登录
阅读导航
1.配方法是解一元二次方程的主要方法之一，也是我们今后学习中经常用到的重要数学方法.请你说一说教科书中是如何通过变式，运用类比、转化、归纳的方法总结出配方法的.这种研究问题的方法对你有何启示？对二次项系数不为1的一元二次方程进行配方的方法步骤有哪些？试举例说明.
2.公式法是解一元二次方程的重要方法之一.请你说一说教科书是如何运用配方法，通过对一元二次方程的一般形式$ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$分步变形导出公式的，每步变形的依据是什么.在推导公式的过程中，为什么要强调需满足条件$b^2 - 4ac ≥ 0$？
3.一般情况下，对一元二次方程根的情况的研究是分类进行的，请你说一说如何根据方程的系数应满足的条件对根的情况进行分类.
4.列一元二次方程解决简单的实际问题与列一元一次方程解决简单的实际问题的方法步骤有什么异同？试举例说明.
思维延伸
1.直接开平方法的依据是什么？
2.因式分解法的依据是什么？在运用因式分解法解一元二次方程时，应注意什么？
3.试判断下列两句话有什么不同，结合实例说明：
（1）说一说关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$根的情况.
（2）说一说关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$根的情况.
4.你是如何发现一元二次方程根与系数关系的？你是否能够通过几个实例或利用求根公式总结归纳出一元二次方程根与系数的关系？请你想一想，这个规律的发现对学习一元二次方程知识和解决相关问题有哪些好处，你从中感悟到了哪些研究问题的方法，并由此得到启示，在学习中应有意识地去探索和总结规律，强化对知识的理解，提高学习能力.
5.若二次三项式$ax^2 + bx + c(a ＞ 0)$是一个完全平方式，想一想$a,b,c$应满足什么条件.
6.转化是初中数学学习中常用的思想方法之一，请你说一说解一元二次方程是如何运用转化这种思想方法的.
1.配方法是解一元二次方程的主要方法之一，也是我们今后学习中经常用到的重要数学方法.请你说一说教科书中是如何通过变式，运用类比、转化、归纳的方法总结出配方法的.这种研究问题的方法对你有何启示？对二次项系数不为1的一元二次方程进行配方的方法步骤有哪些？试举例说明.
2.公式法是解一元二次方程的重要方法之一.请你说一说教科书是如何运用配方法，通过对一元二次方程的一般形式$ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$分步变形导出公式的，每步变形的依据是什么.在推导公式的过程中，为什么要强调需满足条件$b^2 - 4ac ≥ 0$？
3.一般情况下，对一元二次方程根的情况的研究是分类进行的，请你说一说如何根据方程的系数应满足的条件对根的情况进行分类.
4.列一元二次方程解决简单的实际问题与列一元一次方程解决简单的实际问题的方法步骤有什么异同？试举例说明.
思维延伸
1.直接开平方法的依据是什么？
2.因式分解法的依据是什么？在运用因式分解法解一元二次方程时，应注意什么？
3.试判断下列两句话有什么不同，结合实例说明：
（1）说一说关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$根的情况.
（2）说一说关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$根的情况.
4.你是如何发现一元二次方程根与系数关系的？你是否能够通过几个实例或利用求根公式总结归纳出一元二次方程根与系数的关系？请你想一想，这个规律的发现对学习一元二次方程知识和解决相关问题有哪些好处，你从中感悟到了哪些研究问题的方法，并由此得到启示，在学习中应有意识地去探索和总结规律，强化对知识的理解，提高学习能力.
5.若二次三项式$ax^2 + bx + c(a ＞ 0)$是一个完全平方式，想一想$a,b,c$应满足什么条件.
6.转化是初中数学学习中常用的思想方法之一，请你说一说解一元二次方程是如何运用转化这种思想方法的.
答案
解： 阅读导航部分
1.
