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1. 设$a是小于1$的正数,则$a$,$a^{2}$,$a^{3}$的大小关系是(
A.$a ＜ a^{2} ＜ a^{3}$
B.$a^{2} ＜ a^{3} ＜ a$
C.$a^{3} ＜ a^{2} ＜ a$
D.$a^{3} ＜ a ＜ a^{2}$
C
)。A.$a ＜ a^{2} ＜ a^{3}$
B.$a^{2} ＜ a^{3} ＜ a$
C.$a^{3} ＜ a^{2} ＜ a$
D.$a^{3} ＜ a ＜ a^{2}$
答案
C
解析
设$a = \frac{1}{2}$（$a$是小于1的正数），则$a^{2} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$，$a^{3} = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$。因为$\frac{1}{8}＜\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}$，所以$a^{3}＜a^{2}＜a$。
C
C
2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 40^{\circ}$,点$O在\triangle ABC$内,且$\angle OBC= \angle OCA$,则$\angle BOC$的度数为(
A.$110^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
A
)。A.$110^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
答案
A
解析
证明：
∵在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle A=40°$，
∴$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
设$\angle OBC=\angle OCA=x$，则$\angle OCB=\angle ACB-\angle OCA=70°-x$。
在$\triangle OBC$中，$\angle BOC=180°-\angle OBC-\angle OCB=180°-x-(70°-x)=110°$。
答案：A
∵在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle A=40°$，
∴$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
设$\angle OBC=\angle OCA=x$，则$\angle OCB=\angle ACB-\angle OCA=70°-x$。
在$\triangle OBC$中，$\angle BOC=180°-\angle OBC-\angle OCB=180°-x-(70°-x)=110°$。
答案：A
3. 已知$\frac{a}{b}= \frac{1}{2}$,则$\frac{3a - b}{2b}= $
$\frac{1}{4}$
。答案
$\frac{1}{4}$
解析
$\because \frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，$\therefore a=\frac{1}{2}b$。
$\frac{3a - b}{2b}=\frac{3×\frac{1}{2}b - b}{2b}=\frac{\frac{3}{2}b - b}{2b}=\frac{\frac{1}{2}b}{2b}=\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$
$\frac{3a - b}{2b}=\frac{3×\frac{1}{2}b - b}{2b}=\frac{\frac{3}{2}b - b}{2b}=\frac{\frac{1}{2}b}{2b}=\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$
4. 如图,在一块长为$16m$、宽为$10m$的矩形空地中,修建$2条同样宽2m$的小路(图中阴影部分),那么小路的面积是
$48\ m^2$
。答案
$48\ m^2$
解析
将两条小路分别平移到矩形的最上边和最左边，此时空白部分形成一个长为$(16 - 2)m$、宽为$(10 - 2)m$的矩形。
矩形空地的面积为：$16×10 = 160(m^2)$
空白部分的面积为：$(16 - 2)×(10 - 2) = 14×8 = 112(m^2)$
小路的面积 = 矩形空地的面积 - 空白部分的面积，即$160 - 112 = 48(m^2)$
$48\ m^2$
矩形空地的面积为：$16×10 = 160(m^2)$
空白部分的面积为：$(16 - 2)×(10 - 2) = 14×8 = 112(m^2)$
小路的面积 = 矩形空地的面积 - 空白部分的面积，即$160 - 112 = 48(m^2)$
$48\ m^2$
5. 如图,$E是正方形ABCD的边AD$上任意一点,$EF = 2FC$,则三角形$BCF的面积是正方形ABCD$面积的
$\frac{1}{6}$
。(填写分数)答案
$\frac{1}{6}$ 提示：利用特殊位置分析：当点E在A处时。
解析
设正方形$ABCD$的边长为$a$，面积为$S = a^2$。
取点$E$与点$A$重合，此时$E$在$AD$上。连接$EC$，则$EC$为正方形对角线，$EF = 2FC$，即$F$为$EC$上靠近$C$的三等分点。
在$\triangle EBC$中，$BC = a$，$AB = a$（$E$与$A$重合，$EB = AB = a$），$\triangle EBC$的面积为$\frac{1}{2} × BC × AB = \frac{1}{2}a^2$。
因为$F$为$EC$三等分点，$\triangle BCF$与$\triangle EBC$同高，底的比为$1:3$，所以$\triangle BCF$的面积为$\frac{1}{3} × \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{6}a^2$。
故$\triangle BCF$的面积是正方形$ABCD$面积的$\frac{1}{6}$。
$\frac{1}{6}$
取点$E$与点$A$重合，此时$E$在$AD$上。连接$EC$，则$EC$为正方形对角线，$EF = 2FC$，即$F$为$EC$上靠近$C$的三等分点。
在$\triangle EBC$中，$BC = a$，$AB = a$（$E$与$A$重合，$EB = AB = a$），$\triangle EBC$的面积为$\frac{1}{2} × BC × AB = \frac{1}{2}a^2$。
因为$F$为$EC$三等分点，$\triangle BCF$与$\triangle EBC$同高，底的比为$1:3$，所以$\triangle BCF$的面积为$\frac{1}{3} × \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{6}a^2$。
故$\triangle BCF$的面积是正方形$ABCD$面积的$\frac{1}{6}$。
$\frac{1}{6}$
6. 如图,矩形$ABCD$中,$AB = 3cm$,$AD = 6cm$,点$E为AB$边上的任意一点,四边形$EFGB$也是矩形,且$EF = 2BE$,则$S_{\triangle AFC}= $
9
$cm^{2}$。答案
9 提示：利用特殊位置分析：当点E在A处时。
解析
解：设$BE = x$，则$EF = 2x$。
当点$E$与点$A$重合时，$BE = AB = 3\space cm$，$EF = 2BE = 6\space cm$。
此时，$F$点坐标为$(0, 6)$，$A$点坐标为$(0, 3)$，$C$点坐标为$(6, 0)$。
$S_{\triangle AFC} = \frac{1}{2} × (6 - 3) × 6 = 9\space cm^2$。
9
当点$E$与点$A$重合时，$BE = AB = 3\space cm$，$EF = 2BE = 6\space cm$。
此时，$F$点坐标为$(0, 6)$，$A$点坐标为$(0, 3)$，$C$点坐标为$(6, 0)$。
$S_{\triangle AFC} = \frac{1}{2} × (6 - 3) × 6 = 9\space cm^2$。
9
