1.《九章算术》中记载:今有户不知高广,竿不知长短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出.门户高广袤各几何? 其大意是:现有一扇不知高、宽的门,以及一根不知长度的竹竿.若竹竿横放,则比门宽多4尺;若竹竿竖放,则比门高多2尺;若竹竿斜放,则刚好与对角线相等.问门高、宽、对角线各是多少.请你解决这个问题.

【解析】：
本题可通过设未知数，根据竹竿不同放置方式与门的高、宽、对角线的关系列出方程，进而求解门的高、宽、对角线的长度。
设门的宽为$x$尺，因为竹竿横放比门宽多$4$尺，所以竹竿长为$(x + 4)$尺；又因为竹竿竖放比门高多$2$尺，所以门高为$(x + 4 - 2)=(x + 2)$尺。
已知竹竿斜放刚好与对角线相等，根据勾股定理，门宽、门高与对角线构成直角三角形，其中对角线为斜边，可列出方程$x^{2}+(x + 2)^{2}=(x + 4)^{2}$。
接下来求解这个一元二次方程：
首先展开方程：
$x^{2}+x^{2}+4x + 4 = x^{2}+8x + 16$
然后移项合并同类项：
$x^{2}-4x - 12 = 0$
接着因式分解：
$(x - 6)(x + 2)=0$
最后求解$x$：
$x - 6 = 0$或$x + 2 = 0$
解得$x_{1}=6$，$x_{2}=-2$（门的宽不能为负数，舍去）
所以门的宽为$6$尺，门高为$x + 2 = 6 + 2 = 8$尺，对角线长为$x + 4 = 6 + 4 = 10$尺。
【答案】：
解：设门的宽为$x$尺，则门高为$(x + 2)$尺，竹竿长为$(x + 4)$尺。
根据勾股定理可得方程$x^{2}+(x + 2)^{2}=(x + 4)^{2}$，
展开得$x^{2}+x^{2}+4x + 4 = x^{2}+8x + 16$，
移项合并同类项得$x^{2}-4x - 12 = 0$，
因式分解得$(x - 6)(x + 2)=0$，
解得$x_{1}=6$，$x_{2}=-2$（舍去）。
所以门高为$x + 2 = 8$尺，对角线长为$x + 4 = 10$尺。
答：门高$8$尺，门宽$6$尺，对角线长$10$尺。

2. 如图,一块矩形草地中间有一条小路,小路宽为1.5 m,草地的长AB是宽AD的1.5倍.已知草地的面积(除小路外)为$5310 m^2,$求AB和AD的长.

解：设AD长为x米，则AB的长为1.5x米
由题意得$1.5x^2-1.5x=5310$
解得$x_1=60，$$x_2=-59($不合题意，舍去)
∴$ AD=60\ \mathrm {m}，$$AB=1.5AD=90\ \mathrm {m}$

3. 在一块长为16 m、宽为12 m的矩形荒地上建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.
(1) 小亮的设计如图,求图中的x(精确到0.1).
(2) 你还有其他设计方案吗? 请画出图形,并标注相应数据.

解：(1) 由题意得$πx^2=\frac 12×16×12$
$ x^2≈30.57$
∴$x_1≈5.5，$$x_2≈-5.5($不合题意，舍去)
∴图中的x为5.5
(2)如图所示