变式训练 下列根据等式性质进行的变形,不正确的是()
A.如果 $ a = b $,那么 $ a - c = b - c $
B.如果 $ a - c = b - c $,那么 $ a = b $
C.如果 $ ac^2 = bc^2 $,那么 $ a = b $
D.如果 $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $,那么 $ a = b $

C

A选项：根据等式性质1，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立。如果$a = b$，那么$a - c = b - c$，该选项正确。
B选项：同样依据等式性质1，等式两边同时加上同一个数，等式依然成立。如果$a - c = b - c$，那么$a - c + c = b - c + c$，即$a = b$，该选项正确。
C选项：当$c = 0$时，$c^{2}=0$，此时由$ac^{2}=bc^{2}$不能得出$a = b$，因为任何数乘以$0$都为$0$，该选项错误。
D选项：根据等式性质2，等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等。如果$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$（$c\neq0$），那么$a = b$，该选项正确。

例 2 利用等式的性质解下列方程：
(1)$ x + 6 = 21 $； (2)$ -3x + 5 = 32 $；
(3)$ 7x = 28 $； (4)$ 5x = 3x + 18 $.
名师导引 运用等式的性质将一元一次方程化成 $ ax = b $ 的形式,从而得 $ x = \frac{b}{a} $.

(1)
根据等式性质$1$：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
方程$x + 6 = 21$两边同时减去$6$，得$x + 6 - 6 = 21 - 6$，
解得$x = 15$。
(2)
首先根据等式性质$1$，方程$-3x + 5 = 32$两边同时减去$5$，得$-3x + 5 - 5 = 32 - 5$，
即$-3x = 27$。
再根据等式性质$2$：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等。
方程$-3x = 27$两边同时除以$-3$，得$x = -9$。
(3)
根据等式性质$2$，方程$7x = 28$两边同时除以$7$，得$x = 4$。
(4)
首先根据等式性质$1$，方程$5x = 3x + 18$两边同时减去$3x$，得$5x - 3x = 3x + 18 - 3x$，
即$2x = 18$。
再根据等式性质$2$，方程$2x = 18$两边同时除以$2$，得$x = 9$。

变式训练 解下列方程：
(1)$ 3x + 6 = 24 $； (2)$ \frac{1}{4}x + 5 = 3 - \frac{3}{4}x $.

(1)
首先，根据等式性质，方程$3x + 6 = 24$两边同时减去$6$，得到：
$3x+6 - 6=24 - 6$
$3x = 18$
然后，方程两边同时除以$3$，得到：
$3x÷3 = 18÷3$
$x = 6$
(2)
首先，根据等式性质，方程$\frac{1}{4}x + 5 = 3-\frac{3}{4}x$两边同时加上$\frac{3}{4}x$，得到：
$\frac{1}{4}x + 5+\frac{3}{4}x = 3-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x$
$x + 5 = 3$
然后，方程两边同时减去$5$，得到：
$x+5 - 5 = 3 - 5$
$x = - 2$

1. 根据等式的性质进行变形,下列变形正确的是()
A.如果 $ ac^2 = bc^2 $,那么 $ a = b $
B.如果 $ a = b $,那么 $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $
C.如果 $ a + 5 = b + 5 $,那么 $ a = b $
D.如果 $ a + c = b - c $,那么 $ a = b $

C

A选项：对于 $ac^2 = bc^2$，当 $c \neq 0$ 时，可以两边同时除以 $c^2$ 得到 $a = b$，但当 $c = 0$ 时，$a$ 和 $b$ 可以是任意数，所以不能直接得出 $a = b$，故A选项错误。
B选项：对于 $a = b$，如果直接得出 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，这里没有考虑 $c = 0$ 的情况，若 $c = 0$，则分式无意义，故B选项错误。
C选项：对于 $a + 5 = b + 5$，根据等式性质1（等式的两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等），两边同时减去5，可以得出 $a = b$，故C选项正确。
D选项：对于 $a + c = b - c$，如果直接得出 $a = b$，这是不正确的。根据等式性质1，应该两边同时加上 $c$，得出 $a + 2c = b$，故D选项错误。

2. 若 $ a = b + 2 $,则下面式子一定成立的是()
A.$ a - b + 2 = 0 $
B.$ 3 - a = b - 1 $
C.$ 2a = 2b + 2 $
D.$ \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = 1 $

D

已知 $a = b + 2$，
A. $a - b + 2 = 0$，代入 $a = b + 2$，得 $b + 2 - b + 2 = 4 \neq 0$，不成立；
B. $3 - a = b - 1$，代入 $a = b + 2$，得 $3 - (b + 2) = b - 1$，即 $1 - b = b - 1$，解得 $2 = 2b$，$b = 1$，仅在 $b = 1$ 时成立，不满足一定成立；
C. $2a = 2b + 2$，代入 $a = b + 2$，得 $2(b + 2) = 2b + 2$，即 $2b + 4 = 2b + 2$，不成立；
D. $\frac{a}{2} - \frac{b}{2} = 1$，代入 $a = b + 2$，得 $\frac{b + 2}{2} - \frac{b}{2} = 1$，即 $\frac{2}{2} = 1$，成立。

3. 已知 $ 2x^2 - x = 3 $,则多项式 $ -4x^2 + 2x - 7 $ 的值为.

