1.如图,在正方形ABCD中,AC,BD交于点O,则等腰三角形的个数为 ()

A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

1.D

【分析】
解题时首先回忆正方形的性质和等腰三角形的判定方法：正方形四条边相等，对角线互相平分且相等，即OA=OB=OC=OD，AB=BC=CD=DA；有两边相等的三角形为等腰三角形。我们分类计数避免漏数：先数以对角线交点O为顶点的小三角形，再数以正方形顶点为顶点的大三角形，最后求和即可。
【解析】
已知四边形ABCD是正方形，因此有性质：
1. 边的性质：$AB=BC=CD=DA$；
2. 对角线性质：对角线AC、BD交于点O，且$OA=OB=OC=OD$。
根据等腰三角形“两边相等即为等腰三角形”的判定：
① 由$OA=OB$、$OB=OC$、$OC=OD$、$OD=OA$，可得$△ AOB$、$△ BOC$、$△ COD$、$△ DOA$，共4个等腰三角形；
② 由$AB=BC$、$BC=CD$、$CD=DA$、$DA=AB$，可得$△ ABC$、$△ BCD$、$△ CDA$、$△ DAB$，共4个等腰三角形。
合计等腰三角形总数为$4+4=8$个，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对正方形性质的应用和等腰三角形的识别能力，解题时注意分类计数的思路，可有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7

2. $△ ABC$是等腰三角形，那么下列条件中，能构成$△ ABC$的是 （）

A.$AB=AC=4$，$BC=9$
B.$AB=AC=6$，$BC=12$
C.$AB=4$，$BC=5$，周长为13
D.腰长为2，周长为9

2.C

【分析】
要判断选项能否构成等腰三角形，需同时满足两个核心条件：①符合等腰三角形的定义，即存在两条长度相等的边；②满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题时逐个选项验证这两个条件即可得出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：AB=AC=4，BC=9，三边长为4、4、9，由于$4+4=8＜9$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，排除。
B选项：AB=AC=6，BC=12，三边长为6、6、12，由于$6+6=12$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，排除。
C选项：已知AB=4，BC=5，周长为13，则第三边AC的长度为$13-4-5=4$，此时$AB=AC=4$，满足等腰三角形定义，且三边长为4、4、5，验证三边关系：$4+4＞5$，$4+5＞4$，符合要求，可以构成等腰三角形。
D选项：腰长为2，周长为9，则底边长为$9-2×2=5$，三边长为2、2、5，由于$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，排除。
综上，只有C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的定义；三角形三边关系
【点评】
本题属于等腰三角形的基础应用题型，解题时要注意避免只判断边是否相等，忽略验证三边能否构成三角形的常见陷阱，牢记构成三角形的前提是满足三边关系。
【难度系数】
0.7

3. 已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，则它的周长为cm.

3.15或18

【分析】
题目给出等腰三角形的两条边长，未明确说明哪条是腰、哪条是底，因此需要分两种情况讨论：①4cm为腰长，7cm为底边长；②7cm为腰长，4cm为底边长。算出两种情况的周长后，需要用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，排除不符合的情况即可得到最终结果。
【解析】
已知等腰三角形两边长为4cm和7cm，分两种情况讨论：
1. 当腰长为4cm时，三角形三边长为4cm、4cm、7cm
验证三边关系：$4+4=8＞7$，满足三角形三边要求，可构成三角形
此时周长为：$4+4+7=15\,\mathrm{cm}$
2. 当腰长为7cm时，三角形三边长为7cm、7cm、4cm
验证三边关系：$7+4=11＞7$，满足三角形三边要求，可构成三角形
此时周长为：$7+7+4=18\,\mathrm{cm}$
综上，该等腰三角形的周长为15或18cm。
【答案】
15或18
【知识点】
等腰三角形边的性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的基础题型，解题的核心是注意腰和底的分类讨论，同时必须结合三角形三边关系验证构形的合理性，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.8

4.一个等腰三角形周长为30cm，腰长是底边长的2倍，则腰长是cm，底边长是cm.

