1. 以下列各组线段为三边,能组成三角形的是()
A.$3\ cm,3\ cm,6\ cm$
B.$5\ cm,6\ cm,2\ cm$
C.$2\ cm,7\ cm,4\ cm$
D.$12\ cm,4\ cm,7\ cm$

B

根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断：
A选项：$3+3=6$，不大于第三边，不能组成三角形；
B选项：$5+2=7\gt6$，$5+6=11\gt2$，$6+2=8\gt5$，能组成三角形；
C选项：$2+4=6\lt7$，不大于第三边，不能组成三角形；
D选项：$4+7=11\lt12$，不大于第三边，不能组成三角形。

2. 现有两根木棒,它们的长度分别为$20\ cm和30\ cm$,要钉成一个三角形木架,则第三根木棒可在下列长度的四根木棒中选取()
A.$10\ cm$
B.$20\ cm$
C.$50\ cm$
D.$60\ cm$

B

设第三根木棒的长度为$x\ cm$，根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知两边长分别为$20\ cm$和$30\ cm$，则：
$30 - 20 ＜ x ＜ 30 + 20$，即$10 ＜ x ＜ 50$。
选项中满足$10 ＜ x ＜ 50$的只有$20\ cm$。

3. 如图,要让由$5$根木条钉成的五边形木架不变形,至少要再钉上()根木条.

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

A

根据三角形具有稳定性这一原理，要将五边形分割成三角形，使其不变形。从五边形的一个顶点出发，可引出$5 - 3=2$条对角线，将五边形分成$3$个三角形，所以要至少再钉上$2$根木条。

4. 一个三角形的两边长分别是$2和3$,若它的第三边长为奇数,则这个三角形的周长为.

$8$

设第三边长为 $x$，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，有：
$3 - 2 ＜ x ＜ 3 + 2$，
即：
$1 ＜ x ＜ 5$。
由于 $x$ 必须是奇数，在 $1 ＜ x ＜ 5$ 的范围内，只有 $3$ 是奇数。
因此，第三边的长度是 $3$，三角形的周长为：
$2 + 3 + 3 = 8$。

5. 用一根长为$25\ cm$的绳子围一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的$2$倍,那么三角形的各边长是多少?
(2)能围成有一边的长是$6\ cm$的等腰三角形吗？为什么?

(1)设底边长为$x\ cm$，则腰长为$2x\ cm$。
由等腰三角形的性质，有：
$x + 2x + 2x = 25$，
合并同类项得：
$5x = 25$，
解得：
$x = 5$，
将$x = 5$代入腰长，得：
$2x = 10$，
所以，三角形的各边长为：$10\ cm$，$10\ cm$，$5\ cm$。
(2)若$6\ cm$为底时，腰长为$\frac{25 - 6}{2} = 9.5\ cm$。
根据三角形的三边关系，有：
$6 + 9.5 ＞ 9.5$，$9.5 + 9.5 ＞ 6$，
满足三角形的三边关系，所以能构成三角形。
若$6\ cm$为腰时，底边长为$25 - 6 × 2 = 13\ cm$。
根据三角形的三边关系，有：
$6 + 6 ＜ 13$，
不满足三角形的三边关系，所以不能构成三角形。
综上，能围成有一边的长是$6\ cm$的等腰三角形，且底边长为$6cm$，两腰长分别为$9.5cm$，$9.5cm$。

6. 老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形,三根小木棍的长度分别为$5\ cm$,$9\ cm$,$10.5\ cm$,需要从$10.5\ cm$的小木棍上截取一段作边(参与拼图的小木棍的长度为整数),则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为()
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$

C

设从10.5cm木棍上截取的一段长度为x cm（x为整数），则三角形三边为5cm、9cm、x cm。根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
1. $5 + 9 ＞ x \Rightarrow x ＜ 14$；
2. $5 + x ＞ 9 \Rightarrow x ＞ 4$；
3. $9 + x ＞ 5$（恒成立）。
故x的取值范围为$4 ＜ x ＜ 14$。又因x需从10.5cm木棍截取，所以$x \leq 10$（x为整数）。综上，x可取5,6,7,8,9,10，共6个值。

7. 如图,已知平面内有$A,O,B$三点,其中$OA = 3$,$OB = 5$,当线段$OA绕点O$转动(不与$OB$共线)时,$A,B两点间的距离x的取值范围恰好包含了关于x的不等式组\begin{cases}-2x + 1\leq -5, \\x + \frac{5a + 4}{3} ＞ \frac{4}{3}(x + 1) + a \end{cases} $的所有整数解,试确定$a$的取值范围.

$\frac{7}{2} ＜ a \leq 4$

解不等式组：
$\begin{cases}-2x + 1 \leq -5 \\x + \frac{5a + 4}{3} ＞ \frac{4}{3}(x + 1) + a\end{cases}$
解第一个不等式：
$-2x + 1 \leq -5 \implies -2x \leq -6 \implies x \geq 3$
解第二个不等式：
$x + \frac{5a + 4}{3} ＞ \frac{4}{3}(x + 1) + a$
两边同乘3：
$3x + 5a + 4 ＞ 4(x + 1) + 3a \implies 3x + 5a + 4 ＞ 4x + 4 + 3a \implies -x ＞ -2a \implies x ＜ 2a$
不等式组解集为$3 \leq x ＜ 2a$。
由三角形三边关系，$AB$的范围：$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，即$2 ＜ x ＜ 8$。
不等式组所有整数解为$3, 4, 5, 6, 7$，则：
$7 ＜ 2a \leq 8 \implies \frac{7}{2} ＜ a \leq 4$
$\frac{7}{2} ＜ a \leq 4$

如图,在$\triangle ABC$中,$AE$是中线,$AD$是角平分线,$AF$是高,则：

(1)$\because AE是\triangle ABC$的中线,$\therefore BE= $$=\frac{1}{2}$；
(2)$\because AD是\triangle ABC$的角平分线,$\therefore\angle BAD= $$=\frac{1}{2}$；
(3)$\because AF是\triangle ABC$的高,$\therefore\angle AFB= $$=90^{\circ}$；
(4)$\because AE是\triangle ABC$的中线,$\therefore BE= CE$,$\therefore S_{\triangle ABE}= \frac{1}{2}$$=S_{\triangle ACE}$。
思考 ①三角形的中线、角平分线、高都是线段吗？②三角形的三条中线相交于一点吗？三条角平分线呢？三条高呢？
练习 给出命题：①三角形的角平分线是射线；②三角形的高所在的直线交于一点,这一点不在三角形内就在三角形外；③任何一个三角形都有三条中线、三条角平分线、三条高；④三角形的三条角平分线交于一点,且这点在三角形内。其中正确的命题有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

(1)CE；BC；(2)∠CAD；∠BAC；(3)∠AFC；(4)S△ABC；B

(1)∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC；
(2)∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC；
(3)∵AF是△ABC的高，∴∠AFB=∠AFC=90°；
(4)∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE，∴S△ABE=$\frac{1}{2}$S△ABC=S△ACE。
思考①：三角形的中线、角平分线、高都是线段。
思考②：三角形的三条中线相交于一点，三条角平分线相交于一点，三条高所在直线相交于一点。
练习：①三角形的角平分线是线段，故①错误；②直角三角形三条高的交点是直角顶点，在三角形内，故②错误；③任何一个三角形都有三条中线、三条角平分线、三条高，故③正确；④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，故④正确。正确的命题有2个。