8. 已知 $a - b = 3$,$b - c = -4$,则代数式 $a^{2}-ac - b(a - c)$ 的值为()
A.4
B.-4
C.3
D.-3

D

由 $a - b = 3$ 和 $b - c = -4$，得 $a - c = (a - b) + (b - c) = 3 + (-4) = -1$。
化简代数式：
$\begin{aligned}a^2 - ac - b(a - c) &= a(a - c) - b(a - c) \\&= (a - c)(a - b)\end{aligned}$
代入 $a - c = -1$ 和 $a - b = 3$，得：
$(-1) × 3 = -3$。

9. 对于 $a^{2}-b^{2}-c^{2}+2bc$ 的因式分解的分组正确的是()
A.$(a^{2}-b^{2})-(b^{2}-2bc)$
B.$(a^{2}-b^{2}-c^{2})+2bc$
C.$(a^{2}-b^{2})-(c^{2}-2bc)$
D.$a^{2}-(b^{2}+c^{2}-2bc)$

D

观察多项式$a^{2}-b^{2}-c^{2}+2bc$，后三项$-b^{2}-c^{2}+2bc$可变形为$-(b^{2}+c^{2}-2bc)$，而$b^{2}+c^{2}-2bc=(b - c)^{2}$，所以分组为$a^{2}-(b^{2}+c^{2}-2bc)$可利用平方差公式继续分解。选项D符合。

10. 若实数 $x$ 满足 $x^{2}-2x - 1 = 0$,则 $2x^{3}-7x^{2}+4x - 2022$ 的值为()
A.2024
B.-2024
C.2025
D.-2025

D

由$x^{2}-2x - 1 = 0$得$x^{2}=2x + 1$。
$x^{3}=x\cdot x^{2}=x(2x + 1)=2x^{2}+x=2(2x + 1)+x=5x + 2$。
原式$=2x^{3}-7x^{2}+4x - 2022=2(5x + 2)-7(2x + 1)+4x - 2022$
$=10x + 4 -14x -7 + 4x -2022=(10x -14x + 4x)+(4 -7 -2022)=0 -2025=-2025$。

11. 如图,用四个完全一样的长、宽分别为 $x$,$y$ 的长方形纸片围成一个大正方形 $ABCD$,中间是空的小正方形 $EFGH$。若 $AB = a$,$EF = b$,给出以下关系式：
① $x + y = a$；② $x - y = b$；③ $a^{2}-b^{2}= 2xy$；④ $x^{2}-y^{2}= ab$；⑤ $x^{2}+y^{2}= \frac{a^{2}+b^{2}}{2}$。
其中正确的是。(填序号)

①②④⑤

由题意知，大正方形边长为$a$，由四个长$x$、宽$y$的小长方形围成，
根据图形可得：
①大正方形边长$a$等于小长方形长与宽的和，即$x + y = a$，正确。
②小正方形边长$b$等于小长方形长与宽的差，即$x - y = b$，正确。
③大正方形面积$a^{2}$等于四个小长方形面积$4xy$与小正方形面积$b^{2}$之和，即$a^{2}=4xy + b^{2}$，移项可得$a^{2}-b^{2}=4xy$，所以③$a^{2}-b^{2}=2xy$错误。
④因为$x + y = a$，$x - y = b$，根据平方差公式$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$，所以$x^{2}-y^{2}=ab$，正确。
⑤由$x + y = a$，$x - y = b$，可得$x=\frac{a + b}{2}$，$y=\frac{a - b}{2}$。
$x^{2}+y^{2}=\left(\frac{a + b}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a - b}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}+a^{2}-2ab + b^{2}}{4}=\frac{2a^{2}+2b^{2}}{4}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$，正确。
综上，正确的是①②④⑤。

12. 因式分解：$y^{3}-4x^{2}y= $。

$y(y + 2x)(y - 2x)$

首先，从$y^{3} - 4x^{2}y$中提取公因式$y$，得到：
$y^{3} - 4x^{2}y = y(y^{2} - 4x^{2})$
接着，观察$y^{2} - 4x^{2}$，这是一个平方差形式，可以继续使用平方差公式$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$进行因式分解，得到：
$y(y^{2} - 4x^{2}) = y(y + 2x)(y - 2x)$