教科书先从可直接开平方的形如$(x+m)^2=n(n≥0)$的方程入手，类比已学的完全平方公式，对二次项系数为1的一元二次方程$x^2+px+q=0$移项得到$x^2+px=-q$，再在两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{p}{2})^2$，将左侧配成完全平方式，转化为可直接开平方的类型，归纳得到配方法。
启示：研究陌生新问题时，可以类比已掌握的旧知识，将未知问题转化为已知问题解决，通过特殊实例归纳通用方法。
二次项系数不为1的一元二次方程配方步骤：
① 将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
② 方程两边同时除以二次项系数$a$，将二次项系数化为1；
③ 移项，使常数项位于方程右侧；
④ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；
⑤ 整理为$(x+m)^2=n$的形式，完成配方。
举例：对$2x^2-4x-6=0$配方：
① 方程已是一般形式；
② 两边除以2得$x^2-2x-3=0$；
③ 移项得$x^2-2x=3$；
④ 两边加$(-\frac{2}{2})^2=1$，得$x^2-2x+1=3+1$；
⑤ 整理得$(x-1)^2=4$，配方完成。
2.
推导求根公式的分步过程及对应依据：
① 对方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$，依据：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
② 移项得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，依据：等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立。
③ 两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$，依据：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立。
④ 左侧整理为完全平方式，右侧通分计算得$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，依据：完全平方公式、分式运算法则。
因为任意实数的平方都是非负数，且$a≠0$时$4a^2＞0$，若$b^2-4ac＜0$，则右侧$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＜0$，平方数不可能为负，此时方程没有实数根，因此必须强调$b^2-4ac≥0$，才能对右侧开平方得到实数根。
3.
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号分类：
① 当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
② 当$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；
③ 当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。
4.
相同点：两类问题的求解步骤都为审题找等量关系、设未知数、根据等量关系列方程、解方程、检验解是否符合实际意义、作答。
不同点：列一元一次方程得到的是一次方程，通常只有一个符合实际的解；列一元二次方程得到二次方程，一般有两个实数根，需要额外检验两个根是否都符合实际场景要求，舍去不符合实际的根。
举例：
① 一元一次方程实例：用长为20m的篱笆围一个一边靠墙，长比宽多2m的矩形菜园，设宽为$x$m，列方程$2x+(x+2)=20$，解得$x=6$，仅一个有效解。
② 一元二次方程实例：用长为20m的篱笆围一个面积为$48\ \mathrm{m}^2$的一边靠墙的矩形菜园，设宽为$x$m，列方程$x(20-2x)=48$，解得$x_1=4$，$x_2=6$，两个解都符合实际，对应两种不同的围法；若设定面积为$60\ \mathrm{m}^2$，方程无实数解，说明无法围出对应面积的菜园。
---
思维延伸部分
1.
直接开平方法的依据是平方根的意义：如果$x^2=n(n≥0)$，那么$x$是$n$的平方根，即$x=\pm\sqrt{n}$。
2.
因式分解法的依据是：如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个因式的值为0，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。
运用因式分解法时应注意：不能在方程两边同时除以含有未知数的整式，避免丢失根；要先将方程右侧化为0，再对左侧的多项式进行因式分解。
3.
（1）该方程明确是一元二次方程，隐含条件$a≠0$，根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：当$\Delta＞0$时，有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，没有实数根。例如方程$2x^2-3x+1=0$，$\Delta=1＞0$，有两个不等实根。
（2）该方程没有限定是一元二次方程，需要分类讨论：
① 当$a=0$且$b≠0$时，方程退化为一元一次方程$bx+c=0$，此时方程只有一个实数根$x=-\frac{c}{b}$，例如方程$2x+1=0$，只有一个根$x=-\frac{1}{2}$；
② 当$a=0$且$b=0$时，若$c=0$，方程变为$0=0$，有无数个实数根，若$c≠0$，方程变为$c=0$，没有实数根；
③ 当$a≠0$时，是一元二次方程，根的情况同（1）的分类。
4.
