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8. 在同一平面直角坐标系中，画出一次函数$y=\frac{1}{2}x+1$，$y=\frac{1}{2}x-2$，$y=\frac{1}{2}x$的图象，并回答下列问题：
（1）这三个函数图象有什么位置关系？一次函数$y=2x+1$，$y=\frac{1}{2}x-3$中，哪一个函数的图象能和前面三个函数的图象保持这种位置关系？
（2）根据（1）中的结果，总结出函数图象位置关系的一般规律，并直接应用这一规律解答：已知直线$y=(k-1)x+6$与直线$y=-4x$平行，求$k$的值。
（1）这三个函数图象有什么位置关系？一次函数$y=2x+1$，$y=\frac{1}{2}x-3$中，哪一个函数的图象能和前面三个函数的图象保持这种位置关系？
（2）根据（1）中的结果，总结出函数图象位置关系的一般规律，并直接应用这一规律解答：已知直线$y=(k-1)x+6$与直线$y=-4x$平行，求$k$的值。
答案
图象略.(1) 三个函数的图象互相平行. $y=\frac{1}{2}x-3$的图象和前面三个函数的图象保持这种位置关系 (2) 规律：一次函数$y=kx+b$中，两个函数在k相同，b不同时，图象互相平行. $k=-3$
解析
【分析】
首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的图象性质：$k$决定直线的倾斜方向和倾斜程度，$b$决定直线与$y$轴的交点位置。解决第（1）问时，先观察三个给定函数的$k$值和$b$值，根据$k$的取值判断图象的位置关系；再对比两个待选函数的$k$值，找到$k$与前三个函数相同的即可。解决第（2）问时，先从（1）的结论中总结出两直线平行的参数规律，再利用规律得到两条平行直线的$k$值相等，列方程求解$k$即可。
【解析】
画一次函数图象可通过取直线上两点（通常取与坐标轴的交点）连线得到，此处图象略。
（1）观察三个函数：$y=\frac{1}{2}x+1$、$y=\frac{1}{2}x-2$、$y=\frac{1}{2}x$，它们的一次项系数$k$都为$\frac{1}{2}$，常数项$b$分别为1、-2、0，互不相等，因此三个函数的图象互相平行。
对比$y=2x+1$（$k=2$）和$y=\frac{1}{2}x-3$（$k=\frac{1}{2}$），只有$y=\frac{1}{2}x-3$的$k$值与前三个函数相同，因此它的图象能和前面三个函数的图象保持平行的位置关系。
（2）总结规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），若两个一次函数的$k$值相同，$b$值不同，则它们的图象互相平行。
已知直线$y=(k-1)x+6$与$y=-4x$平行，根据规律可知两直线的$k$值相等，因此有：
$k-1=-4$
解得：$k=-4+1=-3$
【答案】
图象略；(1) 三个函数的图象互相平行，$y=\frac{1}{2}x-3$的图象和前面三个函数的图象保持这种位置关系；(2) 规律：一次函数$y=kx+b$中，两个函数在$k$相同，$b$不同时，图象互相平行，$k=-3$
【知识点】
一次函数图象性质；两直线平行的条件；解一元一次方程
【点评】
本题围绕一次函数的参数与图象特征的关系设置问题，核心是理解一次项系数$k$对直线倾斜程度的影响，掌握两直线平行的判定规律，是一次函数章节的基础题型，该规律也是后续解决一次函数几何相关问题的重要依据。
【难度系数】
0.8
首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的图象性质：$k$决定直线的倾斜方向和倾斜程度，$b$决定直线与$y$轴的交点位置。解决第（1）问时，先观察三个给定函数的$k$值和$b$值，根据$k$的取值判断图象的位置关系；再对比两个待选函数的$k$值，找到$k$与前三个函数相同的即可。解决第（2）问时，先从（1）的结论中总结出两直线平行的参数规律，再利用规律得到两条平行直线的$k$值相等，列方程求解$k$即可。
【解析】
画一次函数图象可通过取直线上两点（通常取与坐标轴的交点）连线得到，此处图象略。
（1）观察三个函数：$y=\frac{1}{2}x+1$、$y=\frac{1}{2}x-2$、$y=\frac{1}{2}x$，它们的一次项系数$k$都为$\frac{1}{2}$，常数项$b$分别为1、-2、0，互不相等，因此三个函数的图象互相平行。
对比$y=2x+1$（$k=2$）和$y=\frac{1}{2}x-3$（$k=\frac{1}{2}$），只有$y=\frac{1}{2}x-3$的$k$值与前三个函数相同，因此它的图象能和前面三个函数的图象保持平行的位置关系。