13. 因式分解：$a^{4}-1= $。

$(a^{2} + 1)(a + 1)(a - 1)$

原式为 $a^{4} - 1$，可以看作是 $a^{4} - 1^{4}$，根据平方差公式，可以分解为：
$a^{4} - 1 = (a^{2})^{2} - 1^{2} = (a^{2} + 1)(a^{2} - 1)$
接着，对于 $a^{2} - 1$，它也可以利用平方差公式分解为：
$a^{2} - 1 = (a + 1)(a - 1)$
因此，原式可以进一步分解为：
$a^{4} - 1 = (a^{2} + 1)(a + 1)(a - 1)$

14. 若 $x^{2}+2(m - 3)x + 16= (x + n)^{2}$,则 $m = $。

$7$或$-1$

由题意，有$x^{2}+2(m-3)x+16=(x+n)^{2}$，
将右边展开，得到$x^{2}+2nx+n^{2}$。
比较$x$的系数，有：
$2(m-3)=2n$，
即$m-3=n$，
比较常数项，有：
$n^{2}=16$，
解得$n=\pm4$，
将$n$的值代入$m-3=n$，
当$n=4$时，得$m=7$，
当$n=-4$时，得$m=-1$，
所以，$m$的值为$7$或$-1$。

15. 为使 $x^{2}+bx + 5$ 在整数范围内可以因式分解,则 $b$ 可能取的值为。

$6$ 或 $-6$（或写为$\pm6$）

要将 $x^{2} + bx + 5$ 在整数范围内因式分解，可设其分解形式为 $(x + m)(x + n)$，其中 $m$ 和 $n$ 为整数。
展开后得到 $x^{2} + (m + n)x + mn$。
比较系数可得：
$mn = 5$，
$b = m + n$。
5 的整数因数对 $(m, n)$ 为 $(1, 5)$ 和 $(-1, -5)$。
对应的 $b$ 值为：
$1 + 5 = 6$，
$-1 + (-5) = -6$。
因此，$b$ 可能取的值为 $\pm 6$。

16. 已知 $x^{2}+16x + k^{2}$ 是完全平方式,则 $k = $。

±8

因为完全平方公式为$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，在$x^2 + 16x + k^2$中，$a = x$，$2ab = 16x$，所以$2b = 16$，解得$b = 8$，则$k^2 = b^2 = 8^2 = 64$，所以$k = \pm 8$。

17. (本题 24 分)
因式分解。
(1)$m^{3}+6m^{2}+9m$；
(2)$a^{2}b - 10ab + 25b$；
(3)$4x^{2}-(y - 2)^{2}$；
(4)$9x^{2}-8y(3x - 2y)$；
(5)$m^{2}-n^{2}+(2m - 2n)$；
(6)$(x^{2}-5)^{2}+8(5 - x^{2})+16$；
(7)$x^{2}+x - m^{2}+m$；
(8)$(4x + y)(y - 4x)-y(5y - 16x)$。

(1)
$m^{3}+6m^{2}+9m=m(m^{2}+6m + 9)=m(m + 3)^{2}$
(2)
$a^{2}b - 10ab + 25b=b(a^{2}-10a + 25)=b(a - 5)^{2}$
(3)
$4x^{2}-(y - 2)^{2}=(2x+(y - 2))(2x-(y - 2))=(2x + y - 2)(2x - y + 2)$
(4)
$9x^{2}-8y(3x - 2y)=9x^{2}-24xy + 16y^{2}=(3x - 4y)^{2}$
(5)
$m^{2}-n^{2}+(2m - 2n)=(m + n)(m - n)+2(m - n)=(m - n)(m + n + 2)$
(6)
$(x^{2}-5)^{2}+8(5 - x^{2})+16=(x^{2}-5)^{2}-8(x^{2}-5)+16$
令$t=x^{2}-5$，则原式$=t^{2}-8t + 16=(t - 4)^{2}$
把$t=x^{2}-5$代回得$(x^{2}-5 - 4)^{2}=(x^{2}-9)^{2}=(x + 3)^{2}(x - 3)^{2}$
(7)
$x^{2}+x - m^{2}+m=(x^{2}-m^{2})+(x + m)=(x + m)(x - m)+(x + m)=(x + m)(x - m + 1)$
(8)
$(4x + y)(y - 4x)-y(5y - 16x)=y^{2}-16x^{2}-5y^{2}+16xy=-4(4x^{2}-4xy + y^{2})=-4(2x - y)^{2}$