3. 李先生买了两只灯泡,它们的额定功率分别是 $P_{1}= \frac{U^{2}}{R}$,$P_{2}= \frac{U^{2}}{4R}$,那么第一只灯泡的功率是第二只灯泡功率的倍。

4

根据题意，第一只灯泡的功率为$P_{1} = \frac{U^{2}}{R}$，第二只灯泡的功率为$P_{2} = \frac{U^{2}}{4R}$。
要求第一只灯泡的功率是第二只灯泡功率的倍数，即求$\frac{P_{1}}{P_{2}}$。
将$P_{1}$和$P_{2}$的表达式代入，得到：
$\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{\frac{U^{2}}{R}}{\frac{U^{2}}{4R}}$
由于$U^{2}$在分子和分母中都有，可以相互抵消，得到：
$\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{4R}{R} = 4$
所以，第一只灯泡的功率是第二只灯泡功率的4倍。

4. 计算：
(1) $\frac{3x}{8y}\cdot \frac{16y^{2}}{27x^{2}}$；
(2) $\frac{x - 2}{x + 3}\cdot \frac{x^{2}-9}{x^{2}-4x + 4}$；
(3) $\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x + 1}÷ \frac{x^{2}+x}{x - 1}$。

(1) $\frac{3x}{8y}\cdot \frac{16y^{2}}{27x^{2}}$
$=\frac{3x \cdot 16y^{2}}{8y \cdot 27x^{2}}$
$=\frac{48xy^{2}}{216x^{2}y}$
$=\frac{2y}{9x}$
(2) $\frac{x - 2}{x + 3}\cdot \frac{x^{2}-9}{x^{2}-4x + 4}$
$=\frac{x - 2}{x + 3}\cdot \frac{(x + 3)(x - 3)}{(x - 2)^{2}}$
$=\frac{(x - 2)(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)(x - 2)^{2}}$
$=\frac{x - 3}{x - 2}$
(3) $\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x + 1}÷ \frac{x^{2}+x}{x - 1}$
$=\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x(x + 1)}$
$=\frac{(x + 1)(x - 1)(x - 1)}{(x - 1)^{2}x(x + 1)}$
$=\frac{1}{x}$

5. 先化简,再求值：
(1) $\frac{a + 1}{a}\cdot \frac{a^{2}}{a^{2}-1}$,其中 $a = 5$；
(2) $(x^{2}-9)÷ \frac{x - 3}{x}$,其中 $x = -1$。

(1)
首先，对式子进行化简：
$\frac{a + 1}{a}\cdot \frac{a^{2}}{a^{2}-1}$
$=\frac{a + 1}{a}\cdot \frac{a^{2}}{(a + 1)(a - 1)}$
$=\frac{a}{a - 1}$
当$a = 5$时，
原式$=\frac{5}{5 - 1}=\frac{5}{4}$
(2)
首先，对式子进行化简：
$(x^{2}-9)÷\frac{x - 3}{x}$
$=(x + 3)(x - 3)\cdot\frac{x}{x - 3}$
$=x(x + 3)$
$=x^{2}+3x$
当$x = - 1$时，
原式$=(-1)^{2}+3×(-1)$
$=1 - 3$
$=-2$

6. 若 $\frac{x^{2}-y^{2}}{a^{2}x - a^{2}y}÷ \frac{(x + y)^{2}}{ax + ay}$的值是 $5$,则 $a$ 的值是()
A.$5$
B.$-5$
C.$\frac{1}{5}$
D.$-\frac{1}{5}$

C

首先，对原式进行化简，
原式$= \frac{x^{2} - y^{2}}{a^{2}x - a^{2}y} ÷ \frac{(x + y)^{2}}{ax + ay}$
$= \frac{(x + y)(x - y)}{a^{2}(x - y)} ÷ \frac{(x + y)^{2}}{a(x + y)}$
$= \frac{(x + y)(x - y)}{a^{2}(x - y)} × \frac{a(x + y)}{(x + y)^{2}}$
$= \frac{1}{a}$
已知这个表达式的值是5，所以有：
$\frac{1}{a} = 5$，
解得：
$a = \frac{1}{5}$。

7. 由甲地到乙地的一条铁路全程为 $s$ km,火车全程行驶时间为 $a$ h；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的 $m$ 倍,汽车全程行驶时间为 $b$ h. 那么火车的速度是汽车速度的多少倍？

火车速度为：$\frac{s}{a}\ km/h$
汽车速度为：$\frac{ms}{b}\ km/h$
火车速度是汽车速度的倍数为：$\frac{s}{a} ÷ \frac{ms}{b} = \frac{s}{a} \cdot \frac{b}{ms} = \frac{b}{am}$
答：火车的速度是汽车速度的$\frac{b}{am}$倍。

8. 通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好. 假如我们把西瓜看成球,并把西瓜的密度看成是均匀的,西瓜的半径为 $r$,西瓜皮的厚度都是 $d$. 已知球的体积公式为 $V= \frac{4}{3}\pi R^{3}$(其中 $R$ 为球的半径,已知 $\frac{b^{3}}{a^{3}}= (\frac{b}{a})^{3}$),求：
(1) 西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
(2) 西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？
(3) 若西瓜皮的厚度 $d$ 为定值,你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？请说明理由.

(1)
西瓜瓤的半径为$r - d$，根据球的体积公式$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}$，西瓜瓤的体积$V_{1}=\frac{4}{3}\pi(r - d)^{3}$；
整个西瓜的半径为$r$，则整个西瓜的体积$V_{2}=\frac{4}{3}\pi r^{3}$。
(2)
西瓜瓤与整个西瓜体积的比为：
$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{4}{3}\pi(r - d)^{3}}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}=\left(\frac{r - d}{r}\right)^{3}=\left(1-\frac{d}{r}\right)^{3}$。
(3)
因为$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\left(1 - \frac{d}{r}\right)^{3}$，$d$是定值，当$r$越大时，$\frac{d}{r}$越小，$1-\frac{d}{r}$越大，$\left(1-\frac{d}{r}\right)^{3}$也越大。
所以买大西瓜合算。