可以先求解多个具体的一元二次方程，计算两根之和、两根之积，观察其与方程系数的对应关系，再结合求根公式推导：
当$\Delta≥0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，计算得：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a}$，
$x_1x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{c}{a}$。
由此得到根与系数的关系：两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
好处：不解方程即可快速判断两根的和与积、检验求得的根是否正确、构造满足特定根条件的一元二次方程、简化相关代数式的求值计算。
研究方法：从特殊实例归纳共性规律，再通过已学公式严格推导验证猜想，采用从特殊到一般再到特殊的研究方法。
启示：学习新知识时可以多观察实例，大胆猜想规律，再用已有知识验证，能加深对知识的理解，提升自主探究的能力。
5.
若$ax^2+bx+c(a＞0)$是完全平方式，则可以写成$(\sqrt{a}x+m)^2$的形式，展开得$ax^2+2\sqrt{a}mx+m^2$，对应系数相等得$b=2\sqrt{a}m$，$c=m^2$，消去$m$可得$b^2=4ac$，即$a,b,c$满足的条件是$b^2-4ac=0$。
6.
解一元二次方程的核心转化思想是“降次”：通过配方法将一般的一元二次方程转化为可直接开平方的形如$(x+m)^2=n$的方程，把二次问题转化为一次问题求解；通过因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程，直接把二次问题降次为一次问题求解；公式法本质也是通过配方法完成降次转化，将未知的二次方程求解问题转化为已经掌握的一元一次方程求解问题。
1.
教科书先从可直接开平方的形如$(x+m)^2=n(n≥0)$的方程入手，类比已学的完全平方公式，对二次项系数为1的一元二次方程$x^2+px+q=0$移项得到$x^2+px=-q$，再在两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{p}{2})^2$，将左侧配成完全平方式，转化为可直接开平方的类型，归纳得到配方法。
启示：研究陌生新问题时，可以类比已掌握的旧知识，将未知问题转化为已知问题解决，通过特殊实例归纳通用方法。
二次项系数不为1的一元二次方程配方步骤：
① 将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
② 方程两边同时除以二次项系数$a$，将二次项系数化为1；
③ 移项，使常数项位于方程右侧；
④ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；
⑤ 整理为$(x+m)^2=n$的形式，完成配方。
举例：对$2x^2-4x-6=0$配方：
① 方程已是一般形式；
② 两边除以2得$x^2-2x-3=0$；
③ 移项得$x^2-2x=3$；
④ 两边加$(-\frac{2}{2})^2=1$，得$x^2-2x+1=3+1$；
⑤ 整理得$(x-1)^2=4$，配方完成。
2.
推导求根公式的分步过程及对应依据：
① 对方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$，依据：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
② 移项得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，依据：等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立。
③ 两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$，依据：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立。
④ 左侧整理为完全平方式，右侧通分计算得$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，依据：完全平方公式、分式运算法则。
因为任意实数的平方都是非负数，且$a≠0$时$4a^2＞0$，若$b^2-4ac＜0$，则右侧$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＜0$，平方数不可能为负，此时方程没有实数根，因此必须强调$b^2-4ac≥0$，才能对右侧开平方得到实数根。
3.
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号分类：
① 当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
② 当$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；
③ 当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。
4.
相同点：两类问题的求解步骤都为审题找等量关系、设未知数、根据等量关系列方程、解方程、检验解是否符合实际意义、作答。
不同点：列一元一次方程得到的是一次方程，通常只有一个符合实际的解；列一元二次方程得到二次方程，一般有两个实数根，需要额外检验两个根是否都符合实际场景要求，舍去不符合实际的根。
举例：
① 一元一次方程实例：用长为20m的篱笆围一个一边靠墙，长比宽多2m的矩形菜园，设宽为$x$m，列方程$2x+(x+2)=20$，解得$x=6$，仅一个有效解。
② 一元二次方程实例：用长为20m的篱笆围一个面积为$48\ \mathrm{m}^2$的一边靠墙的矩形菜园，设宽为$x$m，列方程$x(20-2x)=48$，解得$x_1=4$，$x_2=6$，两个解都符合实际，对应两种不同的围法；若设定面积为$60\ \mathrm{m}^2$，方程无实数解，说明无法围出对应面积的菜园。
---
思维延伸部分
1.
