2. 数与形相结合,在以前学习中经常碰到,如乘法分配律$c×(a+b)= ac+bc$可以通过画面积图证明:,长是$(a+b)$,宽是c,面积就是$c×(a+b)= ac+bc$;再如$n^{2}$可以算出边长为n的正方形的面积。
问题:小明说:“$(a+b)^{2}= a^{2}+b^{2}$。”小刚说:“这是错误的,我把数代入后,发现不对。”
你能不能画一幅平面图,证明$(a+b)^{2}不等于a^{2}+b^{2}$?
思考:$n^{2}$是边长为n的正方形的面积,那么$(a+b)^{2}$该是怎样边长的正方形的面积呢? (请按照画图→分块计算面积→求出总面积→得出结论的步骤完成此题)

画图
画一个边长为$(a+b)$的大正方形，在其一条边上取长度$a$，剩余部分为$b$，过该点作邻边的垂线，将大正方形分割为4个部分：1个边长为$a$的小正方形，1个边长为$b$的小正方形，2个长为$a$、宽为$b$的长方形。
分块计算面积
边长为$a$的小正方形面积：$a^2$
边长为$b$的小正方形面积：$b^2$
每个长方形面积：$a × b = ab$，2个长方形总面积：$2ab$
求出总面积
大正方形面积 = 各部分面积之和，即：
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
得出结论
因为$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，而$a^2 + 2ab + b^2 \neq a^2 + b^2$（$a,b \neq 0$时），所以$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$。

3. 有同学通过观察右图写出了$1+3+5= 3^{2}$,有同学通过观察右图发现$1+2+3+2+1= 3^{2}$。想一想,他们是怎么观察的,并画一画。请你画图并计算$1+2+3+4+5+4+3+2+1$的结果。

本题可通过画图的方式，将$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$转化为正方形方阵的形式，进而得出结果。
1. 画图分析
画一个边长为$5$的正方形方阵，从$1$到$5$再从$4$到$1$来表示该算式。
可以想象成由小正方形组成的图形，第一行$1$个小正方形，第二行$2$个小正方形，第三行$3$个小正方形，第四行$4$个小正方形，第五行$5$个小正方形，然后第四行$4$个小正方形，第三行$3$个小正方形，第二行$2$个小正方形，第一行$1$个小正方形，组合成一个边长为$5$的正方形方阵。
2. 计算结果
因为该图形构成了一个边长为$5$的正方形，根据正方形面积公式$S = a^2$（其中$S$表示面积，$a$表示边长），所以$1+2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1=5^2 = 25$。
综上，画图为组成边长为$5$的正方形方阵，计算结果为$25$。