8. 如图,在△ABC中,AC= BC,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,连接BD,BE.
(1)判断△ABD的形状,并给出证明；
(2)求证：BE平分∠ABD.

(1)△ABD是等边三角形。
证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴AB=AD（旋转性质：对应边相等），∠BAD=60°（旋转角为60°）。
∴△ABD是等腰三角形，且∠BAD=60°。
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
(2)证明：∵△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴△ABC≌△ADE，∴AE=AC，DE=BC（全等三角形对应边相等）。
∵AC=BC，∴AE=DE。
∵△ABD是等边三角形，∴AB=BD。
在△ABE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=DE,\\ AB=DB,\\ BE=BE,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DBE（SSS）。
∴∠ABE=∠DBE（全等三角形对应角相等）。
∴BE平分∠ABD。

在△ABC中,AB= AC,∠BAC= α(0°＜α＜60°).将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图①,直接写出∠ABD的大小；(用含α的式子表示)
(2)如图②,∠BCE= 150°,∠ABE= 60°,判断△ABE的形状并给出证明；
(3)在(2)的条件下,连接DE,若∠DEC= 45°,求α的值.

(1) $30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$
(2) △ABE是等边三角形。证明如下：
∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得BD，∴BC=BD，∠CBD=60°，故△BCD为等边三角形，∴BC=BD=CD，∠BCD=60°。
∵∠ABE=60°，∠CBD=60°，∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，即∠ABD=∠CBE。
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，则∠ABD=∠ABC-∠CBD=$90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-60^{\circ}=30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，故∠CBE=$30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$。
在△ABD中，∠BAD=$\frac{\alpha}{2}$（AB=AC，AD=AD，BD=CD，△ABD≌△ACD），∠ABD=$30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-$\frac{\alpha}{2}-(30^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=150^{\circ}$。
∵∠BCE=150°，∴∠ADB=∠BCE。又BD=BC，∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB=BE。
∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形。
(3) 30°

(1)$30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$
(2)$\triangle ABE$是等边三角形.
证明：连接AD,CD.
$\because AB=AC,\angle BAC=\alpha$
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$
$\because$线段BC绕点B逆时针旋转$60^{\circ}$得到线段BD
$\therefore BD=BC,\angle DBC=60^{\circ}$
$\therefore \triangle BCD$是等边三角形
$\therefore CD=BC,\angle BCD=60^{\circ}$
$\because \angle ABE=60^{\circ}$
$\therefore \angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-60^{\circ}=30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$
$\angle EBC=\angle ABE-\angle ABC=60^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=\frac{\alpha}{2}-30^{\circ}$
$\because \angle BCE=150^{\circ}$
$\therefore \angle ECD=\angle BCE-\angle BCD=150^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\AD=AD\\BD=CD\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD\cong\triangle ACD(SSS)$
$\therefore \angle BAD=\angle CAD=\frac{\alpha}{2}$
$\angle ADB=\angle ADC$
$\because \angle BDC=60^{\circ}$
$\therefore \angle ADC=\frac{360^{\circ}-\angle BDC}{2}=150^{\circ}$
$\therefore \angle ADB=150^{\circ}$
在$\triangle ABD$和$\triangle EBC$中
$\left\{\begin{array}{l}\angle ADB=\angle ECB=150^{\circ}\\\angle ABD=\angle EBC\\BD=BC\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD\cong\triangle EBC(AAS)$
$\therefore AB=BE$
$\because \angle ABE=60^{\circ}$
$\therefore \triangle ABE$是等边三角形
(3)$\alpha=30^{\circ}$