9.如图,线段AB上有C,D两点,若AB=5,CD=2,则AC+DB=。

9. 7

【分析】
解题时先观察线段上点的排列顺序为A、D、C、B，已知AB的总长和CD的长度，要求AC+DB的和，不需要单独求解AD、CB的未知长度，可通过线段和差的拆分，将AC+DB转化为用AB和CD表示的形式，利用整体代换计算即可。具体来看，AC可拆为AD+CD，DB可拆为CD+CB，两者相加后，AD+CD+CB恰好是AB的长度，再加上多出来的一段CD的长度，就能得到结果。
【解析】
解：由图可知线段上点的顺序为A、D、C、B
∵ $AC = AD + CD$，$DB = CD + CB$
∴ $AC + DB = AD + CD + CD + CB = (AD + CD + CB) + CD$
又
∵ $AD + CD + CB = AB = 5$，$CD=2$
∴ $AC + DB = 5 + 2 = 7$
【答案】
7
【知识点】
1.线段的和差 2.整体代换
【点评】
本题是线段和差的典型基础题，解题核心是灵活拆分线段，运用整体思想将未知的线段和转化为已知线段的组合，不需要求出每一小段的长度即可快速得到结果，有助于训练学生的线段转化思维。
【难度系数】
0.8

10.如图，线段AC上依次有D，B，E三点，其中点B为线段AC的中点，AD=BE，若DE=4，则AC等于。

10. 8

【分析】
解题时先梳理已知条件：①点B是AC中点，可得AC=2AB，因此只需要求出AB的长度就能得到AC的长度；②观察线段DE的组成：DE=DB+BE，题目给出AD=BE，可通过等量代换把BE替换为AD，此时DE=DB+AD=AB，即可得出AB和DE长度相等，已知DE=4，就能求出AB，进而算出AC的长度。
【解析】
解：
∵点B为线段AC的中点，
∴AC = 2AB。
∵线段DE可拆分为DE = DB + BE，且已知AD = BE，
∴将BE替换为AD可得：DE = DB + AD = AB。
又
∵DE = 4，
∴AB = 4，
∴AC = 2AB = 2×4 = 8。
【答案】
8
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；等量代换
【点评】
本题属于线段计算的基础题，解题关键是通过等量代换将未知的AB长度转化为已知的DE长度，再结合线段中点的性质求解，熟练掌握线段的和差关系和中点性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

11.如图，点B，C把线段AD分成三部分，AB：BC：CD=2：4：3，M是AD的中点，CM=6，则AD=。
（第11题）

11. 36

【分析】
遇到给出线段比例求总长的问题，我们可以先根据比例设每份长度为未知数x，用含x的式子分别表示出各小段线段的长度，再结合线段中点的性质求出中点分线段后的长度，找到已知长度CM对应的含x的表达式，列方程求解出x后，就能计算AD的总长。
【解析】
解：设$ AB=2x $，$ BC=4x $，$ CD=3x $
则$ AD=AB+BC+CD=2x+4x+3x=9x $
∵M是AD的中点
∴$ AM=\frac{1}{2}AD=4.5x $
又
∵$ AC=AB+BC=2x+4x=6x $
∴$ CM=AC-AM=6x-4.5x=1.5x $
已知$ CM=6 $，代入得$ 1.5x=6 $，解得$ x=4 $
∴$ AD=9x=9×4=36 $
【答案】
36
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义；比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的典型题型，通过设参数将比例关系转化为数量关系，结合中点性质建立方程求解，是这类问题的常规解题思路，解题时需注意理清各线段的位置关系，避免列式时混淆线段的加减。
【难度系数】
0.8

12.如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9 cm，BD=2 cm。

(1)求AC的长。
(2)若点E在直线AD上，且EA=3 cm，求BE的长。

12. (1)
∵点B为CD的中点，
∴CB=BD=2 cm，
∴CD=BC+BD=4 cm，
∴AC=AD−CD=9−4=5(cm)，答:AC的长为5 cm
(2)AB=AC+BC=7 cm，EA=3 cm，当点E在线段AD上时，
BE=AB−AE=7−3=4(cm)，当点E在线段DA的延长线上时，
BE=AB+AE=7+3=10(cm)。答:BE的长为4 cm或10 cm

