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1. 下列命题中,为假命题的是 (
A.两个等边三角形相似
B.有一个角为20°的两个直角三角形相似
C.两个等腰直角三角形相似
D.两个直角三角形相似
D
)A.两个等边三角形相似
B.有一个角为20°的两个直角三角形相似
C.两个等腰直角三角形相似
D.两个直角三角形相似
答案
D
解析
A. 等边三角形各角均为$60^\circ$，三边成比例，相似，真命题；
B. 直角三角形两锐角互余，有一个角为$20^\circ$，则另一锐角为$70^\circ$，三角对应相等，相似，真命题；
C. 等腰直角三角形各角为$45^\circ,45^\circ,90^\circ$，三边比为$1:1:\sqrt{2}$，相似，真命题；
D. 两直角三角形仅直角相等，锐角不一定对应相等，三边不一定成比例，不一定相似，假命题。
D
B. 直角三角形两锐角互余，有一个角为$20^\circ$，则另一锐角为$70^\circ$，三角对应相等，相似，真命题；
C. 等腰直角三角形各角为$45^\circ,45^\circ,90^\circ$，三边比为$1:1:\sqrt{2}$，相似，真命题；
D. 两直角三角形仅直角相等，锐角不一定对应相等，三边不一定成比例，不一定相似，假命题。
D
2. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有 (
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
)A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
C
解析
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°。
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC。
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC。
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ADC=∠BDC，
∴△ACD∽△CBD。
综上，相似三角形共有3对。
C
3. 在△ABC和△A'B'C'中,∠A= ∠A'= 85°,∠B= 50°,∠C'= 45°,则这两个三角形
是
相似三角形.(填“是”或“不是”)答案
是
解析
在△ABC中，∠A=85°，∠B=50°，则∠C=180°-∠A-∠B=180°-85°-50°=45°。
在△A'B'C'中，∠A'=85°，∠C'=45°，则∠B'=180°-∠A'-∠C'=180°-85°-45°=50°。
所以∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。
是
在△A'B'C'中，∠A'=85°，∠C'=45°，则∠B'=180°-∠A'-∠C'=180°-85°-45°=50°。
所以∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。
是
4. 如图,AE与BD相交于点C,要使△ABC∽△DEC,需要条件：
∠A=∠D（答案不唯一）
.(只需写一个条件)答案
∠A=∠D（答案不唯一）
解析
要使△ABC∽△DEC，已知∠ACB=∠DCE（对顶角相等），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可添加条件∠A=∠D或∠B=∠E；根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可添加条件$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}$。此处选择添加∠A=∠D。
5. 如图,∠1= ∠2,∠C= ∠D. 试说明：△ABC∽△EBD.
答案
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EBC=∠2+∠EBC，即∠ABC=∠EBD。
∵∠C=∠D，
∴△ABC∽△EBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴∠1+∠EBC=∠2+∠EBC，即∠ABC=∠EBD。
∵∠C=∠D，
∴△ABC∽△EBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
6. 如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证：△ABE∽△DFA；
(2)若AB= 6,BC= 4,求线段DF的长.
(1)求证：△ABE∽△DFA；
(2)若AB= 6,BC= 4,求线段DF的长.
答案
(1)见证明过程；(2)DF=6√10/5。
解析
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∴∠B=∠AFD，
∴△ABE∽△DFA；
(2)
∵BC=4，E是BC的中点，
∴BE=2，
∵AB=6，∠B=90°，
∴AE=$\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=2\sqrt{10}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，
∵△ABE∽△DFA，
∴$\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{6}{DF}=\frac{2\sqrt{10}}{4}$，
∴DF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$。