（2）总结规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），若两个一次函数的$k$值相同，$b$值不同，则它们的图象互相平行。
已知直线$y=(k-1)x+6$与$y=-4x$平行，根据规律可知两直线的$k$值相等，因此有：
$k-1=-4$
解得：$k=-4+1=-3$
【答案】
图象略；(1) 三个函数的图象互相平行，$y=\frac{1}{2}x-3$的图象和前面三个函数的图象保持这种位置关系；(2) 规律：一次函数$y=kx+b$中，两个函数在$k$相同，$b$不同时，图象互相平行，$k=-3$
【知识点】
一次函数图象性质；两直线平行的条件；解一元一次方程
【点评】
本题围绕一次函数的参数与图象特征的关系设置问题，核心是理解一次项系数$k$对直线倾斜程度的影响，掌握两直线平行的判定规律，是一次函数章节的基础题型，该规律也是后续解决一次函数几何相关问题的重要依据。
【难度系数】
0.8
9. 将直线 $ y=2x+3 $ 沿 $ y $ 轴平移后经过点$ (2, -1) $，求：
（1）平移后直线所对应的函数表达式；
（2）直线 $ y=2x+3 $ 沿 $ y $ 轴进行了怎样的平移？
（1）平移后直线所对应的函数表达式；
（2）直线 $ y=2x+3 $ 沿 $ y $ 轴进行了怎样的平移？
答案
(1) $y=2x-5$ (2) 直线$y=2x+3$沿y轴向下平移了8个单位长度
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握一次函数沿y轴平移的特点：平移后直线的斜率k（一次项系数）保持不变，仅截距b（常数项）发生变化，遵循“上加下减”的规律。解题思路如下：① 先设出平移后直线的函数表达式，利用k不变确定表达式的一次项系数；② 将已知点坐标代入表达式，求解得到未知常数项，即可得到平移后的解析式；③ 对比平移前后两个解析式的常数项，计算差值即可判断平移的方向和单位长度。
【解析】
（1）
∵ 直线沿y轴平移时，一次项系数不变
∴ 设平移后直线对应的函数表达式为$y=2x+b$
将点$(2, -1)$代入表达式得：
$-1 = 2×2 + b$
解得：$b=-5$
∴ 平移后直线的函数表达式为$y=2x-5$
（2）原直线解析式为$y=2x+3$，平移后解析式为$y=2x-5=2x+3-8$
根据一次函数沿y轴平移“上加下减”的规律，可知直线沿y轴向下平移了8个单位长度。
【答案】
(1) $y=2x-5$；(2) 直线$y=2x+3$沿$y$轴向下平移了8个单位长度
【知识点】
1. 一次函数图象平移规律；2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数平移的基础题型，解题的关键是牢记一次函数平移前后一次项系数k不变的性质，结合待定系数法即可快速求解，要熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规律，能灵活应用规律解决平移相关问题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握一次函数沿y轴平移的特点：平移后直线的斜率k（一次项系数）保持不变，仅截距b（常数项）发生变化，遵循“上加下减”的规律。解题思路如下：① 先设出平移后直线的函数表达式，利用k不变确定表达式的一次项系数；② 将已知点坐标代入表达式，求解得到未知常数项，即可得到平移后的解析式；③ 对比平移前后两个解析式的常数项，计算差值即可判断平移的方向和单位长度。
【解析】
（1）
∵ 直线沿y轴平移时，一次项系数不变
∴ 设平移后直线对应的函数表达式为$y=2x+b$
将点$(2, -1)$代入表达式得：
$-1 = 2×2 + b$
解得：$b=-5$
∴ 平移后直线的函数表达式为$y=2x-5$
（2）原直线解析式为$y=2x+3$，平移后解析式为$y=2x-5=2x+3-8$
根据一次函数沿y轴平移“上加下减”的规律，可知直线沿y轴向下平移了8个单位长度。
【答案】
(1) $y=2x-5$；(2) 直线$y=2x+3$沿$y$轴向下平移了8个单位长度
【知识点】
1. 一次函数图象平移规律；2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数平移的基础题型，解题的关键是牢记一次函数平移前后一次项系数k不变的性质，结合待定系数法即可快速求解，要熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规律，能灵活应用规律解决平移相关问题。
【难度系数】
0.8
