思考 ①乘方与乘法运算有什么关系？②负数的幂的正负与指数有什么关系？

①乘方是特殊的乘法运算；②负数的奇次幂为负，偶次幂为正。

①乘方是求几个相同因数的积的运算，即乘方是特殊的乘法运算。②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

填空 $(-3)^{3}=$；$5^{4}=$；

-27；625

$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$；$5^4=5×5×5×5=625$

例 1 计算：
(1)$(-2)^{3}$；(2)$3^{3}$；(3)$\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{3}$；
(4)$-\dfrac{3^{3}}{2}$；(5)$-\left(-\dfrac{1}{4^{2}}\right)$。

(1)
$(-2)^{3}=(-2)×(-2)×(-2)= - 8$；
(2)
$3^{3}=3×3×3 = 27$；
(3)
$\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{3}=\left(-\dfrac{1}{5}\right)×\left(-\dfrac{1}{5}\right)×\left(-\dfrac{1}{5}\right)=-\dfrac{1}{125}$；
(4)
$-\dfrac{3^{3}}{2}=-\dfrac{3×3×3}{2}=-\dfrac{27}{2}$；
(5)
$-\left(-\dfrac{1}{4^{2}}\right)=-\left(-\dfrac{1}{16}\right)=\dfrac{1}{16}$。

变式训练 计算：
(1)$(-1)^{2024}$；(2)$0^{3}$；(3)$-\left(-\dfrac{1^{4}}{2}\right)$；
(4)$-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}$；(5)$-0.1^{3}$。

(1)
$(-1)^{2024}=1$
(2)
$0^{3}=0$
(3)
$-\left(-\dfrac{1^{4}}{2}\right)=-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$
(4)
$-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=-\dfrac{2^{3}}{3^{3}}=-\dfrac{8}{27}$
(5)
$-0.1^{3}=-0.1×0.1×0.1 = -0.001$

例 2 计算：
(1)$6÷ \left(-\dfrac{3}{2}\right)× (-2)^{3}$；
(2)$2× (-3)^{3}-4× (-3)+15$；
(3)$\left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right|÷ \left(-\dfrac{1}{12}\right)-\dfrac{1}{8}× (-2)^{3}$；
(4)$-|-9|÷ (-3)^{2}+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\right)× (-12)$。

(1)原式=6÷(-3/2)×(-8)=6×(-2/3)×(-8)=(-4)×(-8)=32
(2)原式=2×(-27)-4×(-3)+15=-54+12+15=-27
(3)原式=| -1/6 |÷(-1/12)-1/8×(-8)=1/6×(-12)-(-1)=-2+1=-1
(4)原式=-9÷9+(-1/6)×(-12)=-1+2=1

变式训练 计算：
(1)$-2024-|-6|× \left(-\dfrac{1}{3}\right)+(-2)^{2}÷ \dfrac{1}{2}$；
(2)$-6× (-1)^{4}-|-12|÷ \left[-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\right]$。

(1)
首先计算绝对值：$\vert -6\vert = 6$；
计算乘方：$(-2)^{2}=4$；
然后进行乘除运算：
$\vert -6\vert×\left(-\dfrac{1}{3}\right)=6×\left(-\dfrac{1}{3}\right)= - 2$；
$(-2)^{2}÷\dfrac{1}{2}=4×2 = 8$；
最后进行加减运算：
$-2024 - (-2)+8$
$=-2024 + 2 + 8$
$=-2014$
(2)
首先计算乘方：
$(-1)^{4}=1$；
$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}$，$\vert - 12\vert = 12$；
然后进行乘除运算：
$-6×(-1)^{4}=-6×1=-6$；
$\vert -12\vert÷\left[-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\right]=12÷\left(-\dfrac{1}{4}\right)=12×(-4)= - 48$；
最后进行加减运算：
$-6-(-48)$
$=-6 + 48$
$=42$
综上，(1)的答案是$-2014$；(2)的答案是$42$。

例 3 观察下面三行数：
$-2$,$4$,$-8$,$16$,$-32$,$64$,…；
$0$,$6$,$-6$,$18$,$-30$,$66$,…；
$1$,$-2$,$4$,$-8$,$16$,$-32$,…。
(1)第 $1$ 行的第 $7$ 个数是,第 $2$ 行的第 $7$ 个数是；
(2)第 $3$ 行的第 $n(n\geqslant 1$,$n$ 是正整数$)$个数是；
(3)取每行的第 $8$ 个数,求这三个数的和。

(1)
第一行：观察可得，该数列的规律是后一个数是前一个数的$-2$倍，即公比为$-2$的等比数列，首项$a_1 = - 2$，根据等比数列通项公式$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$，这里$n = 7$，$q=-2$，$a_{7}=-2×(-2)^{7 - 1}=-2×64 = - 128$；
第二行：该数列的数比第一行对应的数大$2$，第一行第$7$个数是$-128$，所以第二行第$7$个数是$-128 + 2=-126$。
故答案为：$-128$；$-126$。
(2)
第三行：观察可得，该数列的规律是后一个数是前一个数的$-2$倍，首项$b_1 = 1$，公比$q=-2$，根据等比数列通项公式$b_{n}=b_{1}q^{n - 1}=1×(-2)^{n - 1}=(-2)^{n - 1}$。
故答案为：$(-2)^{n - 1}$。
(3)
第一行：根据等比数列通项公式$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$，$a_{1}=-2$，$q = - 2$，$n = 8$，$a_{8}=-2×(-2)^{7}=256$；
第二行：因为第二行的数比第一行对应的数大$2$，所以第二行第$8$个数是$256 + 2=258$；
第三行：根据等比数列通项公式$b_{n}=(-2)^{n - 1}$，$n = 8$，$b_{8}=(-2)^{7}=-128$；
三个数的和为$256+258-128 = 386$。
综上，答案依次为：(1)$-128$，$-126$；(2)$(-2)^{n - 1}$；(3)$386$。