21. (8 分)在平面直角坐标系中,二次函数 $y = \frac{1}{2}x^2 + bx + c$的图象与 x 轴交于 $A(-2,0)$,$B(4,0)$两点,交 y 轴于点 C,点 P 是第四象限内抛物线上的一个动点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图,连接 AC,PA,PC,若 $S_{\triangle PAC} = \frac{15}{2}$,求点 P 的坐标.

(1)$y=\frac{1}{2}x^2 -x -4$；(2)$(3,-\frac{5}{2})$。

(1) 因为二次函数与x轴交于$A(-2,0)$，$B(4,0)$，设表达式为$y=\frac{1}{2}(x+2)(x-4)$，展开得：
$y=\frac{1}{2}(x^2-2x-8)=\frac{1}{2}x^2 -x -4$，
故二次函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2 -x -4$。
(2) 由(1)知$C(0,-4)$，设$P(m,n)$，$m＞0$，$n＜0$，且$n=\frac{1}{2}m^2 -m -4$。
$S_{\triangle PAC}=\frac{15}{2}$，利用坐标面积公式：
$S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}|x_A(y_C - y_P)+x_C(y_P - y_A)+x_P(y_A - y_C)|$
代入$A(-2,0)$，$C(0,-4)$，$P(m,n)$：
$\frac{1}{2}|(-2)(-4 -n)+0(n -0)+m(0 +4)|=\frac{15}{2}$
化简得$|2m +n +4|=\frac{15}{2}$。
因为$P$在第四象限，$2m +n +4＞0$，则$2m +n +4=\frac{15}{2}$，即$2m +n=\frac{7}{2}$。
将$n=\frac{1}{2}m^2 -m -4$代入得：
$2m +\frac{1}{2}m^2 -m -4=\frac{7}{2}$
整理得$m^2 +2m -15=0$，解得$m=3$（$m=-5$舍去）。
$n=\frac{1}{2}(3)^2 -3 -4=-\frac{5}{2}$，
故$P(3,-\frac{5}{2})$。

22. (8 分)为倡导“低碳生活”,人们常选择以自行车作为代步工具.如图 1 是一辆自行车的实物图,如图 2 是这辆自行车的部分几何示意图,其中车架档 AC 与 CD 的长分别为 45 cm 和 60 cm,且互相垂直,座杆 CE 的长为 20 cm,点 A,C,E 在同一条直线上,且 $\angle CAB = 75°$.
(1)求车架档 AD 的长;
(2)求车座点 E 到车架档 AB 的距离.
(结果精确到 1 cm.参考数据:$\sin75°\approx 0.966,\cos75°\approx 0.259,\tan75°\approx 3.732$)

（1）
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle ACD = 90^{\circ}$，$AC = 45cm$，$CD = 60cm$，
根据勾股定理$AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}$，
可得$AD=\sqrt{45^{2}+60^{2}}=\sqrt{2025 + 3600}=\sqrt{5625}=75(cm)$。
（2）
过点$E$作$EF\perp AB$于点$F$。
因为$AC = 45cm$，$CE = 20cm$，
所以$AE=AC + CE=45 + 20 = 65(cm)$。
在$Rt\triangle AEF$中，$\angle EFA = 90^{\circ}$，$\angle EAF = 75^{\circ}$，$AE = 65cm$。
根据正弦函数定义$\sin\angle EAF=\frac{EF}{AE}$，
则$EF = AE\cdot\sin75^{\circ}\approx65×0.966 = 62.79\approx63(cm)$。
综上，（1）车架档$AD$的长为$75cm$；（2）车座点$E$到车架档$AB$的距离约为$63cm$。

(1)在$Rt\triangle ACD$中，$AC=45\,cm$，$CD=60\,cm$，$\angle ACD=90°$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{45^2+60^2}=\sqrt{2025+3600}=\sqrt{5625}=75\,cm$
(2)$\because$点$A,C,E$在同一条直线上，$AC=45\,cm$，$CE=20\,cm$，
$\therefore AE=AC+CE=45+20=65\,cm$
过点$E$作$EF\perp AB$于点$F$，在$Rt\triangle AEF$中，$\angle EAF=75°$，
$EF=AE\cdot\sin75°\approx65×0.966\approx63\,cm$
(1)$AD$的长为$75\,cm$；
(2)车座点$E$到车架档$AB$的距离约为$63\,cm$