直接开平方法的依据是平方根的意义：如果$x^2=n(n≥0)$，那么$x$是$n$的平方根，即$x=\pm\sqrt{n}$。
2.
因式分解法的依据是：如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个因式的值为0，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。
运用因式分解法时应注意：不能在方程两边同时除以含有未知数的整式，避免丢失根；要先将方程右侧化为0，再对左侧的多项式进行因式分解。
3.
（1）该方程明确是一元二次方程，隐含条件$a≠0$，根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：当$\Delta＞0$时，有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，没有实数根。例如方程$2x^2-3x+1=0$，$\Delta=1＞0$，有两个不等实根。
（2）该方程没有限定是一元二次方程，需要分类讨论：
① 当$a=0$且$b≠0$时，方程退化为一元一次方程$bx+c=0$，此时方程只有一个实数根$x=-\frac{c}{b}$，例如方程$2x+1=0$，只有一个根$x=-\frac{1}{2}$；
② 当$a=0$且$b=0$时，若$c=0$，方程变为$0=0$，有无数个实数根，若$c≠0$，方程变为$c=0$，没有实数根；
③ 当$a≠0$时，是一元二次方程，根的情况同（1）的分类。
4.
可以先求解多个具体的一元二次方程，计算两根之和、两根之积，观察其与方程系数的对应关系，再结合求根公式推导：
当$\Delta≥0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，计算得：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a}$，
$x_1x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{c}{a}$。
由此得到根与系数的关系：两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
好处：不解方程即可快速判断两根的和与积、检验求得的根是否正确、构造满足特定根条件的一元二次方程、简化相关代数式的求值计算。
研究方法：从特殊实例归纳共性规律，再通过已学公式严格推导验证猜想，采用从特殊到一般再到特殊的研究方法。
启示：学习新知识时可以多观察实例，大胆猜想规律，再用已有知识验证，能加深对知识的理解，提升自主探究的能力。
5.
若$ax^2+bx+c(a＞0)$是完全平方式，则可以写成$(\sqrt{a}x+m)^2$的形式，展开得$ax^2+2\sqrt{a}mx+m^2$，对应系数相等得$b=2\sqrt{a}m$，$c=m^2$，消去$m$可得$b^2=4ac$，即$a,b,c$满足的条件是$b^2-4ac=0$。
6.
解一元二次方程的核心转化思想是“降次”：通过配方法将一般的一元二次方程转化为可直接开平方的形如$(x+m)^2=n$的方程，把二次问题转化为一次问题求解；通过因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程，直接把二次问题降次为一次问题求解；公式法本质也是通过配方法完成降次转化，将未知的二次方程求解问题转化为已经掌握的一元一次方程求解问题。
解析
【分析】
本题是一元二次方程章节的综合性梳理题，全面覆盖本模块核心知识与相关数学思想方法。解题时顺着教材知识生成逻辑思考即可：①从已学的直接开平方法、完全平方公式出发，梳理配方法的推导过程与操作步骤；②结合配方法步骤、等式性质推导求根公式，理解根的判别式的取值意义；③对比一元一次、一元二次方程解决实际问题的步骤差异，注意二次方程根的双重检验要求；④思维延伸类问题紧扣平方根意义、因式分解零乘积性质、分类讨论原则、根与系数关系推导逻辑、完全平方式系数特征、转化降次核心思想逐一作答，涉及分类讨论的问题要保证分类标准清晰，不重不漏。
【解析】
阅读导航部分
1.
