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1. 下列命题中,真命题是(
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.相等的弦所对的弧相等
C.度数相等的弧是等弧
D.在同心圆中,同一圆心角所对的两条弧的度数相等
D
)A.相等的圆心角所对的弧相等
B.相等的弦所对的弧相等
C.度数相等的弧是等弧
D.在同心圆中,同一圆心角所对的两条弧的度数相等
答案
D
解析
A. 对于相等的圆心角，它们所对的弧相等这一说法，需要明确是在同一个圆或等圆中。题目没有给出这一条件，所以A选项是错误的。
B. 对于相等的弦所对的弧相等，同样需要明确是在同一个圆或等圆中，并且弦所对的弧有优弧和劣弧之分，所以B选项也是错误的。
C. 度数相等的弧不一定是等弧。等弧的定义是在同一个圆或等圆中，能够完全重合的弧。仅仅度数相等并不能保证两个弧能够完全重合，所以C选项是错误的。
D. 在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等。这是因为在同心圆中，圆心角的大小决定了它所对的弧的度数，与圆的半径无关。所以D选项是正确的。
B. 对于相等的弦所对的弧相等，同样需要明确是在同一个圆或等圆中，并且弦所对的弧有优弧和劣弧之分，所以B选项也是错误的。
C. 度数相等的弧不一定是等弧。等弧的定义是在同一个圆或等圆中，能够完全重合的弧。仅仅度数相等并不能保证两个弧能够完全重合，所以C选项是错误的。
D. 在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等。这是因为在同心圆中，圆心角的大小决定了它所对的弧的度数，与圆的半径无关。所以D选项是正确的。
2. 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,C,D 是$\widehat{BE}$的三等分点,∠AOE= 60°,则∠COE的度数为(
A.40°
B.60°
C.80°
D.120°
C
)A.40°
B.60°
C.80°
D.120°
答案
C
解析
∵AB是⊙O的直径，∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°.
∵C，D是$\widehat{BE}$的三等分点，
∴$\widehat{BC}=\widehat{CD}=\widehat{DE}$.
∴∠COE=∠BOE-∠BOC=120°-$\frac{120°}{3}$=80°.
答案：C
3. 如图,在⊙O 中,弦 AD//BC,DA= DC,∠ADC= 100°,则∠BCO 的度数为(
A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
B
)A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
答案
B
解析
在△ADC中，DA=DC，∠ADC=100°，
∴∠DAC=∠DCA=(180°-100°)/2=40°。
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC=40°。
设OC=OB=r，∠BOC=2∠BAC=2×40°=80°，
在△BOC中，∠BCO=(180°-∠BOC)/2=(180°-80°)/2=50°。
又
∵∠DCA=40°，
∴∠BCO=∠ACB - ∠DCA=50° - 40°=10°。（此步骤错误，正确应为：连接OD，OA，因为DA=DC，所以弧DA=弧DC，所以∠DOC=∠DOA，又因为AD//BC，所以∠ACB=∠CAD=40°，所以∠AOB=2∠ACB=80°，设圆心角∠AOD=∠COD=x，则∠BOC=360°-2x-80°，因为OB=OC，所以∠BCO=(180°-∠BOC)/2=(180°-(360°-2x-80°))/2=(2x-100°)/2=x-50°，又因为∠CAD=40°，∠CAD是圆周角，所对弧CD，所以弧CD=80°，所以x=80°，所以∠BCO=80°-50°=30°）
B
∴∠DAC=∠DCA=(180°-100°)/2=40°。
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC=40°。
设OC=OB=r，∠BOC=2∠BAC=2×40°=80°，
在△BOC中，∠BCO=(180°-∠BOC)/2=(180°-80°)/2=50°。
又
∵∠DCA=40°，
∴∠BCO=∠ACB - ∠DCA=50° - 40°=10°。（此步骤错误，正确应为：连接OD，OA，因为DA=DC，所以弧DA=弧DC，所以∠DOC=∠DOA，又因为AD//BC，所以∠ACB=∠CAD=40°，所以∠AOB=2∠ACB=80°，设圆心角∠AOD=∠COD=x，则∠BOC=360°-2x-80°，因为OB=OC，所以∠BCO=(180°-∠BOC)/2=(180°-(360°-2x-80°))/2=(2x-100°)/2=x-50°，又因为∠CAD=40°，∠CAD是圆周角，所对弧CD，所以弧CD=80°，所以x=80°，所以∠BCO=80°-50°=30°）
B
4. 如图,C,D 为半圆上的三等分点,则下列说法正确的有(
①$\widehat{AD}= \widehat{CD}= \widehat{BC}$.②∠AOD= ∠DOC= ∠BOC.③AD= CD= OC.④△AOD 沿 OD 翻折与△COD 重合.
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
A
)①$\widehat{AD}= \widehat{CD}= \widehat{BC}$.②∠AOD= ∠DOC= ∠BOC.③AD= CD= OC.④△AOD 沿 OD 翻折与△COD 重合.
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
答案
A
解析
∵C,D为半圆上的三等分点，AB为直径，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}=\widehat{BC}=\frac{180^\circ}{3}=60^\circ$，①正确；
∵在同圆中，等弧所对的圆心角相等，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，②正确；
∵OA=OD=OC，∠AOD=∠DOC=60°，
∴△AOD和△COD均为等边三角形，
∴AD=OD=OA，CD=OD=OC，
∴AD=CD=OC，③正确；
∵△AOD和△COD均为等边三角形，
∴AD=CD，OA=OC，OD=OD，
∴△AOD≌△COD，
∴△AOD沿OD翻折与△COD重合，④正确。
综上，①②③④均正确，共4个。
答案：A
5. 如图,在⊙O 中,$\widehat{AB}= \widehat{CD}$,有以下结论：①AB= CD.②AC= BD.③∠AOC= ∠BOD.④$\widehat{AC}= \widehat{BD}$.其中正确的有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
D
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
D
解析
在⊙O中，$\widehat{AB}=\widehat{CD}$。
①同圆中，等弧所对的弦相等，故AB=CD，正确。
②$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，两边同减$\widehat{BC}$得$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，等弧所对的弦相等，故AC=BD，正确。
③同圆中，等弧所对的圆心角相等，$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，则∠AOB=∠COD，两边同减∠COB得∠AOC=∠BOD，正确。
④由②知$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，正确。
综上，①②③④均正确，共4个。
D
①同圆中，等弧所对的弦相等，故AB=CD，正确。
②$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，两边同减$\widehat{BC}$得$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，等弧所对的弦相等，故AC=BD，正确。
③同圆中，等弧所对的圆心角相等，$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，则∠AOB=∠COD，两边同减∠COB得∠AOC=∠BOD，正确。
④由②知$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，正确。
综上，①②③④均正确，共4个。
D
