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5. 如图,$ \angle A = \angle D = 90° $,$ AC = DB $,$ AC $,$ DB $ 相交于点 $ O $. 求证：$ OB = OC $.
答案
证明:在Rt△ABC和Rt△DCB中,{AC=BD,CB=BC,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),
∴∠OCB=∠OBC,
∴OB=OC.
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),
∴∠OCB=∠OBC,
∴OB=OC.
6. 如图,有两个长度相同的滑梯(即 $ BC = EF $),左边滑梯的高度 $ AC $ 与右边滑梯水平方向的长度 $ DF $ 相等,则 $ \angle ABC + \angle DFE $ 的度数为(
A.$ 60° $
B.$ 80° $
C.$ 90° $
D.$ 100° $
C
)A.$ 60° $
B.$ 80° $
C.$ 90° $
D.$ 100° $
答案
C
解析
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∵BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC=∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠ABC+∠DFE=90°。
C
∵BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC=∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠ABC+∠DFE=90°。
C
7. 下列说法中,正确的个数是(
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.
A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $
B
)①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.
A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $
答案
B
解析
①正确（HL）；②正确（SAS）；③正确（AAS或ASA）；④错误（AAA无法判定全等）。正确个数为3。B
8. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90° $,$ AC = 15 \, cm $,$ BC = 8 \, cm $,$ AX \perp AC $ 于点 $ A $,$ P $,$ Q $ 两点分别在边 $ AC $ 和射线 $ AX $ 上移动. 当 $ PQ = AB $,$ AP $ 的长为
8cm或15cm
时,$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle APQ $ 全等.答案
8cm或15cm
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，$AC = 15\,cm$，$BC = 8\,cm$，$AX \perp AC$，则$\angle PAQ = 90°$。
情况一：当$\triangle ABC \cong \triangle AQP$时，$AP = AC = 15\,cm$，$AQ = BC = 8\,cm$，满足$PQ = AB$。
情况二：当$\triangle ABC \cong \triangle QAP$时，$AP = BC = 8\,cm$，$AQ = AC = 15\,cm$，满足$PQ = AB$。
故$AP$的长为$8\,cm$或$15\,cm$。
$8\,cm$或$15\,cm$
情况一：当$\triangle ABC \cong \triangle AQP$时，$AP = AC = 15\,cm$，$AQ = BC = 8\,cm$，满足$PQ = AB$。
情况二：当$\triangle ABC \cong \triangle QAP$时，$AP = BC = 8\,cm$，$AQ = AC = 15\,cm$，满足$PQ = AB$。
故$AP$的长为$8\,cm$或$15\,cm$。
$8\,cm$或$15\,cm$
9. 如图,$ AB = CD $,$ DE \perp AC $,$ BF \perp AC $,$ E $,$ F $ 是垂足,$ DE = BF $. 求证：(1) $ AF = CE $. (2) $ AB // CD $.
答案
证明:
(1)在Rt△ABF和Rt△CDE中,{AB=CD,DE=BF,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴AF=CE.
(2)由
(1)知∠ACD=∠CAB,
∴AB//CD.
(1)在Rt△ABF和Rt△CDE中,{AB=CD,DE=BF,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴AF=CE.
(2)由
(1)知∠ACD=∠CAB,
∴AB//CD.
10. 我们知道如果两个三角形的两边及一边的对角对应相等,这两个三角形不一定全等,简称“SSA”不一定成立.
(1) 如果这两个三角形都是直角三角形,那么是成立的. 如图1,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $ 中,$ AB = DE $,$ AC = DF $,$ \angle C = \angle F = 90° $. 求证：$ \triangle ABC \cong \triangle DEF $.
(2) 如果这两个三角形都是锐角三角形,也是成立的. 如图2,在锐角 $ \triangle ABC $ 和锐角 $ \triangle DEF $ 中,$ AB = DE $,$ AC = DF $,$ \angle B = \angle E $. 求证：$ \triangle ABC \cong \triangle DEF $.
(3) 如果这两个三角形都是钝角三角形,那么这两个钝角三角形全等吗？请直接给出结论,不必证明.
(1) 如果这两个三角形都是直角三角形,那么是成立的. 如图1,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $ 中,$ AB = DE $,$ AC = DF $,$ \angle C = \angle F = 90° $. 求证：$ \triangle ABC \cong \triangle DEF $.
(2) 如果这两个三角形都是锐角三角形,也是成立的. 如图2,在锐角 $ \triangle ABC $ 和锐角 $ \triangle DEF $ 中,$ AB = DE $,$ AC = DF $,$ \angle B = \angle E $. 求证：$ \triangle ABC \cong \triangle DEF $.
(3) 如果这两个三角形都是钝角三角形,那么这两个钝角三角形全等吗？请直接给出结论,不必证明.
答案
解:
(1)证明:在Rt△ABC和Rt△DEF中,{AB=DE,AC=DF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
(2)证明:如图1,作AG⊥BC,DH⊥EF，垂足分别为G,H.在△ABG和△DEH中,{∠B=∠E,∠AGB=∠DHE,AB=DE,
∴△ABG≌△DEH(AAS),
∴BG=EH.同理可得,△AGC≌△DHF(HL),
∴CG=FH,
∴BC=EF.在△ABC和△DEF中,{AB=DE,AC=DF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(3)这两个钝角三角形全等.提示:如图2,在钝角△ABC和钝角△DEF中,AB=DE,AC=DF,∠B=∠E,作AG⊥BC,DH⊥EF，垂足分别为G,H.
∵∠ABC=∠DEF,
∴∠ABG=∠DEH.在△ABG和△DEH中,{∠ABG=∠DEH,∠AGB=∠DHE,AB=DE,
∴△ABG≌△DEH(AAS),
∴AG=DH.在Rt△ACG和Rt△DFH中,{AG=DH,AC=DF,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),
∴∠C=∠F.在△ABC和△DEF中,{∠C=∠F,∠ABC=∠DEF,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
(1)证明:在Rt△ABC和Rt△DEF中,{AB=DE,AC=DF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
(2)证明:如图1,作AG⊥BC,DH⊥EF，垂足分别为G,H.在△ABG和△DEH中,{∠B=∠E,∠AGB=∠DHE,AB=DE,
∴△ABG≌△DEH(AAS),
∴BG=EH.同理可得,△AGC≌△DHF(HL),
∴CG=FH,
∴BC=EF.在△ABC和△DEF中,{AB=DE,AC=DF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(3)这两个钝角三角形全等.提示:如图2,在钝角△ABC和钝角△DEF中,AB=DE,AC=DF,∠B=∠E,作AG⊥BC,DH⊥EF，垂足分别为G,H.
∵∠ABC=∠DEF,
∴∠ABG=∠DEH.在△ABG和△DEH中,{∠ABG=∠DEH,∠AGB=∠DHE,AB=DE,
∴△ABG≌△DEH(AAS),
∴AG=DH.在Rt△ACG和Rt△DFH中,{AG=DH,AC=DF,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),
∴∠C=∠F.在△ABC和△DEF中,{∠C=∠F,∠ABC=∠DEF,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