教科书先从可直接开平方的形如$(x+m)^2=n(n≥0)$的方程入手，类比已学的完全平方公式，对二次项系数为1的一元二次方程$x^2+px+q=0$移项得到$x^2+px=-q$，再在两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{p}{2})^2$，将左侧配成完全平方式，转化为可直接开平方的类型，归纳得到配方法。
启示：研究陌生新问题时，可以类比已掌握的旧知识，将未知问题转化为已知问题解决，通过特殊实例归纳通用方法。
二次项系数不为1的一元二次方程配方步骤：
① 将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
② 方程两边同时除以二次项系数$a$，将二次项系数化为1；
③ 移项，使常数项位于方程右侧；
④ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；
⑤ 整理为$(x+m)^2=n$的形式，完成配方。
举例：对$2x^2-4x-6=0$配方：
① 方程已是一般形式；
② 两边除以2得$x^2-2x-3=0$；
③ 移项得$x^2-2x=3$；
④ 两边加$(-\frac{2}{2})^2=1$，得$x^2-2x+1=3+1$；
⑤ 整理得$(x-1)^2=4$，配方完成。
2.
推导求根公式的分步过程及对应依据：
① 对方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$，依据：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
② 移项得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，依据：等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立。
③ 两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$，依据：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立。
④ 左侧整理为完全平方式，右侧通分计算得$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，依据：完全平方公式、分式运算法则。
因为任意实数的平方都是非负数，且$a≠0$时$4a^2＞0$，若$b^2-4ac＜0$，则右侧$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＜0$，平方数不可能为负，此时方程没有实数根，因此必须强调$b^2-4ac≥0$，才能对右侧开平方得到实数根。
3.
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号分类：
① 当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
② 当$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；
③ 当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。
4.
相同点：两类问题的求解步骤都为审题找等量关系、设未知数、根据等量关系列方程、解方程、检验解是否符合实际意义、作答。
不同点：列一元一次方程得到的是一次方程，通常只有一个符合实际的解；列一元二次方程得到二次方程，一般有两个实数根，需要额外检验两个根是否都符合实际场景要求，舍去不符合实际的根。
举例：
① 一元一次方程实例：用长为20m的篱笆围一个一边靠墙，长比宽多2m的矩形菜园，设宽为$x$m，列方程$2x+(x+2)=20$，解得$x=6$，仅一个有效解。
② 一元二次方程实例：用长为20m的篱笆围一个面积为$48\ \mathrm{m}^2$的一边靠墙的矩形菜园，设宽为$x$m，列方程$x(20-2x)=48$，解得$x_1=4$，$x_2=6$，两个解都符合实际，对应两种不同的围法；若设定面积为$60\ \mathrm{m}^2$，方程无实数解，说明无法围出对应面积的菜园。
---
思维延伸部分
1.
直接开平方法的依据是平方根的意义：如果$x^2=n(n≥0)$，那么$x$是$n$的平方根，即$x=\pm\sqrt{n}$。
2.
因式分解法的依据是：如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个因式的值为0，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。
运用因式分解法时应注意：不能在方程两边同时除以含有未知数的整式，避免丢失根；要先将方程右侧化为0，再对左侧的多项式进行因式分解。
3.
（1）该方程明确是一元二次方程，隐含条件$a≠0$，根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：当$\Delta＞0$时，有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，没有实数根。例如方程$2x^2-3x+1=0$，$\Delta=1＞0$，有两个不等实根。
（2）该方程没有限定是一元二次方程，需要分类讨论：
① 当$a=0$且$b≠0$时，方程退化为一元一次方程$bx+c=0$，此时方程只有一个实数根$x=-\frac{c}{b}$，例如方程$2x+1=0$，只有一个根$x=-\frac{1}{2}$；
② 当$a=0$且$b=0$时，若$c=0$，方程变为$0=0$，有无数个实数根，若$c≠0$，方程变为$c=0$，没有实数根；
③ 当$a≠0$时，是一元二次方程，根的情况同（1）的分类。
4.
可以先求解多个具体的一元二次方程，计算两根之和、两根之积，观察其与方程系数的对应关系，再结合求根公式推导：
当$\Delta≥0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，计算得：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a}$，
$x_1x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{c}{a}$。
由此得到根与系数的关系：两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
好处：不解方程即可快速判断两根的和与积、检验求得的根是否正确、构造满足特定根条件的一元二次方程、简化相关代数式的求值计算。
研究方法：从特殊实例归纳共性规律，再通过已学公式严格推导验证猜想，采用从特殊到一般再到特殊的研究方法。
启示：学习新知识时可以多观察实例，大胆猜想规律，再用已有知识验证，能加深对知识的理解，提升自主探究的能力。
5.
