18. (6 分)如图,在$x$轴的上方,直角$\angle BOA绕原点O$按顺时针方向旋转。若$\angle BOA的两边分别与函数y = - \frac{2}{x}$,$y = \frac{8}{x}的图象交于B$,$A$两点,求$OB:OA$的值。

$ 1:2 $

设点$ A(a,\frac{8}{a}) $（$ a＞0 $）在$ y = \frac{8}{x} $上，点$ B(b,-\frac{2}{b}) $（$ b＜0 $）在$ y = -\frac{2}{x} $上。过$ A $作$ AC \perp x $轴于$ C $，过$ B $作$ BD \perp x $轴于$ D $，则$ \angle ACO = \angle ODB = 90° $。
因为$ \angle AOB = 90° $，所以$ \angle AOC + \angle BOD = 90° $。又$ \angle OAC + \angle AOC = 90° $，故$ \angle OAC = \angle BOD $，因此$ \triangle OAC \sim \triangle BOD $（AA相似）。
由相似三角形性质得$ \frac{OB}{OA} = \frac{OD}{AC} $。其中$ OD = |b| = -b $，$ AC = \frac{8}{a} $，则$ \frac{OB}{OA} = \frac{-b}{\frac{8}{a}} = \frac{-ab}{8} $。
因为$ \triangle OAC \sim \triangle BOD $，所以$ \frac{OD}{AC} = \frac{BD}{OC} $，即$ \frac{-b}{\frac{8}{a}} = \frac{-\frac{2}{b}}{a} $，化简得$ \frac{-ab}{8} = \frac{-2}{ab} $，设$ k = ab $，则$ \frac{-k}{8} = \frac{-2}{k} $，解得$ k^2 = 16 $。因为$ a＞0 $，$ b＜0 $，所以$ ab = -4 $。
代入$ \frac{OB}{OA} = \frac{-ab}{8} = \frac{-(-4)}{8} = \frac{1}{2} $，故$ OB:OA = 1:2 $。

19. (10 分)如图,过点$C(2,3)分别作x$轴、$y$轴的平行线,交直线$y = - x + 8的图象于A$,$B$两点,反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象在第一象限。
(1)求$A$,$B$两点的坐标；
(2)若反比例函数$y = \frac{k}{x}的图象经过B$点,求该反比例函数的表达式；
(3)若反比例函数$y = \frac{k}{x}的图象与\triangle ABC$有公共点,求$k$的取值范围。

(1)$A(5,3)$，$B(2,6)$；(2)$y=\frac{12}{x}$；(3)$6\leq k\leq16$。

(1)过点$C(2,3)$作$x$轴的平行线，其方程为$y=3$，与直线$y=-x+8$交于点$A$。联立$\begin{cases}y=3\\y=-x+8\end{cases}$，解得$x=5$，故$A(5,3)$。
过点$C(2,3)$作$y$轴的平行线，其方程为$x=2$，与直线$y=-x+8$交于点$B$。联立$\begin{cases}x=2\\y=-x+8\end{cases}$，解得$y=6$，故$B(2,6)$。
(2)将$B(2,6)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$6=\frac{k}{2}$，解得$k=12$，故反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(3)△$ABC$的顶点为$A(5,3)$、$B(2,6)$、$C(2,3)$。
与$AC$边（$y=3$，$2\leq x\leq5$）交点：$k=3x$，$x\in[2,5]$，得$k\in[6,15]$；
与$BC$边（$x=2$，$3\leq y\leq6$）交点：$k=2y$，$y\in[3,6]$，得$k\in[6,12]$；
与$AB$边（$y=-x+8$，$2\leq x\leq5$）交点：联立$y=\frac{k}{x}$与$y=-x+8$，得$k=-x^2+8x$，$x\in[2,5]$，该二次函数在$x=4$时取最大值$16$，在$x=2$或$5$时取最小值$12$，得$k\in[12,16]$。
综上，$k$的取值范围为$6\leq k\leq16$。