$-13$（题目是填空题，按要求这里应填最终数值答案相关，本题填$-13$对应的表达）

由已知$2x^{2}-x=3$，
对于多项式$-4x^{2}+2x - 7$，可将其变形为$-2(2x^{2}-x)-7$。
把$2x^{2}-x = 3$代入$-2(2x^{2}-x)-7$可得：$-2×3-7=-6 - 7=-13$。

4. 已知方程 $ 5x - 4y - 3 = 0 $,用含 $ y $ 的代数式表示 $ x $,则 $ x = $.

$ \frac{4y + 3}{5}$（或 $ \frac{4}{5}y + \frac{3}{5}$）。

由方程 $5x - 4y - 3 = 0$，需要通过移项和化简用含 $y$ 的代数式表示 $x$。
首先，将 $-4y$ 和 $-3$ 移到等式的另一边：
$5x = 4y + 3$，
然后，两边同时除以5，得到：
$x = \frac{4y + 3}{5}$。

5. 利用等式的性质解下列方程：
(1)$ 5x + 3 = 0 $； (2) $ -\frac{1}{3}x + 5 = 2 $.

(1)
已知方程$5x + 3 = 0$，
根据等式性质$1$，等式两边同时减去$3$，得$5x+3 - 3=0 - 3$，
即$5x=-3$。
再根据等式性质$2$，等式两边同时除以$5$，得$\frac{5x}{5}=\frac{-3}{5}$，
解得$x = -\frac{3}{5}$。
(2)
已知方程$-\frac{1}{3}x + 5 = 2$，
根据等式性质$1$，等式两边同时减去$5$，得$-\frac{1}{3}x+5 - 5=2 - 5$，
即$-\frac{1}{3}x=-3$。
再根据等式性质$2$，等式两边同时乘以$-3$，得$(-3)×(-\frac{1}{3}x)=(-3)×(-3)$，
解得$x = 9$。
综上，（1）中$x = -\frac{3}{5}$；（2）中$x = 9$。

6. 我们知道,有理数包括整数、有限小数和无限循环小数. 事实上,所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为 1 的分数),运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式. 请看以下示例：
例 1 将 $ 0.\dot{7} $ 化为分数形式.
由于 $ 0.\dot{7} = 0.777… $,设 $ x = 0.777… $,①则 $ 10x = 7.777… $. ②
② - ①得 $ 9x = 7 $,解得 $ x = \frac{7}{9} $,
于是得 $ 0.\dot{7} = \frac{7}{9} $.
例 2 将 $ 0.\dot{1}\dot{7} $ 化为分数形式.
由于 $ 0.\dot{1}\dot{7} = 0.171717… $,
设 $ x = 0.171717… $,①则 $ 100x = 17.171717… $. ②
② - ①得 $ 99x = 17 $,解得 $ x = \frac{17}{99} $,
于是得 $ 0.\dot{1}\dot{7} = \frac{17}{99} $.
参考示例,回答下列问题：(计算结果均用最简分数表示)
(1)请将 $ 0.\dot{3} $ 和 $ 0.\dot{2}\dot{3} $ 化为分数；
(2)$ 0.\dot{3} $ 写作 $ 0.3333… $,像这样的循环小数称为纯循环小数. 又如 $ 0.1\dot{6} $、$ 0.0\dot{4}5\dot{6} $,它们可分别写作 $ 0.1666… $、$ 0.0456456456… $,像这样的循环小数称为混循环小数. 我们在对混循环小数研究时发现,所有混循环小数都可以先化为纯循环小数,然后再化为分数. 例如：$ 0.1\dot{3} = \frac{1}{10} × 1.\dot{3} = \frac{1}{10} × (1 + 0.\dot{3}) = \frac{1}{10} × (1 + \frac{3}{9}) = \frac{2}{15} $. 请把混循环小数 $ 2.0\dot{5}\dot{0} $ 化为分数.

(1)
设$x = 0.333\cdots$①，则$10x = 3.333\cdots$②，
②$-$①得$9x = 3$，解得$x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，所以$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$；
设$x = 0.232323\cdots$①，则$100x = 23.232323\cdots$②，
②$-$①得$99x = 23$，解得$x=\frac{23}{99}$，所以$0.\dot{2}\dot{3}=\frac{23}{99}$。
(2)
$2.0\dot{5}\dot{0}=2 + 0.0\dot{5}\dot{0}$，
设$x = 0.050505\cdots$，则$100x = 5.050505\cdots$，
$100x - x=5.050505\cdots - 0.050505\cdots$，
即$99x = 5$，解得$x=\frac{5}{99}$，
所以$2.0\dot{5}\dot{0}=2+\frac{5}{99}=\frac{198 + 5}{99}=\frac{203}{99}$。
综上，答案依次为：(1)$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$，$0.\dot{2}\dot{3}=\frac{23}{99}$；(2)$\frac{203}{99}$。