若$ax^2+bx+c(a＞0)$是完全平方式，则可以写成$(\sqrt{a}x+m)^2$的形式，展开得$ax^2+2\sqrt{a}mx+m^2$，对应系数相等得$b=2\sqrt{a}m$，$c=m^2$，消去$m$可得$b^2=4ac$，即$a,b,c$满足的条件是$b^2-4ac=0$。
6.
解一元二次方程的核心转化思想是“降次”：通过配方法将一般的一元二次方程转化为可直接开平方的形如$(x+m)^2=n$的方程，把二次问题转化为一次问题求解；通过因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程，直接把二次问题降次为一次问题求解；公式法本质也是通过配方法完成降次转化，将未知的二次方程求解问题转化为已经掌握的一元一次方程求解问题。
【答案】
同上述解析完整内容。
【知识点】
一元二次方程解法；根的判别式与韦达定理；数学思想方法应用
【点评】
本题属于模块知识梳理类题目，既考查对一元二次方程基础知识点的掌握，也注重对知识生成过程、数学思想方法的理解感悟，能帮助学生搭建完整的知识体系，强化知识迁移应用能力与自主探究能力。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程章节的综合性梳理题，全面覆盖本模块核心知识与相关数学思想方法。解题时顺着教材知识生成逻辑思考即可：①从已学的直接开平方法、完全平方公式出发，梳理配方法的推导过程与操作步骤；②结合配方法步骤、等式性质推导求根公式，理解根的判别式的取值意义；③对比一元一次、一元二次方程解决实际问题的步骤差异，注意二次方程根的双重检验要求；④思维延伸类问题紧扣平方根意义、因式分解零乘积性质、分类讨论原则、根与系数关系推导逻辑、完全平方式系数特征、转化降次核心思想逐一作答，涉及分类讨论的问题要保证分类标准清晰，不重不漏。
【解析】
阅读导航部分
1.
教科书先从可直接开平方的形如$(x+m)^2=n(n≥0)$的方程入手，类比已学的完全平方公式，对二次项系数为1的一元二次方程$x^2+px+q=0$移项得到$x^2+px=-q$，再在两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{p}{2})^2$，将左侧配成完全平方式，转化为可直接开平方的类型，归纳得到配方法。
启示：研究陌生新问题时，可以类比已掌握的旧知识，将未知问题转化为已知问题解决，通过特殊实例归纳通用方法。
二次项系数不为1的一元二次方程配方步骤：
① 将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
② 方程两边同时除以二次项系数$a$，将二次项系数化为1；
③ 移项，使常数项位于方程右侧；
④ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；
⑤ 整理为$(x+m)^2=n$的形式，完成配方。
举例：对$2x^2-4x-6=0$配方：
① 方程已是一般形式；
② 两边除以2得$x^2-2x-3=0$；
③ 移项得$x^2-2x=3$；
④ 两边加$(-\frac{2}{2})^2=1$，得$x^2-2x+1=3+1$；
⑤ 整理得$(x-1)^2=4$，配方完成。
2.
推导求根公式的分步过程及对应依据：
① 对方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$，依据：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
② 移项得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，依据：等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立。
③ 两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$，依据：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立。
④ 左侧整理为完全平方式，右侧通分计算得$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，依据：完全平方公式、分式运算法则。
因为任意实数的平方都是非负数，且$a≠0$时$4a^2＞0$，若$b^2-4ac＜0$，则右侧$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＜0$，平方数不可能为负，此时方程没有实数根，因此必须强调$b^2-4ac≥0$，才能对右侧开平方得到实数根。
3.
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号分类：
① 当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
② 当$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；
③ 当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。
4.
