∠ 1=15°$，$∠ 2=40°$，因此：
$∠ OBC + ∠ OCB = (∠ ABC + ∠ ACB) - ∠1 - ∠2 = 100° - 15° - 40° = 45°$
在△OBC中，再次运用三角形内角和定理：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 45° = 135°$
【答案】
D
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.角度和差计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础常考题，解题时不需要单独求出每个未知角的度数，通过整体计算两个角的和可以简化运算，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. [2026芜湖期末]如图，$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=$
180°
.答案
3.180°
解析
【分析】
本题是多个分散角的求和问题，解题思路是通过角度转化将所有角整合到同一个三角形中，利用三角形内角和为180°求解。首先观察图形找到BE与CD的交点，利用对顶角相等和三角形内角和，可将∠D+∠E转化为与其相等的两个角，使原来的5个角恰好组成△ABC的三个内角，进而求出总和。
【解析】
设BE与CD相交于点F。
在△DEF和△BCF中，∠DFE与∠BFC是对顶角，因此∠DFE=∠BFC。
根据三角形内角和定理：
在△DEF中，$∠ D + ∠ E + ∠ DFE = 180°$，
在△BCF中，$∠ FBC + ∠ FCB + ∠ BFC = 180°$，
因此可得$∠ D + ∠ E = ∠ FBC + ∠ FCB$。
在△ABC中，根据三角形内角和定理有：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
其中$∠ ABC = ∠ B + ∠ FBC$，$∠ ACB = ∠ C + ∠ FCB$，代入上式得：
$∠ A + ∠ B + ∠ FBC + ∠ C + ∠ FCB = 180°$，
将$∠ FBC + ∠ FCB$替换为$∠ D + ∠ E$，即可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E = 180°$。
【答案】
$180°$
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角相等；角的和差运算
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，核心是运用转化思想，借助对顶角、三角形内角和的性质把分散的未知角集中到同一个三角形中，简化计算。熟练掌握角度转化的常用方法，就能快速解决这类多角求和问题。
【难度系数】
0.7
本题是多个分散角的求和问题，解题思路是通过角度转化将所有角整合到同一个三角形中，利用三角形内角和为180°求解。首先观察图形找到BE与CD的交点，利用对顶角相等和三角形内角和，可将∠D+∠E转化为与其相等的两个角，使原来的5个角恰好组成△ABC的三个内角，进而求出总和。
【解析】
设BE与CD相交于点F。
在△DEF和△BCF中，∠DFE与∠BFC是对顶角，因此∠DFE=∠BFC。
根据三角形内角和定理：
在△DEF中，$∠ D + ∠ E + ∠ DFE = 180°$，
在△BCF中，$∠ FBC + ∠ FCB + ∠ BFC = 180°$，
因此可得$∠ D + ∠ E = ∠ FBC + ∠ FCB$。
在△ABC中，根据三角形内角和定理有：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
其中$∠ ABC = ∠ B + ∠ FBC$，$∠ ACB = ∠ C + ∠ FCB$，代入上式得：
$∠ A + ∠ B + ∠ FBC + ∠ C + ∠ FCB = 180°$，
将$∠ FBC + ∠ FCB$替换为$∠ D + ∠ E$，即可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E = 180°$。
【答案】
$180°$
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角相等；角的和差运算
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，核心是运用转化思想，借助对顶角、三角形内角和的性质把分散的未知角集中到同一个三角形中，简化计算。熟练掌握角度转化的常用方法，就能快速解决这类多角求和问题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，若$∠ EOC = 115°$，则$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F =$
230°
.答案
4.230°
解析
【分析】
要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和，可利用三角形外角的性质将分散的角集中到已知度数的∠EOC处。首先根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，推导得出∠A+∠C+∠E与∠EOC相等；再利用对顶角相等的性质，推导得出∠B+∠D+∠F与∠EOC的对顶角相等，最后将两部分相加即可得到六个角的和。
【解析】
解：根据三角形外角的性质：
1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此可得$∠ A + ∠ C + ∠ E = ∠ EOC = 115°$；
2. $∠ BOD$与$∠ EOC$是对顶角，故$∠ BOD = ∠ EOC = 115°$，同理可得$∠ B + ∠ D + ∠ F = ∠ BOD = 115°$；
3. 因此$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F = 115° + 115° = 230°$。
【答案】
$230°$
【知识点】
三角形外角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查转化思想在几何角度计算中的应用，解题核心是通过外角性质把多个分散的未知角转化到已知角相关的式子中，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和，可利用三角形外角的性质将分散的角集中到已知度数的∠EOC处。首先根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，推导得出∠A+∠C+∠E与∠EOC相等；再利用对顶角相等的性质，推导得出∠B+∠D+∠F与∠EOC的对顶角相等，最后将两部分相加即可得到六个角的和。
【解析】
解：根据三角形外角的性质：
1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此可得$∠ A + ∠ C + ∠ E = ∠ EOC = 115°$；
2. $∠ BOD$与$∠ EOC$是对顶角，故$∠ BOD = ∠ EOC = 115°$，同理可得$∠ B + ∠ D + ∠ F = ∠ BOD = 115°$；
3. 因此$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F = 115° + 115° = 230°$。
【答案】
$230°$
【知识点】
三角形外角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查转化思想在几何角度计算中的应用，解题核心是通过外角性质把多个分散的未知角转化到已知角相关的式子中，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
5. [2026广州期末]如图，在四边形ABDC中，若BE平分$∠ ABD$，CE平分$∠ ACD$，BE与CE交于点E，探究$∠ BDC$、$∠ BEC$和$∠ BAC$之间的数量关系。
答案
5.解：$∠ BDC+∠ BAC=2∠ BEC$.