【分析】
(1) 要求AC的长，已知AD的总长度，只需先求出CD的长度即可。根据点B是CD的中点，结合BD的长度可先算出CD的长，再用AD的长度减去CD的长度，就能得到AC的长度。
(2) 题目说明点E在直线AD上，直线可向两端无限延伸，因此点E的位置有两种情况：一种是E在线段AD上，另一种是E在线段DA的延长线上，需要分两类结合线段的和差关系计算BE的长度，避免漏解。
【解析】
(1)
∵点B为CD的中点，
∴CB=BD=2 cm，
∴CD=CB+BD=2+2=4 cm，
又
∵AD=9 cm，
∴AC=AD−CD=9−4=5(cm)。
(2) 先计算AB的长度：AB=AC+CB=5+2=7 cm，已知EA=3 cm，分两种情况讨论：
①当点E在线段AD上时，
BE=AB−AE=7−3=4(cm)；
②当点E在线段DA的延长线上时，
BE=AB+AE=7+3=10(cm)。
【答案】
(1) AC的长为5 cm；
(2) BE的长为4 cm或10 cm
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题是线段和差计算的常见题型，第一问难度较低，直接利用线段中点的性质和和差关系即可求解；第二问需要注意“直线AD”的条件，不能默认点E在线段AD上，要考虑点E的所有可能位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

13.已知线段$AB=5\ \mathrm{cm}$,在直线$AB$上找一点$C$使$BC=2\ \mathrm{cm}$,点$D$为$AC$的中点,求$BD$的长。

13. 当点C在线段AB上时，
∵AB=5 cm，BC=2 cm，
∴AC=AB−BC=3 cm。
∵点D为AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=1.5 cm，
∴BD=BC+CD=3.5 cm。

当点C在线段AB的延长线上时，
∵AB=5 cm，BC=2 cm，
∴AC=AB+BC=7 cm。
∵点D为AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=3.5 cm，
∴BD=CD−BC=1.5 cm。综上所述，BD的长是3.5 cm或1.5 cm

【分析】
题目中明确点C在直线AB上，因此点C的位置存在两种可能：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上，解题需分两种情况讨论避免漏解。每种情况先通过线段和差关系求出AC的长度，再结合线段中点的性质得到CD的长度，最后再次利用线段和差关系计算BD的长度即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当点C在线段AB上时：
已知AB=5 cm，BC=2 cm，根据线段差的关系可得：
$AC=AB-BC=5-2=3\ \mathrm{cm}$
∵点D为AC的中点，根据线段中点定义可得：
$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{cm}$
此时BD为BC与CD的和，因此：
$BD=BC+CD=2+1.5=3.5\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB的延长线上时：
已知AB=5 cm，BC=2 cm，根据线段和的关系可得：
$AC=AB+BC=5+2=7\ \mathrm{cm}$
∵点D为AC的中点，根据线段中点定义可得：
$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×7=3.5\ \mathrm{cm}$
此时BD为CD与BC的差，因此：
$BD=CD-BC=3.5-2=1.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
当点C在线段AB上时，
∵AB=5 cm，BC=2 cm，
∴AC=AB−BC=3 cm。
∵点D为AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=1.5 cm，
∴BD=BC+CD=3.5 cm。

当点C在线段AB的延长线上时，
∵AB=5 cm，BC=2 cm，
∴AC=AB+BC=7 cm。
∵点D为AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=3.5 cm，
∴BD=CD−BC=1.5 cm。综上所述，BD的长是3.5 cm或1.5 cm
【知识点】
线段和差计算；线段中点定义；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“点在直线上”包含多种位置情况，仅考虑点C在线段AB上的情况导致漏解。解题时要注意区分“直线”和“线段”的差异，熟练运用线段中点性质和和差关系即可正确求解。
【难度系数】
0.6

