6. 在△ABC 中,AD 为边 BC 上的高,∠ABC = 30°,∠CAD = 20°,则∠BAC = °.

40或80

分两种情况：
①当AD在△ABC内部时，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=20°，则∠C=90°-20°=70°。在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=70°，∴∠BAC=180°-30°-70°=80°；
②当AD在△ABC外部时，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=20°，则∠ACD=90°-20°=70°，∴∠ACB=180°-70°=110°。在△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°-30°-110°=40°。
综上，∠BAC=40°或80°。

7. 如图,轮船从 B 处出发以每小时 50 海里的速度沿南偏东 30°方向匀速航行,在 B 处观测灯塔 A 位于南偏东 75°方向,轮船航行半小时到达 C 处,在 C 处观测灯塔 A 位于北偏东 60°方向,求∠A 的度数.

45°

在△ABC中，求∠A的度数如下：
1. 求∠ABC：
轮船从B沿南偏东30°航行至C，灯塔A在B处南偏东75°方向。
∠ABC = 75° - 30° = 45°。
2. 求∠ACB：
在C处，灯塔A位于北偏东60°方向，轮船从B到C的方向为南偏东30°，故C处观测B为北偏西30°方向。
∠ACB = 30° + 60° = 90°。
3. 求∠A：
由三角形内角和定理，∠A = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 45° - 90° = 45°。

8. 在△ABC 中,∠B ＜ ∠C,AD 是∠BAC 的平分线.


(1)如图 1,AE 是△ABC 边 BC 上的高,∠B = 36°,∠C = 70°,求∠DAE 的度数；
(2)如图 2,点 E 在 AD 上,EF⊥BC 于 F,猜想∠DEF 与∠B,∠C 的数量关系,并证明你的结论.

(1)
在$\triangle ABC$中，$\angle B = 36^{\circ}$，$\angle C = 70^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C=180^{\circ}-36^{\circ}-70^{\circ}=74^{\circ}$。
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 37^{\circ}$。
在$\triangle ABE$中，$AE\perp BC$，$\angle B = 36^{\circ}$，则$\angle BAE = 90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}$。
所以$\angle DAE=\angle BAE-\angle BAD = 54^{\circ}-37^{\circ}=17^{\circ}$。
(2)
猜想：$\angle DEF=\frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$。
证明：
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。
又因为$\angle BAC = 180^{\circ}-\angle B - \angle C$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B - \angle C)=90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD=\angle B + 90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle B + \angle C)=90^{\circ}+\frac{1}{2}(\angle B - \angle C)$。
因为$EF\perp BC$，在$\triangle EDF$中，$\angle DEF = 90^{\circ}-\angle EDF$，而$\angle EDF=\angle ADC$，所以$\angle DEF=90^{\circ}-[90^{\circ}+\frac{1}{2}(\angle B - \angle C)]=\frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$。
综上，答案为：(1)$17^{\circ}$；(2)$\angle DEF=\frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$，证明过程如上述。

9. 如图,BP 平分∠ABD,CP 平分∠ACD.
(1)求证：∠BPC = ∠A + ∠ABP + ∠ACP；
(2)若∠A = 80°,∠D = 160°,求∠P 的度数.

(2)140°

(1)延长BP交AC于点E。
∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠ABP。
∵∠BPC是△PEC的外角，∴∠BPC=∠BEC+∠ACP。
∴∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP。
(2)∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠ABP=1/2∠ABD，∠ACP=1/2∠ACD，
∴∠ABP+∠ACP=1/2(∠ABD+∠ACD)。
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°。
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=180°-∠D=180°-160°=20°。
∵∠ABD=∠ABC+∠DBC，∠ACD=∠ACB+∠DCB，
∴∠ABD+∠ACD=(∠ABC+∠ACB)+(∠DBC+∠DCB)=100°+20°=120°。
∴∠ABP+∠ACP=1/2×120°=60°。
由(1)得∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP=80°+60°=140°。

10. 如图,已知线段 AB,CD 相交于点 O,连接 AD,CB,我们把形如图 1 的图形称为“8 字形”. 试解答下列问题：
(1)在图 1 中,试说明∠A,∠B,∠C,∠D 之间的数量关系；
(2)如图 2,在(1)的结论下,∠DAB 和∠BCD 的角平分线 AP 和 CP 相交于点 P,AP 与 CD 相交于点 M,CP 与 AB 相交于点 N.
①若∠D = 40°,∠B = 36°,则∠P = ______°；
②探究∠P 与∠D,∠B 之间的数量关系,并说明理由.

(1) 在△AOD中，∠A+∠D+∠AOD=180°，则∠A+∠D=180°-∠AOD；在△BOC中，∠B+∠C+∠BOC=180°，则∠B+∠C=180°-∠BOC。
∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴∠A+∠D=∠B+∠C。
(2) ①
② ∠P= (∠B+∠D)/2。
理由：设∠DAP=∠PAB=x，∠BCP=∠PCD=y。
在“8字形”△ADM和△PMC中，∠D+∠x=∠P+∠y ①；
在“8字形”△ANP和△BNC中，∠B+∠y=∠P+∠x ②。
①+②得：∠D+∠B+∠x+∠y=2∠P+∠x+∠y，
∴∠D+∠B=2∠P，即∠P= (∠B+∠D)/2。

(1) 在△AOD中，∠A+∠D+∠AOD=180°，则∠A+∠D=180°-∠AOD；在△BOC中，∠B+∠C+∠BOC=180°，则∠B+∠C=180°-∠BOC。
∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴∠A+∠D=∠B+∠C。
(2) ① 38
② ∠P= (∠B+∠D)/2。
理由：设∠DAP=∠PAB=x，∠BCP=∠PCD=y。
在“8字形”△ADM和△PMC中，∠D+∠x=∠P+∠y ①；
在“8字形”△ANP和△BNC中，∠B+∠y=∠P+∠x ②。
①+②得：∠D+∠B+∠x+∠y=2∠P+∠x+∠y，
∴∠D+∠B=2∠P，即∠P= (∠B+∠D)/2。