解析
【分析】
要探究∠BDC、∠BEC和∠BAC的数量关系，我们可以通过作辅助线连接BC构造三个三角形，结合已知的角平分线条件，利用三角形内角和定理建立角度等式，再通过消元、转化推导三个角的关系：第一步，连接BC，分别在△ABC、△EBC、△DBC中用内角和定理写出内角和等式；第二步，利用角平分线定义将∠ABD、∠ACD拆分为两倍的小角；第三步，消去等式中公共的∠DBC、∠DCB，整理即可得到三个角的数量关系。
【解析】
解：连接BC，设∠EBD=m，∠ECD=n。
∵ BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴ ∠ABD=2∠EBD=2m，∠ACD=2∠ECD=2n。
根据三角形内角和定理：
在△ABC中：$∠ BAC + ∠ ABD + ∠ ACD + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$，
即$∠ BAC + 2m + 2n + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$ ①；
在△EBC中：$∠ BEC + ∠ EBD + ∠ ECD + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$，
即$∠ BEC + m + n + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$ ②；
在△DBC中：$∠ BDC + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$，
即$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ BDC$ ③。
把③代入②得：$m + n = ∠ BDC - ∠ BEC$ ④；
把③代入①得：$2(m + n) = ∠ BDC - ∠ BAC$ ⑤；
将④代入⑤得：$2(∠ BDC - ∠ BEC) = ∠ BDC - ∠ BAC$，
整理得：$∠ BDC + ∠ BAC = 2∠ BEC$。
【答案】
$∠ BDC+∠ BAC=2∠ BEC$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度探究的典型题型，核心是通过辅助线构造三角形，结合角平分线性质进行角度的转化推导，熟练掌握此类模型可以提升几何分析和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要探究∠BDC、∠BEC和∠BAC的数量关系，我们可以通过作辅助线连接BC构造三个三角形，结合已知的角平分线条件，利用三角形内角和定理建立角度等式，再通过消元、转化推导三个角的关系：第一步，连接BC，分别在△ABC、△EBC、△DBC中用内角和定理写出内角和等式；第二步，利用角平分线定义将∠ABD、∠ACD拆分为两倍的小角；第三步，消去等式中公共的∠DBC、∠DCB，整理即可得到三个角的数量关系。
【解析】
解：连接BC，设∠EBD=m，∠ECD=n。
∵ BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴ ∠ABD=2∠EBD=2m，∠ACD=2∠ECD=2n。
根据三角形内角和定理：
在△ABC中：$∠ BAC + ∠ ABD + ∠ ACD + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$，
即$∠ BAC + 2m + 2n + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$ ①；
在△EBC中：$∠ BEC + ∠ EBD + ∠ ECD + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$，
即$∠ BEC + m + n + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$ ②；
在△DBC中：$∠ BDC + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$，
即$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ BDC$ ③。
把③代入②得：$m + n = ∠ BDC - ∠ BEC$ ④；
把③代入①得：$2(m + n) = ∠ BDC - ∠ BAC$ ⑤；
将④代入⑤得：$2(∠ BDC - ∠ BEC) = ∠ BDC - ∠ BAC$，
整理得：$∠ BDC + ∠ BAC = 2∠ BEC$。
【答案】
$∠ BDC+∠ BAC=2∠ BEC$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度探究的典型题型，核心是通过辅助线构造三角形，结合角平分线性质进行角度的转化推导，熟练掌握此类模型可以提升几何分析和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
