20.已知关于x的一元二次方程$x^2 + 2x + 2k - 4 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)当$k = 1$时,设方程的两根分别为$x_1,x_2$,求$x_1^2 + x_2^2$的值.
(3)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.

【解析】：
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系。
(1)根据一元二次方程的根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，判别式$\Delta$应大于0。
(2)当$k = 1$时，方程变为$x^2 + 2x - 2 = 0$，可以利用根与系数的关系求出$x_1^2 + x_2^2$的值。
(3)若$k$为正整数，且方程的根都是整数，需要找出满足条件的$k$的值。
【答案】：
(1)解：
由于方程$x^2 + 2x + 2k - 4 = 0$有两个不相等的实数根，根据判别式的性质，有
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 × 1 × (2k - 4) ＞ 0$，
即$4 - 8k + 16 ＞ 0$，
解得$k ＜ \frac{5}{2}$。
(2)解：
当$k = 1$时，方程变为$x^2 + 2x - 2 = 0$，
根据根与系数的关系，有
$x_1 + x_2 = -b/a = -2$，
$x_1 × x_2 = c/a = -2$，
因此，$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 × x_2 = (-2)^2 - 2 × (-2) = 8$。
(3)解：
由于$k ＜ \frac{5}{2}$且$k$为正整数，所以$k$只能取$1$或$2$。
当$k = 1$时，方程为$x^2 + 2x - 2 = 0$，解得$x = -1 \pm \sqrt{3}$，根不是整数，不符合题意。
当$k = 2$时，方程为$x^2 + 2x = 0$，解得$x(x + 2) = 0$，即$x = 0$或$x = -2$，根都是整数，符合题意。
因此，$k = 2$。

21.某钢结构拱桥的示意图如图所示,桥拱$\widehat{ADB}$可以近似看作一段圆弧,桥拱$\widehat{ADB}$和路面(弦AB)之间用7根钢索相连,钢索均垂直路面AB.已知7根钢索将路面AB八等分,且$AB = 40\ m$,最中间的钢索$CD = 10\ m$.
(1)求桥拱$\widehat{ADB}$所在圆的半径.
(2)距离A最近的钢索MN比CD短多少？

解：(1)设桥拱$\widehat{ADB}$所在圆的圆心为$O$，半径为$r\ m$，连接$OA$，$OC$。
由题意，$AB=40\ m$，$CD=10\ m$，且$CD$垂直平分$AB$，则$AC=\frac{AB}{2}=20\ m$。设$OC=x\ m$，则$OD=OC+CD=(x+10)\ m$，又$OD=OA=r$，故$OA=r=x+10$。
在$Rt\triangle OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$，即$r^2=20^2+x^2$。
又$r=x+10$，代入得$(x+10)^2=400+x^2$，解得$x=15$，则$r=15+10=25$。
答：桥拱所在圆的半径为$25\ m$。
(2)7根钢索将$AB$八等分，$AB=40\ m$，则每段长为$40÷8=5\ m$。距离$A$最近的钢索$MN$距离$A$为$5\ m$，故$AN=5\ m$，则$CN=AC-AN=20-5=15\ m$。
设$N$到圆心$O$的水平距离为$ON'$（$N'$为$MN$与$AB$交点），则$ON'=CN=15\ m$（$O$在$CD$上，$AB$为弦，$OC\perp AB$，故$ON'=OC+CN'$中$CN'=15\ m$）。
在$Rt\triangle ON'M$中，$OM=25\ m$（半径），$ON'=15\ m$，由勾股定理得$MN'=\sqrt{OM^2-ON'^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20\ m$。
又$OC=15\ m$，则$MN=MN'-OC=20-15=5\ m$。
$CD=10\ m$，故$CD-MN=10-5=5\ m$。
答：距离$A$最近的钢索$MN$比$CD$短$5\ m$。