相同点：两类问题的求解步骤都为审题找等量关系、设未知数、根据等量关系列方程、解方程、检验解是否符合实际意义、作答。
不同点：列一元一次方程得到的是一次方程，通常只有一个符合实际的解；列一元二次方程得到二次方程，一般有两个实数根，需要额外检验两个根是否都符合实际场景要求，舍去不符合实际的根。
举例：
① 一元一次方程实例：用长为20m的篱笆围一个一边靠墙，长比宽多2m的矩形菜园，设宽为$x$m，列方程$2x+(x+2)=20$，解得$x=6$，仅一个有效解。
② 一元二次方程实例：用长为20m的篱笆围一个面积为$48\ \mathrm{m}^2$的一边靠墙的矩形菜园，设宽为$x$m，列方程$x(20-2x)=48$，解得$x_1=4$，$x_2=6$，两个解都符合实际，对应两种不同的围法；若设定面积为$60\ \mathrm{m}^2$，方程无实数解，说明无法围出对应面积的菜园。
---
思维延伸部分
1.
直接开平方法的依据是平方根的意义：如果$x^2=n(n≥0)$，那么$x$是$n$的平方根，即$x=\pm\sqrt{n}$。
2.
因式分解法的依据是：如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个因式的值为0，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。
运用因式分解法时应注意：不能在方程两边同时除以含有未知数的整式，避免丢失根；要先将方程右侧化为0，再对左侧的多项式进行因式分解。
3.
（1）该方程明确是一元二次方程，隐含条件$a≠0$，根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：当$\Delta＞0$时，有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，没有实数根。例如方程$2x^2-3x+1=0$，$\Delta=1＞0$，有两个不等实根。
（2）该方程没有限定是一元二次方程，需要分类讨论：
① 当$a=0$且$b≠0$时，方程退化为一元一次方程$bx+c=0$，此时方程只有一个实数根$x=-\frac{c}{b}$，例如方程$2x+1=0$，只有一个根$x=-\frac{1}{2}$；
② 当$a=0$且$b=0$时，若$c=0$，方程变为$0=0$，有无数个实数根，若$c≠0$，方程变为$c=0$，没有实数根；
③ 当$a≠0$时，是一元二次方程，根的情况同（1）的分类。
4.
可以先求解多个具体的一元二次方程，计算两根之和、两根之积，观察其与方程系数的对应关系，再结合求根公式推导：
当$\Delta≥0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，计算得：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a}$，
$x_1x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{c}{a}$。
由此得到根与系数的关系：两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
好处：不解方程即可快速判断两根的和与积、检验求得的根是否正确、构造满足特定根条件的一元二次方程、简化相关代数式的求值计算。
研究方法：从特殊实例归纳共性规律，再通过已学公式严格推导验证猜想，采用从特殊到一般再到特殊的研究方法。
启示：学习新知识时可以多观察实例，大胆猜想规律，再用已有知识验证，能加深对知识的理解，提升自主探究的能力。
5.
若$ax^2+bx+c(a＞0)$是完全平方式，则可以写成$(\sqrt{a}x+m)^2$的形式，展开得$ax^2+2\sqrt{a}mx+m^2$，对应系数相等得$b=2\sqrt{a}m$，$c=m^2$，消去$m$可得$b^2=4ac$，即$a,b,c$满足的条件是$b^2-4ac=0$。
6.
解一元二次方程的核心转化思想是“降次”：通过配方法将一般的一元二次方程转化为可直接开平方的形如$(x+m)^2=n$的方程，把二次问题转化为一次问题求解；通过因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程，直接把二次问题降次为一次问题求解；公式法本质也是通过配方法完成降次转化，将未知的二次方程求解问题转化为已经掌握的一元一次方程求解问题。
【答案】
同上述解析完整内容。
【知识点】
一元二次方程解法；根的判别式与韦达定理；数学思想方法应用
【点评】
本题属于模块知识梳理类题目，既考查对一元二次方程基础知识点的掌握，也注重对知识生成过程、数学思想方法的理解感悟，能帮助学生搭建完整的知识体系，强化知识迁移应用能力与自主探究能力。
【难度系数】
0.6