14.如图,位于青年大街AB段上有四处居民小区A,B,C,D,其中AC=CD=BD。现要在AB段建一家超市,要求各居民区到超市的路程和最小,请你确定超市的位置。

15.如图,数轴上,点A表示的数是5,B是数轴上一个动点,点B从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动,点C在B的右侧,且BC=1,设点B的运动时间为t秒。

(1)当t=3时,线段AC的长为。
(2)当点C与点A重合时,求t的值。
(3)整个运动过程中,当OB=2AC时,求出所有满足条件的点C所表示的数。

14. 超市在线段CD之间（包括点C，点D）
15. (1)1 (2)4 (3)①当0＜t≤4时，
∵OB=t，AC=4−t，OB=2AC，即t=2×(4−t)，t=$\frac{8}{3}$，
∴点C表示的数为$\frac{11}{3}$。②当4＜t≤5时，
∵OB=t，AC=t−4，OB=2AC，即t=2×(t−4)，t=8，
∴不符合题意，舍去。
③当t＞5时，
∵OB=t，AC=t−4，OB=2AC，即t=2×(t−4)，t=8，
∴点C表示的数为9

【分析】
第14题思路
要使四个居民区到超市的路程和最小，设超市为线段AB上的点M，总路程为$MA+MB+MC+MD$。其中$MA+MB$是A到B的固定距离，和M的位置无关，因此只需让$MC+MD$最小即可。根据线段的性质，当M在线段CD上（含端点）时，$MC+MD=CD$为最小值，此时总路程和最小。
第15题思路
先根据运动规律写出各点表示的数：点B运动t秒后表示的数为t，点C在B右侧且$BC=1$，因此点C表示的数为$t+1$，点A固定表示数5。
(1) 将$t=3$代入点C的表达式，计算A、C两点的距离即可；
(2) 点C与A重合时两点表示的数相等，列方程求解t；
(3) OB的长度为t，AC的长度需要分C在A左侧、右侧两种情况讨论，分别列方程$OB=2AC$求解，验证解的取值范围排除增解，最终得到点C表示的数。
【解析】
第14题
设超市为线段AB上的点M，四个小区到超市的总路程$S=MA+MB+MC+MD$。
∵M在线段AB上，
∴$MA+MB=AB$（为固定值），要使S最小，只需$MC+MD$最小。
当M在线段CD上（含C、D两点）时，$MC+MD=CD$，为最小值；若M在CD外，$MC+MD＞CD$。
因此超市应建在线段CD之间（包括点C、点D）。
第15题
由题意得：运动t秒后，点B表示的数为t，点C表示的数为$t+1$，点A表示的数为5。
(1) 当$t=3$时，点C表示的数为$3+1=4$，
∴$AC=5-4=1$。
(2) 当点C与点A重合时，$t+1=5$，解得$t=4$。
(3) $OB=t$，分情况讨论AC的长度：
① 当$0＜t≤4$时，点C在点A左侧，$AC=5-(t+1)=4-t$，
由$OB=2AC$得：$t=2(4-t)$，解得$t=\frac{8}{3}$，
此时点C表示的数为$\frac{8}{3}+1=\frac{11}{3}$；
② 当$t＞4$时，点C在点A右侧，$AC=(t+1)-5=t-4$，
由$OB=2AC$得：$t=2(t-4)$，解得$t=8$，符合$t＞4$的范围，此时点C表示的数为$8+1=9$；
当$4＜t≤5$时，解得$t=8$不符合该区间，舍去。
【答案】
14. 超市在线段CD之间（包括点C，点D）
15. (1) $\boxed{1}$ (2) $\boxed{4}$ (3) $\boxed{\frac{11}{3}}$和$\boxed{9}$
【知识点】
线段和差最值，数轴动点问题，一元一次方程应用
【点评】
这两道题是线段和差的典型题型，第14题通过拆分固定项和可变项简化最值问题，是线段性质的基础应用；第15题是数轴动点常考题，解题关键是用含t的式子表示各点位置，根据点的相对位置分类讨论列方程，注意验证解的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.65