1. 等边三角形的三个角都,且每个角都等于。

相等，60°

根据等边三角形的性质，等边三角形的三个角都相等，因为三角形内角和为180°，所以每个角都等于180°÷3=60°。

2. 三个角都的三角形是等边三角形；有一个角是$60^{\circ}$的是等边三角形。

相等；等腰三角形

根据等边三角形的判定定理，三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形。

填空(1)如图,在正三角形$ABC$中,$AD\perp BC于点D$,则$\angle BAD= $°。

(2)已知$\triangle ABC$中,$AB = AC = 5$,$\angle A = 60^{\circ}$,则$\triangle ABC$的周长为。

(1)$30$
(2)$15$

(1)
因为$\triangle ABC$是正三角形，所以$\angle BAC = 60^{\circ}$。
又因为$AD\perp BC$，在正三角形中三线合一，$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$。
(2)
因为$AB = AC=5$，$\angle A = 60^{\circ}$，有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，所以$\triangle ABC$是等边三角形，则$BC = 5$。
那么$\triangle ABC$的周长为$AB + AC+BC=5 + 5+5 = 15$。

例 1 如图,$\triangle ABC$为等边三角形,$BD\perp AC于点D$,$DE// BC交AB于点E$。
(1)求证：$\triangle ADE$是等边三角形；
(2)求证：$AE= \frac{1}{2}AB$。

名师导引 熟练掌握等边三角形的性质与判定,是解决与等边三角形有关的几何问题的关键。

(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC。
∵DE//BC，
∴∠AED=∠ABC=60°，∠ADE=∠C=60°。
∴∠A=∠AED=∠ADE=60°。
∴△ADE是等边三角形。
(2)证明：
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴AD=DC=1/2AC（等腰三角形三线合一）。
∵AC=AB，
∴AD=1/2AB。
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD。
∴AE=1/2AB。

变式训练 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$AD$是高,并且$AB恰好是DE$的垂直平分线。求证：$\triangle ADE$是等边三角形。

证明：
1. ∵△ABC是等边三角形，AD是高，
∴AD平分∠BAC（等边三角形三线合一），∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，∠ADB=90°（垂直定义）。
2. ∵AB是DE的垂直平分线，
∴AE=AD（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴△ADE是等腰三角形。
3. ∵AB垂直平分DE，设AB与DE交于点O，
∴AB⊥DE，即∠AOE=∠AOD=90°。
∵AE=AD，AO=AO，
∴Rt△AOE≌Rt△AOD（HL），
∴∠OAE=∠OAD（全等三角形对应角相等）。
4. ∵∠OAD=∠BAD=30°（已证），
∴∠OAE=30°，
∴∠EAD=∠OAE+∠OAD=30°+30°=60°。
5. ∵△ADE是等腰三角形（AE=AD）且∠EAD=60°，
∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
结论：△ADE是等边三角形。

例 2 如图,等边三角形$ABC$中,$D为BC$上一点,$\angle ADE = 60^{\circ}$,$DE与\angle ACB的外角的平分线交于点E$。
求证：$AC = CD + CE$。

名师导引 “截长补短”是解决线段和、差问题的常用方法。可根据已知条件结合图形特点选择“截”或“补”。

证明：在AC上截取CF=CD，连接DF。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC。
∵CF=CD，∠ACB=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴DF=CD，∠CDF=60°，∠DFC=60°，
∴∠AFD=180°-∠DFC=120°。
∵CE平分∠ACB的外角，∠ACB=60°，
∴∠ACB的外角=180°-60°=120°，
∴∠DCE=∠ACB+$\frac{1}{2}$×120°=60°+60°=120°，
∴∠AFD=∠DCE。
∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°+∠BAD（三角形外角性质），
∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC（已知∠ADE=60°），
∴∠BAD=∠EDC，即∠FAD=∠EDC。
在△AFD和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}∠FAD=∠EDC\\∠AFD=∠ECD\\DF=CD\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△ECD（AAS），
∴AF=CE。
∵AF=AC-CF=AC-CD，
∴AC-CD=CE，即AC=CD+CE。

变式训练 如图,把例 2 中的“$D为BC$上一点”改为“$D为BC$延长线上一点”,其余条件不变,“$AC = CD + CE$”还成立吗？如果不成立,请写出你的结论,并证明。

不成立，结论为$CE = AC + CD$。
证明：
∵$\triangle ABC$是等边三角形，
∴$AB = AC$，$\angle BAC = 60°$。
∵$\triangle ADE$是等边三角形，
∴$AD = AE$，$\angle DAE = 60°$。
∴$\angle BAC + \angle CAD = \angle DAE + \angle CAD$，即$\angle BAD = \angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，
$\begin{cases} AB = AC \\ \angle BAD = \angle CAE \\ AD = AE \end{cases}$，
∴$\triangle ABD \cong \triangle ACE(SAS)$。
∴$BD = CE$。
∵$D$为$BC$延长线上一点，
∴$BD = BC + CD$。
∵$\triangle ABC$是等边三角形，$BC = AC$，
∴$BD = AC + CD$。
∴$CE = AC + CD$。