1. 若 $ a = - 1$,$b = 2$,则代数式 $a^{2}-b^{2}$ 的值为()
A.$-3$
B.$3$
C.$5$
D.$-5$

A

将 $a = -1$ 和 $b = 2$ 代入代数式 $a^{2} - b^{2}$ 中，
$a^{2} = (-1)^{2} = 1$，
$b^{2} = 2^{2} = 4$，
因此，$a^{2} - b^{2} = 1 - 4 = -3$。

2. 如果代数式 $6m^{2}-2m + 3$ 的值为 7,那么代数式 $-3m^{2}+m - 3$ 的值为()
A.$-7$
B.$1$
C.$-1$
D.$-5$

D

由题意得 $6m^2 - 2m + 3 = 7$，
移项可得 $6m^2 - 2m = 4$，
两边同时除以 $-2$，得 $-3m^2 + m = -2$，
所以 $-3m^2 + m - 3 = -2 - 3 = -5$。

3. 已知 $3x - 1$ 与 $7 - 2y$ 的值互为相反数,则 $6y - 9x + 140 = ()$
A.$116$
B.$122$
C.$158$
D.$164$

C

根据题意，$3x - 1$ 与 $7 - 2y$ 互为相反数，因此有：
$3x - 1 + 7 - 2y = 0$，
整理得：
$3x - 2y = -6$，
接下来，要求$6y - 9x + 140$的值。
首先，将$3x - 2y$的值代入：
$6y - 9x + 140 = -3(3x - 2y) + 140$，
这可以简化为：
$-3 × (-6) + 140 = 18 + 140 = 158$。

4. 若 $x^{2}= 9$,$y$ 为立方等于它本身的正数,$z$ 是最大的负整数,且 $x \lt y$,则 $-x + y^{2}-z^{3}=$。

5（题目非选择题形式，按照要求填写数值答案）

由 $x^{2} = 9$，可得 $x = \pm 3$。
$y$ 为立方等于它本身的正数，因为 $1^{3} = 1$，所以 $y = 1$（$0$和$1$的立方等于本身，$0$不是正数，所以$y = 1$）。
$z$ 是最大的负整数，所以 $z = -1$。
又因为 $x \lt y$，$y = 1$，所以 $x = -3$。
将 $x = -3$，$y = 1$，$z = -1$ 代入 $-x + y^{2} - z^{3}$ 可得：
$-x + y^{2} - z^{3}= -(-3) + 1^{2} - (-1)^{3}= 3 + 1 + 1= 5$。

5. 已知 $|a - 4|+|b + 1| = 0$,则 $a + b = $。

3

因为绝对值具有非负性，所以$|a - 4| \geq 0$，$|b + 1| \geq 0$。又因为$|a - 4| + |b + 1| = 0$，所以$|a - 4| = 0$且$|b + 1| = 0$。由此可得$a - 4 = 0$，解得$a = 4$；$b + 1 = 0$，解得$b = -1$。则$a + b = 4 + (-1) = 3$。

6. 定义新运算 $f(x)= \frac{x + 1}{x}$,例如 $f(2)= \frac{2 + 1}{2}= \frac{3}{2}$,$f(\frac{1}{2})= \frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}} = 3$。下列说法正确的有()
① $f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)…\cdot\cdot f(10)= 10$；
② $f(1)+f(\frac{1}{2})+… + f(\frac{1}{10}) = 65$；
③ 当 $f(a)= -1$,$f(b)= 3$ 时,$(a + b)^{2025}= -1$。
A.$0$ 个
B.$1$ 个
C.$2$ 个
D.$3$ 个

B

①$f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdots f(10)$
$=\frac{1 + 1}{1}×\frac{2 + 1}{2}×\frac{3 + 1}{3}×\cdots×\frac{10+1}{10}$
$=2×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\cdots×\frac{11}{10}$
通过约分可得结果为$11\neq10$，所以①错误。
②$f(1)+f(\frac{1}{2})+\cdots + f(\frac{1}{10})$
$=\frac{1 + 1}{1}+\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\frac{1}{10}+1}{\frac{1}{10}}$
$=2 + 3+\cdots+11$
根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，这里$n = 10,a_1=2,a_n = 11$，$S=\frac{10×(2 + 11)}{2}=65$，所以②正确。
③当$f(a)=\frac{a + 1}{a}=-1$，
$a + 1=-a$，
$2a=-1$，解得$a =-\frac{1}{2}$。
当$f(b)=\frac{b + 1}{b}=3$，
$b + 1 = 3b$，
$2b = 1$，解得$b=\frac{1}{2}$。
则$(a + b)^{2025}=(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})^{2025}=0\neq - 1$，所以③错误。
综上，只有②正确，正确的说法有$1$个。

7. 某中学附近有一商店销售一种笔记本和一种签字笔。笔记本的单价是 10 元,签字笔的单价是 2 元。商店决定在“双十一”开展促销活动,提供了 2 种促销方案。
方案一：买一本笔记本送一支签字笔；
方案二：笔记本和签字笔都按定价的 $90\%$ 付款。
两种方案可以同时选择。现在一个学生要到该商店购买 20 本笔记本,$x$ 支 $(x\gt20)$ 签字笔。
(1) 分别用含有 $ x$ 的代数式表示单独选择方案一和方案二所需要的费用；
(2) 若 $x = 30$,通过计算,说明选择方案一划算,还是选择方案二划算；
(3) 当 $x = 30$ 时,你能给出一种更为省钱的方案吗？试写出购买的方法,计算所需费用是多少元。

(1)
方案一：买一本笔记本送一支签字笔，买$20$本笔记本送$20$支签字笔，所以还需要购买$(x - 20)$支签字笔，总费用$y_1 = 20×10 + 2(x - 20)=2x + 160$（元）。
方案二：笔记本和签字笔都按定价的$90\%$付款，总费用$y_2=(20×10 + 2x)×0.9 = 1.8x + 180$（元）。
(2)
当$x = 30$时，
$y_1=2×30 + 160 = 220$（元）。
$y_2=1.8×30 + 180 = 234$（元）。
因为$220\lt 234$，所以方案一划算。
(3)
更为省钱的方案：先按方案一购买$20$本笔记本，获赠$20$支签字笔，再按方案二购买$10$支签字笔。
费用为$20×10+2×10×0.9 = 218$（元）。

例1 用代数式表示下列数量关系：
(1) 买一个足球要 $ m $ 元,买一个篮球要 $ n $ 元,则买 $ 3 $ 个足球、$ 5 $ 个篮球共需要元；
(2) 已知一套数学文化丛书的价格为 $ 80 $ 元. 某校计划购买 $ m $ 套数学文化丛书,则需要花费元；
(3) 标价为 $ m $ 元的商品,若打 $ 7 $ 折出售,则售价为元.

(1) $3m + 5n$
(2) $80m$
(3) $0.7m$

（1）买3个足球花费$3m$元，买5个篮球花费$5n$元，总费用为$3m + 5n$元。
（2）每套价格为80元，购买$m$套的总费用为$80m$元。
（3）打7折即售价为原价的70%，即$0.7m$元。