4.12 6

【分析】
本题考查等腰三角形边长与周长的关系，解题思路如下：第一步，回忆等腰三角形的基本性质：两条腰长度相等；第二步，根据“腰长是底边长的2倍”的倍数关系，设较小的量（底边长）为未知数，便于计算；第三步，利用三角形周长等于三边长度之和的公式，列出一元一次方程；第四步，求解方程后，验证所得三边长是否满足三角形三边关系，确认结果有效。
【解析】
解：设底边长为$ x \, \mathrm{cm} $，由腰长是底边长的2倍，可得腰长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
已知等腰三角形周长为30cm，周长等于三边之和，且等腰三角形两腰长度相等，因此列方程：
$ x + 2x + 2x = 30 $
合并同类项得：$ 5x = 30 $
解得：$ x = 6 $
则腰长为$ 2x = 2 × 6 = 12 \, \mathrm{cm} $
验证：三边长为12cm、12cm、6cm，满足任意两边之和大于第三边，符合三角形三边关系，结果成立。
【答案】
12；6
【知识点】
等腰三角形的性质；一元一次方程的应用；三角形周长公式
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是利用等腰三角形的边的性质结合周长公式建立方程求解，养成验证边长是否满足三角形三边关系的习惯，可避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.9

5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$.
(1)请以AC所在的直线为对称轴,画出与$△ ABC$成轴对称的图形.
(2)所得图形与原图形组成的图形是等腰三角形吗?请说明理由.

5.(1)如图,△AB'C为所求 (2)是 理由略

【分析】
(1) 作轴对称图形需利用轴对称的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分。本题中对称轴是AC，已知AC⊥BC，因此只需延长BC到B'，使CB'=CB，连接AB'即可得到所求对称图形。
(2) 判断组成的图形是否为等腰三角形，需依据等腰三角形的定义（有两边相等的三角形是等腰三角形）。结合轴对称的性质可得对应边AB=AB'，即可判断所得组合图形是等腰三角形。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 延长线段BC至点B'，使得CB' = CB；
② 连接AB'，所得△AB'C即为与△ABC关于AC所在直线成轴对称的图形。
(2) 所得图形与原图形组成的图形是等腰三角形，理由如下：
∵ △ABC与△AB'C关于AC所在直线对称，
∴ △ABC ≌ △AB'C，
∴ AB = AB'，
∴ △ABB'有两条边相等，符合等腰三角形的定义，因此两个图形组成的图形是等腰三角形。
【答案】
(1)如图,△AB'C为所求
(2)是 理由略
【知识点】
轴对称作图；轴对称的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础类题目，既考查了轴对称图形的作图方法，又结合了等腰三角形的判定，能够帮助学生夯实图形变换与特殊三角形的相关基础，解题关键是熟练掌握轴对称的性质和等腰三角形的判定依据。
【难度系数】
0.8

6. 如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC. 求证：△DBC是等腰三角形.

证明：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAD = ∠CAD \\AD = AD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）。
∴ BD = CD。
∴ △DBC是等腰三角形。

【分析】
要证明△DBC是等腰三角形，根据等腰三角形的定义，只需证明它的两条边BD=CD即可。观察图形可得BD、CD分别在△ABD和△ACD中，因此可通过证明两个三角形全等得到对应边相等。已知AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠CAD，又有已知条件AB=AC，且AD是两个三角形的公共边，满足全等三角形SAS的判定条件，证得全等后即可推出BD=CD，进而得到结论。
【解析】
证明：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAD = ∠CAD \\AD = AD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）。
∴ BD = CD。
∴ △DBC是等腰三角形。
【答案】
证明过程如上，可证得△DBC是等腰三角形。
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查通过全等三角形推导线段相等，进而判定等腰三角形的逻辑，解题时可从结论倒推所需条件，结合已知信息搭建证明思路，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8